環(huán)狀粘彈層合懸臂薄壁圓柱殼的振動(dòng)特性研究

王 宇，翟敬宇，李 昌，宋 華

（1.遼寧科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051；2.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

環(huán)狀粘彈層合懸臂薄壁圓柱殼的振動(dòng)特性研究

王 宇1，翟敬宇2，李 昌1，宋 華1

（1.遼寧科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051；2.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

文章采用傳遞矩陣法分析了懸臂邊界條件下環(huán)狀局部覆蓋粘彈層合薄壁圓柱殼的振動(dòng)特性?；跇?lè)甫薄殼理論，結(jié)合粘彈性阻尼的變形協(xié)調(diào)關(guān)系和層間作用力關(guān)系，建立了基層和約束層薄壁圓柱殼的一階狀態(tài)微分方程，利用傳遞矩陣法推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)的整體傳遞矩陣，并通過(guò)高精度的精細(xì)積分方法進(jìn)行求解，得到了固有頻率、損耗因子和三維振型，探討了約束阻尼層位置變化時(shí)對(duì)振動(dòng)特性的影響，并通過(guò)有限元法進(jìn)行了比較，通過(guò)算例驗(yàn)證了傳遞矩陣法對(duì)模態(tài)特性分析的有效性，前25階模態(tài)以周向振動(dòng)為主，最低階固有頻率對(duì)應(yīng)的三維模態(tài)振型為(1，5)，并且在懸臂端的振動(dòng)位移最大，約束阻尼層覆蓋位置對(duì)薄壁圓柱殼振動(dòng)特性的影響較大。

粘彈層合薄壁圓柱殼；懸臂邊界條件；環(huán)狀覆蓋；三維振型

0 引 言

薄壁圓柱殼構(gòu)件在船舶、潛艇和航空航天等機(jī)械領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，在外部復(fù)雜載荷等實(shí)際工況條件下，容易發(fā)生共振、失穩(wěn)和疲勞損傷等故障，在服役過(guò)程通常使用敷設(shè)阻尼層對(duì)其進(jìn)行減振降噪處理，由于實(shí)際管系布置和結(jié)構(gòu)優(yōu)化等因素，有時(shí)采用局部覆蓋約束阻尼層的方式，近年來(lái)其振動(dòng)控制一直是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一[1-2]。對(duì)于懸臂邊界條件（即固支—自由約束條件）的薄壁圓柱殼構(gòu)件，在基頻激勵(lì)作用下，作者對(duì)發(fā)生共振時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)特征進(jìn)行了研究，說(shuō)明了對(duì)殼體結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)振型、模態(tài)數(shù)量和振動(dòng)特征分析的關(guān)聯(lián)和重要性[3-4]。然而，在懸臂邊界條件下，對(duì)帶有局部覆蓋粘彈層合薄壁圓柱殼的高階振動(dòng)問(wèn)題，例如約束阻尼層位于殼體不同位置時(shí)的三維模態(tài)振型等方面，尚缺少相應(yīng)的研究成果，因此，對(duì)其振動(dòng)特性進(jìn)行深入研究，具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值[5-8]。

利用粘彈性材料的高阻尼性能對(duì)薄壁圓柱殼構(gòu)件進(jìn)行振動(dòng)抑制處理，改善薄壁圓柱殼構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)性能，很多學(xué)者進(jìn)行了這一領(lǐng)域的研究，并取得了眾多成果，具有代表性的文獻(xiàn)如下：Wang和Chen[9]利用模態(tài)假設(shè)法研究了局部覆蓋約束阻尼層圓柱殼的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，結(jié)果表明結(jié)構(gòu)阻尼隨著約束層厚度和剛度的增大而增加，當(dāng)約束層厚度達(dá)到一定值時(shí)阻尼效果并不明顯。Chen和Huang[10-11]研究了固定大小的帶狀被動(dòng)約束阻尼層個(gè)數(shù)對(duì)圓柱殼振動(dòng)衰減的影響。Sainsbury[12]和Mastib[13]采用有限元法研究了部分覆蓋約束阻尼層圓柱殼應(yīng)變能強(qiáng)度的分布規(guī)律和減振方法。Mohammadi等[14]根據(jù)粘彈性層厚度方向上的位移變化關(guān)系，推導(dǎo)了約束阻尼層合殼的有限元模型，研究得到了其振動(dòng)特性。李恩奇等[15]基于唐奈爾薄殼理論和哈密頓原理，推導(dǎo)出局部覆蓋約束層阻尼圓柱殼的運(yùn)動(dòng)方程，并通過(guò)Laplace變換和傳遞函數(shù)法得到了對(duì)邊固支邊界條件下的固有頻率、損耗因子和頻響曲線(xiàn)。楊少紅和王安穩(wěn)[16]應(yīng)用混合分層理論，推導(dǎo)出兩端簡(jiǎn)支粘彈性層合圓柱殼的動(dòng)力學(xué)方程，得到了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率和損耗因子。王祖華等[17]利用模態(tài)展開(kāi)和Green函數(shù)法，分析了兩端簡(jiǎn)支邊界條件下敷設(shè)阻尼層環(huán)肋圓柱殼在流場(chǎng)中的聲輻射特性。曹雄濤等[18]利用桑德斯薄殼理論和波傳播法，求解了兩端簡(jiǎn)支被動(dòng)約束層阻尼圓柱殼的自由振動(dòng)特性。李超等[19]建立了圓柱殼阻尼材料的優(yōu)化模型，對(duì)約束阻尼和自由阻尼材料布局進(jìn)行了優(yōu)化研究。王淼等[20]基于哈密頓變分原理，獲得了懸臂夾層圓柱殼的運(yùn)動(dòng)微分方程，采用譜有限元法研究了長(zhǎng)徑比和徑厚比對(duì)固有頻率和損耗因子的影響。

