淺析含參數(shù)的一元二次不等式的討論

殷保榮

【摘 要】含參數(shù)的一元二次不等式，如何分類討論？本文從五個例子出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考——為什么要分類討論，以及如何分類討論。主要從三個點入手：“是不是”、“有沒有”以及“根的大小”。

【關(guān)鍵詞】參數(shù)；一元二次不等式；分類討論

本文主要解決含參數(shù)的一元二次不等式為什么要分類討論以及如何分類。

當(dāng)下，高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難是：數(shù)學(xué)概念基本能聽懂，習(xí)題課的效果也不錯，但是學(xué)生一旦自己動手解題時，往往就束手無策，導(dǎo)致功夫沒少下，效果卻不佳的情況，從而喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動力。這是因為學(xué)生不知如何解題。教學(xué)無外乎就是教會學(xué)生如何解題、怎樣解題及課后的自我整理消化。不只是簡簡單單的把一道題目講清楚講明白，而是要教會學(xué)生如何思考。

下面我們就從幾個簡單的含參數(shù)的一元二次不等式，來引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么要分類以及如何分類。

例1：求不等式ax2-2ax>0的解集。

分析：這個不等式從形式上看像一元二次不等式，可以由其對應(yīng)的二次函數(shù)，借助圖像求解。但由于x2的系數(shù)未知，所以對其進(jìn)行分類討論，這個討論的依據(jù)為“是不是”。如果是，接下來要討論二次函數(shù)的開口方向。

解：

（1）當(dāng)a=0時，0>0不成立；

（2）當(dāng)a≠0時，因式分解為ax（x-2）>0。

①當(dāng)a>0時，不等式的解集為{x|x>2或x<0}；

②當(dāng)a<0時，不等式的解集為{x|0

例2：求不等式x2-ax+4>0的解集。

分析：這個不等式就滿足剛才的“是不是”了，但現(xiàn)在的問題是這個一元二次不等式所對應(yīng)的二次函數(shù)與x軸有沒有交點，判斷與0的大小關(guān)系進(jìn)行討論。所以這次討論的依據(jù)是“有沒有”。

解：當(dāng)，即時，不等式的解集為

當(dāng)，即當(dāng)a=4時，不等式的解集為；

當(dāng)a=-4時，不等式的解集為；

當(dāng)，即時，不等式的解集為R。

例3：求不等式的解集。

分析：這個不等式不僅滿足“是不是”，是一元二次不等式，因式分解為，可得方程等于零有兩個根，分別為a和2，但由于這個根的大小不確定，所以這次討論的依據(jù)是“根的大小”。

解：因式分解為

（1）當(dāng)a>2時，不等式的解集為；

（2）當(dāng)a=2時，不等式的解集為{x|x≠2}；

（3）當(dāng)a<2時，不等式的解集為{x|x>2或x

例4：已知函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性。

分析：對于函數(shù)的單調(diào)性，可以從導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來考慮，所以要先求導(dǎo)，得到，由于ex恒正，所以導(dǎo)數(shù)的符號主要考慮的符號，根據(jù)上面的方法，先考慮是不是，所以a和0比較大小，然后因式分解得到，所以接下來就是要討論和-2的大小，結(jié)合二次函數(shù)的圖像，由二次函數(shù)的開口以及與x軸的交點，得出函數(shù)符號的正負(fù)。

解：

（1）當(dāng)a=0時，

∴y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2）；

（2）當(dāng)a>0時，，∴y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

（3）當(dāng)a<0時，

①當(dāng)，即時，y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

②當(dāng)，即時，∴y=f（x）在R上單調(diào)遞減；

③當(dāng)，即時，

y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。

例5：已知函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間（0，1）的單調(diào)性。

分析：例5是在例4的基礎(chǔ)上做的變形，例4考察的是函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性，例5是考察函數(shù)在定義域內(nèi)的某個子區(qū)間的單調(diào)性。

解：

（1）當(dāng)a=0時，∴y=f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減；

（2）當(dāng)a<0時，，∴y=f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減；

（3）當(dāng)a>0時，，∴y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。

①當(dāng)，即a>1時，y=f（x）在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時，y=f（x）在（0，1）單調(diào)遞減。

綜上所述：當(dāng)時，y=f（x）在（0，1）單調(diào)遞減；

當(dāng)a>1時，在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增。

含參數(shù)的一元二次不等式的解法常常涉及到參數(shù)的討論問題，只要把握好三個“討論點”，一切便迎刃而解。分類標(biāo)注一：“是不是”，二次項系數(shù)是否為零，目的是討論不等式是否為二次不等式，如果是二次不等式，季就要討論二次函數(shù)圖像的開口方向；分類標(biāo)準(zhǔn)二：“有沒有”，即判別式的正負(fù)，目的是討論二次方程是否有解；分類標(biāo)準(zhǔn)三：“根的大小”，即兩根差的正負(fù)，目的是比較根的大小。最后還要注意函數(shù)自變量的取值范圍。