彈性邊界剛度對充液圓柱殼耦合頻率的影響分析

梁 斌，陳金曉，李 戎，劉林霞

（河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 洛陽 471023）

彈性邊界剛度對充液圓柱殼耦合頻率的影響分析

梁 斌，陳金曉，李 戎，劉林霞

（河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 洛陽 471023）

研究了彈性邊界剛度對充液圓柱殼的振動(dòng)特性影響?；贔lügge理論并考慮流體的影響，根據(jù)波動(dòng)法建立彈性邊界條件下充液圓柱殼的耦合振動(dòng)特征方程，采用一種改進(jìn)傅里葉級數(shù)的計(jì)算方法得到彈性邊界條件下的軸向波數(shù)，將求得的軸向波數(shù)代入耦合方程并利用牛頓迭代法求解方程得到耦合頻率。通過與兩種邊界條件下充液圓柱殼的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了文中研究方法的有效性和正確性。通過算例，分析了在邊界約束剛度變化過程中，充液圓柱殼的耦合頻率在不同軸向波數(shù)、殼體尺寸等因素下的變化規(guī)律。

彈性邊界；圓柱殼；充液；波動(dòng)法；耦合頻率

0 引 言

圓柱殼結(jié)構(gòu)是一種在航空航天、海洋工程等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的結(jié)構(gòu)形式，這類結(jié)構(gòu)通常會(huì)在非常復(fù)雜和極端的環(huán)境下應(yīng)用，如強(qiáng)空氣動(dòng)力作用、流體作用。因此，研究復(fù)雜環(huán)境下的圓柱殼在不同情況下的動(dòng)力學(xué)行為特性，對這類結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程中的安全應(yīng)用具有非常重要的意義。

目前，圓柱殼在不同條件下的動(dòng)力學(xué)性能研究已經(jīng)取得一些研究成果。Li等[1]在波動(dòng)法的基礎(chǔ)上，研究了圓柱殼在不同邊界條件下的自由振動(dòng)特性，并將波動(dòng)法與其它方法進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)了波動(dòng)法在計(jì)算上的優(yōu)越性。Liang等[2]利用Love薄殼理論，研究了殼體尺寸、環(huán)向波數(shù)、邊界條件、旋轉(zhuǎn)速度等因素對旋轉(zhuǎn)功能梯度材料（FGM）圓柱殼固有頻率的影響。Sheng等[3]利用一階剪切變形理論研究了盛有流體的FGM圓柱殼的振動(dòng)特性。伊克巴爾等[4]在波動(dòng)法的基礎(chǔ)上，考慮流體的影響，研究了液體、環(huán)向波數(shù)、邊界條件等因素對充液FGM圓柱殼耦合振動(dòng)的影響。Zhou[5]對充液環(huán)肋圓柱殼的振動(dòng)特性和穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。Liang等[6]研究了殼體尺寸、邊界條件等因素對充液FGM圓柱殼耦合頻率的影響。劉等[7]把靜水壓力作為預(yù)應(yīng)力計(jì)入殼體振動(dòng)方程當(dāng)中，研究了內(nèi)部流體靜壓力對充液圓柱殼振動(dòng)的影響。Zhu等[8]基于Flügge理論，運(yùn)用波動(dòng)法研究了水下圓柱殼的耦合振動(dòng)特性。馬旭等[9]基于波動(dòng)法，采用改進(jìn)傅里葉級數(shù)方法建立彈性約束邊界條件下圓柱殼的振動(dòng)模型，研究了圓柱殼在彈性約束邊界條件下的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)特性。李文達(dá)等[10]在Sanders薄殼理論的基礎(chǔ)上，根據(jù)改進(jìn)的傅里葉級數(shù)方法，并結(jié)合Rayleigh-Ritz法，研究了彈性邊界條件下旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼的自由振動(dòng)特性，分析了邊界約束剛度、轉(zhuǎn)速、殼體尺寸等因素對固有頻率的影響。但是由于彈性邊界及充液耦合作用的復(fù)雜性，尚未發(fā)現(xiàn)考慮彈性邊界條件下，充液圓柱殼振動(dòng)特性的研究文獻(xiàn)。