本文針對(duì)懸臂邊界條件下的環(huán)狀局部覆蓋粘彈層合薄壁圓柱殼，基于薄殼理論和粘彈性理論，采用傳遞矩陣法進(jìn)行了振動(dòng)特性研究，求解得到了結(jié)構(gòu)的高階固有頻率、三維模態(tài)振型和模態(tài)損耗因子，并通過(guò)有限元方法進(jìn)行了比較，最后分析了約束阻尼層位置對(duì)整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。

1 整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性分析

1.1 環(huán)狀覆蓋粘彈層合懸臂薄壁圓柱殼模型

如圖1所示為局部環(huán)狀覆蓋粘彈性層合懸臂薄壁圓柱殼的模型，在柱坐標(biāo)系Oxθz中，基層長(zhǎng)度、中面半徑和壁厚表示為L(zhǎng)、R1和H1，粘彈性阻尼層和約束層的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)2-L1，阻尼層的中面半徑和壁厚表示為R2和H2，約束層的中面半徑和和厚度表示為R3和H3，uj、vj和wj表示基層和約束層在x、y和z方向上的振動(dòng)位移。

圖1 局部覆蓋粘彈層合懸臂薄壁圓柱殼模型Fig.1 Model of a partially covered viscoelastic laminated cantilever cylindrical shell

1.2 變形協(xié)調(diào)關(guān)系和層間作用力

粘彈性阻尼層通過(guò)基層和約束層的彎曲變形，起到振動(dòng)耗能減振，由基爾霍夫平面假定和樂(lè)甫殼體理論[21]，假設(shè)分別表示基層和約束層的中面沿x、θ和z方向上的振動(dòng)位移，阻尼層內(nèi)沿x和θ方向的剪應(yīng)力為：

圖2 層間徑向相互作用力和阻尼層內(nèi)的剪切力Fig.2 Radial interactions between layers and shear force in damping layer

如圖2所示，對(duì)于粘彈阻尼層，當(dāng)僅考慮法向慣性力時(shí)的平衡方程為

1.3 振動(dòng)特性求解

首先，對(duì)基層（即j=1）進(jìn)行分析，忽略任一區(qū)段的下角標(biāo)i，振動(dòng)微分方程表示為

內(nèi)力與內(nèi)力矩和中面位移間的關(guān)系為：

式中：E1為楊氏模量，μ1為泊松比，K1為薄膜剛度，D1為彎曲剛度。

對(duì)于面內(nèi)剪力、橫向剪力和中法線(xiàn)繞θ軸的轉(zhuǎn)角，表達(dá)式分別為：

令m表示軸向半波數(shù)，n表示周向波數(shù)，ωmn表示固有頻率，定義位移解的形式為：

定義任一截面ξi上狀態(tài)向量中的8個(gè)元素為：

則位移、轉(zhuǎn)角、內(nèi)力和內(nèi)力矩表示為：

整理得到一階狀態(tài)向量微分方程組為：

同理，對(duì)于約束層薄壁圓柱殼，任一截面上狀態(tài)向量為：

一階狀態(tài)向量微分方程組表示為：

對(duì)于基層和約束層，傳遞矩陣的關(guān)系為：

消除變量后，定義狀態(tài)向量中的12個(gè)元素為：

將變形協(xié)調(diào)關(guān)系式（1）和法向平衡方程式（2），代入基層與約束層的振動(dòng)微分方程中，對(duì)變量進(jìn)行整理，推導(dǎo)得到一階微分方程組為：