本文在Flügge理論的基礎(chǔ)上，采用波動(dòng)法和改進(jìn)傅里葉級數(shù)方法建立彈性邊界條件下充液圓柱殼振動(dòng)頻率的特征方程，運(yùn)用計(jì)算軟件MATLAB求解特征方程得到圓柱殼在彈性邊界下的耦合頻率。通過退化計(jì)算，將兩端固支和兩端簡支的充液圓柱殼的耦合頻率的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證本文計(jì)算的有效性和正確性。最后通過算例，探討三種邊界約束條件下，周向波數(shù)和軸向半波數(shù)對充液圓柱殼耦合振動(dòng)的影響，同時(shí)研究在三種約束剛度下，耦合作用、殼體尺寸等因素對圓柱殼耦合振動(dòng)的影響。

1 力學(xué)模型

圖1所示為圓柱殼的力學(xué)模型，R表示平均半徑，L表示圓柱殼長度，h表示圓柱殼壁厚，本文在圓柱殼的中面上建立正交坐標(biāo)系（x，θ， ）z ，其中x，θ和z分別為圓柱殼的軸向、環(huán)向和徑向坐標(biāo)。

圖1 圓柱殼模型Fig.1 Geometry of cylindrical shell

圖2 彈性邊界Fig.2 Elastic boundary supports

圖2中所示為彈性邊界約束模型，k0，k1為徑向約束剛度，K0，K1為扭轉(zhuǎn)約束剛度。通過不同的剛度值組合可以實(shí)現(xiàn)所有的邊界條件。例如，當(dāng)剛度值均為0時(shí)，代表自由邊界條件；當(dāng)扭轉(zhuǎn)剛度值為0，徑向剛度值為無窮大時(shí)，代表兩端簡支邊界條件；當(dāng)剛度值均為無窮大時(shí)，代表兩端固支邊界條件。

2 理論推導(dǎo)

根據(jù)Flügge理論[11]，圓柱殼的運(yùn)動(dòng)方程為：

用波動(dòng)法表示的圓柱殼振動(dòng)位移方程如下：

其中：Um，Vm，Wm分別表示x，θ，z方向的波幅，ω表示固有角頻率，km的大小與約束邊界的約束剛度有關(guān)，文獻(xiàn)[12]中采用改進(jìn)傅里葉級數(shù)的計(jì)算方法求km。

采用波動(dòng)法，在圓柱殼的彎曲振動(dòng)分析中，相應(yīng)邊界條件下的圓柱殼的軸向波數(shù)km可以用梁的彎曲振動(dòng)波數(shù)來替代。

梁的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

其中：DL，ρL，AL代表梁的剛度，密度和橫截面面積。

p（x）是為了克服余弦級數(shù)的不連續(xù)性而引入的輔助函數(shù)。

其中：

將（4）式代入（3）式得到：

將（10）式進(jìn)行推導(dǎo)，最終可以化為標(biāo)準(zhǔn)的矩陣求解特征值問題，求解方程可以得到相應(yīng)的軸向波數(shù)。

計(jì)算中需要考慮流體與圓柱殼結(jié)構(gòu)的耦合效應(yīng)，在流體中用柱坐標(biāo)表示的聲壓場為：

其中：Jn（）表示n階Bessel函數(shù)，軸向波數(shù)km和徑向波數(shù)kr滿足的關(guān)系表達(dá)式為：

其中：ρf表示流體密度，Jn′（）表示函數(shù)對變量krR的一階導(dǎo)數(shù)。 將相應(yīng)的軸向波數(shù)代入（2）式，將（2）式代入（1）式，并結(jié)合方程（11）得到用矩陣表示的耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程：

其中：FL表示流體聲場作用所產(chǎn)生的流體荷載項(xiàng)，

將方程（16）代入到方程（15）中求解方程，可以得到：

3 數(shù)值計(jì)算及分析

3.1 有效性及收斂性分析

為了驗(yàn)證本文研究方法的正確性和有效性，表1和表2分別給出了兩端固支條件下和兩端簡支條件下充液圓柱殼耦合頻率的計(jì)算結(jié)果，并與參考文獻(xiàn)[13]和參考文獻(xiàn)[6]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比，結(jié)果表明了本文求解彈性邊界條件下充液圓柱殼耦合頻率的計(jì)算方法的正確性和有效性。表中計(jì)算參數(shù)均與參考文獻(xiàn)中的計(jì)算參數(shù)相同。m表示軸向半波數(shù)，n表示周向波數(shù)。在運(yùn)用傅里葉級數(shù)的方法求解軸向波數(shù)km時(shí)，截取M=10，就可以得到基本收斂的計(jì)算結(jié)果。

表1 兩端固支條件下充液圓柱殼的耦合頻率計(jì)算結(jié)果對比Tab.1 Comparison between the results of calculation of the coupled frequencies for fluid-filled cylindrical shells with C-C

表2 兩端簡支條件下充液圓柱殼的耦合頻率計(jì)算結(jié)果對比Tab.2 Comparison between the results of calculation of the coupled frequencies for fluid-filled cylindrical shells with SS-SS

3.2 邊界剛度對充液圓柱殼耦合頻率的影響

本文通過多組算例研究了彈性邊界條件下充液圓柱殼的耦合振動(dòng)特性，在不同邊界約束的情況下，通過改變約束剛度、周向波數(shù)、殼體尺寸等因素，分析了圓柱殼耦合頻率的變化規(guī)律，計(jì)算結(jié)果見圖3-11。 本文算例中，選用的圓柱殼幾何參數(shù)為：E=2.077 88×1011，υ=0.317 756，ρ=8 166，h/R=0.002，L/R=20。

圖3 不同m值下耦合頻率變化規(guī)律曲線 （邊界約束A） Fig.3 Variation of coupled frequency with different axial half wave number(boundary constraints A)

圖4 不同m值下耦合頻率變化規(guī)律曲線 （邊界約束B）Fig.4 Variation of coupled frequency with different axial half wave number(boundary constraints B)

為了便于分析，計(jì)算過程中均采用無量綱約束剛度（約束剛度值除以彎曲剛度 DL），即：k0′=k0/DL，k1′=k1/DL，K0′=K0/DL，K1′=K1/DL。計(jì)算中選用三種邊界約束情況，第一種為 K0′，K1′為 0、k0′，k1′同時(shí)從1增大至100 000，即邊界條件從兩端自由到兩端簡支中變化，視為邊界約束A；第二種為k0′，k1′為無窮大、K0′，K1′同時(shí)從 1 增大至 100 000，即邊界條件從兩端簡支到兩端固支中變化，視為邊界約束 B；第三種為 k0′，K0′為無窮大、K1′=0、k1′從 1增大至100 000，即邊界條件從一端固定、一端自由到一端固定、一端簡支中變化，視為邊界約束C。計(jì)算過程中無窮大均取1010。圖3-11中，約束剛度值均取對數(shù)值 log k0′，log k1′，log K0′，log K1′表示，其余情況下的約束剛度值均用實(shí)際值表示。

圖5 不同m值下耦合頻率變化規(guī)律曲線（邊界約束C）Fig.5 Variation of coupled frequency with different axial half wave number(boundary constraints C)

圖3-5給出了三種邊界約束條件下，充液圓柱殼耦合頻率在不同n值情況下隨著約束剛度增大的變化規(guī)律曲線。計(jì)算中取n=2?？梢钥闯觯S著m值的增大，三種邊界約束條件下的耦合頻率均增大；隨著約束剛度的增大，不同m值情況下耦合頻率的變化規(guī)律相似，即均是先增大之后趨于平緩；對比三幅圖可以發(fā)現(xiàn)，三種邊界約束條件下，耦合頻率增大過程中的約束剛度的范圍明顯不同：邊界約束A時(shí)，m=1和m=2情況下，約束剛度在10～100之間，m=3情況下，約束剛度在10～10 000之間；邊界約束B時(shí)，約束剛度在1～100之間；邊界約束C時(shí)，m=1時(shí)，約束剛度在1～100之間，m=2時(shí)，約束剛度在10～1 000之間，m=3時(shí)，約束剛度在10～10 000之間。當(dāng)m=1時(shí)，三種邊界條件下的耦合頻率的增大幅度都很小。

圖6 不同n值下耦合頻率變化規(guī)律曲線 （邊界約束A) Fig.6 Variation of coupled frequency with different circumferential wave number (boundary constraints A)

圖7 不同n值下耦合頻率變化規(guī)律曲線 （邊界約束B）Fig.7 Variation of coupled frequency with different circumferential wave number(boundary constraints B)

圖8 不同n值下耦合頻率變化規(guī)律曲線（邊界約束C）Fig.8 Variation of coupled frequency with different circumferential wave number(boundary constraints C)

圖9 不同約束剛度下的固有頻率變化 規(guī)律曲線Fig.9 Variation of coupled frequency with different elastic boundary stiffness

以下取m=1。圖6-8給出了三種邊界約束條件下，充液圓柱殼耦合頻率在不同n值情況下隨著約束剛度增大的變化規(guī)律曲線?？梢钥闯?，隨著n值的增大，三種邊界約束條件下的耦合頻率變化規(guī)律不同：邊界約束A時(shí)，耦合頻率均隨著n值的增大而增大；邊界約束B時(shí)，耦合頻率均隨著n值的增大先減小后增大；邊界約束C時(shí)，在約束剛度為1～10的情況下，耦合頻率均隨著n值的增大而增大，在約束剛度為100～100 000的情況下，耦合頻率均隨著n值的增大先減小后增大，兩個(gè)不同的變化規(guī)律是在約束剛度為10～100之間過渡的。隨著約束剛度的增大，三種邊界約束條件下的耦合頻率的變化規(guī)律也表現(xiàn)出明顯的不同：邊界約束A和邊界約束C時(shí)，約束剛度對耦合頻率的影響主要體現(xiàn)在n=2的情況下，隨著約束剛度的增大，耦合頻率先增大后趨于一個(gè)定值，且耦合頻率的增大主要在約束剛度為1～1 000之間；邊界約束B時(shí)，n=2和n=3時(shí)，耦合頻率隨著約束剛度的增大先增大后趨于一定值，且耦合頻率的增大主要在約束剛度為1～100之間；隨著n值的增大，約束剛度對耦合頻率的影響越來越小。

以下取n=2。圖9給出了邊界約束B條件下，考慮耦合作用和不考慮耦合作用下的充液圓柱殼固有頻率隨著約束剛度增大的變化規(guī)律曲線。從圖中可以看出，不考慮耦合作用的固有頻率顯著大于考慮耦合作用的固有頻率。隨著約束剛度的增大，兩種情況下的頻率均是先增大后趨于穩(wěn)定，但是考慮耦合作用的耦合頻率的增大幅度比較小。

圖10給出了邊界約束B條件下，三種約束剛度情況下耦合頻率隨著L/R增大的變化規(guī)律曲線。從圖中可以看出，隨著L/R的增大，三種約束剛度下的耦合頻率的變化規(guī)律相似，均為不斷減小，且下降幅度也在在不斷減小。

圖11給出了邊界約束B條件下，三種約束剛度情況下耦合頻率隨著h/R增大的變化規(guī)律曲線。從圖中可以看出，三種約束剛度下的耦合頻率變化規(guī)律相似，隨著h/R的增大，耦合頻率均增大，且增大幅度比較均勻，而約束剛度的變化只是改變了耦合頻率的大小。

圖10 不同L/R下的耦合頻率變化規(guī)律曲線 Fig.10 Variation of coupled frequency with different length-radius ratio of the shell

圖11 不同h/R下的耦合頻率變化規(guī)律曲線Fig.11 Variation of coupled frequency with different thickness-radius ratio of the shell

4 結(jié) 論

（1）隨著m值的增大，耦合頻率顯著增大。不同邊界約束條件下，隨著約束剛度的增大，耦合頻率的反應(yīng)靈敏度不同。

（2）不同邊界約束條件下，耦合頻率隨著n值的增大的變化規(guī)律不同。約束剛度對耦合頻率的影響只表現(xiàn)在n值較小的情況下：隨著約束剛度的增大，耦合頻率先增大之后趨于一個(gè)定值。

（3）不考慮耦合作用的固有頻率顯著大于考慮耦合作用的固有頻率，耦合作用的存在弱化了約束剛度對固有頻率的影響。

（4）殼體尺寸對耦合頻率的影響比較明顯：隨著L/R的增大，耦合頻率不斷下降；隨著h/R的增大，耦合頻率不斷增大。改變約束剛度，耦合頻率隨殼體尺寸變化的變化規(guī)律并不發(fā)生改變，改變的只是耦合頻率的大小。

[1]Li X B.Study on free vibration analysis of circular cylindrical shells using wave propagation[J].Journal of Sound and Vibration,2008,311(3-5):667-682.

[2]Liang B,Xiang S,Li R.Study of effective factors for the vibration of rotating functionally graded cylindrical shells[J].Journal of Ship Mechanics,2013,17(12):1460-1472.

[3]Sheng G G,Wang X.Thermo mechanical vibration analysis of a functionally graded shell with flowing fluid[J].European Journal of Mechanics-A/Solids,2008,27(6):1075-1087.

[4]伊克巴爾Z,納伊姆M N,薩爾塔娜N.充液功能梯度材料圓柱殼振動(dòng)特性的波動(dòng)解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2009,30(11):1307-1317.Iqbal Z,Naeem M N,Stultana N.Vibration characteristics of FGM circular cylindrical shells containing fluid using propagation approach[J].Applied Mathematics and Mechanics,2009,30(11):1307-1317.

[5]Zhou X P.Vibration and stability of ring-stiffened thin-walled cylindrical shells conveying fluid[J].Acta Mechanica Solida Sinica,2012,25(2):168-176.

[6]Liang B,Li R,Zhang W.Coupled vibration of fluid-filled functionally graded material cylindrical shell[J].Journal of Ship Mechanics,2011,15(12):1429-1438.

[7]劉志忠,李天勻,劉敬喜.考慮流體靜壓時(shí)充液圓柱殼的頻散特性分析[J].船舶力學(xué),2009,13(4):635-640.Liu Z Z,Li T Y,Liu J X.Characteristics of the frequency dispersion in cyljndrical shells filled with fluid considering hydrostatic pressure[J].Journal of Ship Mechanics,2009,13(4):635-640.

[8]Zhu X,Ye W B,Li T Y,Chen C.The elastic critical pressure prediction of submerged cylindrical shell using wave propagation method[J].Ocean Engineering,2013,58(1):22-26.

[9]馬 旭,杜敬濤,楊鐵軍,等.基于波傳播方法的邊界條件對圓柱殼振動(dòng)特性的影響分析[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2009,22(6):608-613.Ma X,Du J T,Yang T J.Analysis of influence of boundary conditions on cylindrical shell dynamics based on wave propagation approach[J].Journal of Vibration Engineering,2009,22(6):608-613.

[10]李文達(dá),杜敬濤,楊鐵軍,等.邊界條件對旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)行波特性的影響分析[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2016,29(3):452-464.Li W D,Du J T,Yang T J,et al.Influence of boundary conditions on traveling wave characteristics of thin rotating cylindrical shell structure for free vibration[J].Journal of Vibration Engineering,2016,29(3):452-464.

[11]Flügge W.Stresses in shells[M].Springer,New York,1973.

[12]Li W L.Free vibration of beams with general boundary conditions[J].Journal of Sound and Vibration,2000,237(4):709-725.

[13]Zhang X M,Liu G R,Lam K Y.Coupled vibration analysis of fluid-filled cylindrical shells using the wave propagation approach[J].Applied Acoustics,2000,62(2001):229-243.

Influence of elastic boundary stiffness on the coupling frequency of fluid-filled cylindrical shells

LIANG Bin,CHEN Jin-xiao,LI Rong,LIU Lin-xia
(Civil Engineering School,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471023,China)

The coupled vibration characteristics of fluid-filled cylindrical shells under elastic boundary conditions are studied.Based on the Flügge theory and considering the influence of the fluid,the coupled characteristic equations of fluid-filled cylindrical shells are derived by wave method,the axial wave number obtained by the Fourier series method is substituted into the coupled characteristic equation and the coupled frequency of fluid-filled cylindrical shells under elastic boundary conditions obtained by Newton iterative method.The present analysis is validated by comparing results with fluid-filled cylindrical shells with clamped supported-clamped supported(C-C).By numerical examples,the vary regular of coupled frequency for fluid-filled cylindrical shells under different axial wave number and shell size with the constantly changing of elastic boundary stiffness is analyzed.

elastic boundary;cylindrical shell;fluid-filled;wave method;coupled frequency

O32

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.011

1007-7294（2017）11-1414-08

2017-08-22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（U1604135；11402077）

梁 斌（1963-），男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：liangbin4231@163.com；

陳金曉（1991-），女，碩士研究生，E-mail：chenjinxiao0520@163.com。