式中：U是12×12階的矩陣。

如圖1所示，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解時(shí)，可沿縱向分成a、b、c三段，將狀態(tài)向量式（14）進(jìn)行處理，令

對(duì)于a段和b段的薄壁圓柱殼采用（10）式和（12）式描述，對(duì)于覆蓋區(qū)域采用（14）式描述。在軸向截面x=0、L1、L2和L位置，狀態(tài)向量之間存在關(guān)系為：

式中：Ta、Tb和 Tc分別為 a、b和 c段的傳遞矩陣。

消去 Y1（La）和 Y1（Lb），整理得

對(duì)于某一階模態(tài)，整合各個(gè)變量后可以得到ξ0層的徑向位移，然后利用每個(gè)區(qū)段的子傳遞矩陣關(guān)系，可以得到任一截面處的振動(dòng)位移關(guān)系，最后求出整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型。

則固有頻率和模態(tài)損耗因子分別為：

2 算例求解與分析

在懸臂邊界條件下，通過(guò)算例對(duì)模態(tài)特性進(jìn)行求解，選取構(gòu)件的幾何參數(shù)與材料參數(shù)為：L=0.3 m，L1=0.1m，L2=0.2 m，R1=0.3 m，H1=0.003 m，H2=0.001 m，H3=0.002 m，基層和約束層的彈性模量為 E1=E3=70 GPa，密度為 ρ1=ρ3=2 700 kg/m3，泊松比為 μ1=μ3=0.3，粘彈性層的復(fù)剪切模量為 G2=0.896泊松比 μ2=0.498，ρ2=999 kg/m3。

（1）中部覆蓋阻尼層薄壁圓柱殼的振動(dòng)特性

對(duì)于中部覆蓋約束阻尼層的薄壁圓柱殼，求得的固有頻率和模態(tài)損耗因子如表1所示，三維模態(tài)振型圖如表2所示，并通過(guò)有限元程序ANSYS的結(jié)果進(jìn)行比較，其中單元類(lèi)型取三維高階實(shí)體單元SOLID186，采用VROATA命令從截面繞軸旋轉(zhuǎn)生成模型，從相鄰面掃掠體的方法生成網(wǎng)格，包括2 400個(gè)單元和14 580個(gè)節(jié)點(diǎn)。

由表1可以看出，隨著階次的增加，利用傳遞矩陣法和有限元法得到的前25階模態(tài)振型變化關(guān)系一致，以周向模態(tài)振型變化為主，軸向模態(tài)振型出現(xiàn)在m=1、2和3，周向振型最高階出現(xiàn)在n=14，其中，前4階三維模態(tài)振型依次出現(xiàn)在m=1和n=5、6、4、7；第1階模態(tài)振型發(fā)生在軸向半波數(shù)為1和周向波數(shù)為5，對(duì)應(yīng)的固有頻率分別為350.36 Hz和347.8 Hz，模態(tài)損耗因子分別為0.013 44和0.016 5，通過(guò)誤差比較可知，固有頻率的最大誤差值小于2%，模態(tài)損耗因子的最大誤差值小于7%，說(shuō)明了采用傳遞矩陣法對(duì)固有頻率和模態(tài)損耗因子求解的有效性。

表1 局部覆蓋粘彈性層合薄壁圓柱殼的固有頻率和模態(tài)損耗因子Tab.1 Natural frequencies and modal loss factors of a partially covered viscoelastic laminated cylindrical shell

由表1可知，前4階模態(tài)發(fā)生在軸向半波數(shù)為m=1和周向波數(shù)為n=4、5、6、7，則由兩種方法求解m=1、2和n=4、5、6、7得到的三維模態(tài)振型如表2所示，整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移變化關(guān)系一致，反映了構(gòu)件在懸臂端的振動(dòng)狀態(tài)，即在懸臂端處節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)位移最大，其中最低階（1，5）對(duì)應(yīng)的三維模態(tài)振型表現(xiàn)為懸臂端周向波數(shù)為5的花瓣形狀，說(shuō)明了使用傳遞矩陣法對(duì)三維模態(tài)振型求解的有效性。

（2）約束阻尼層位置對(duì)振動(dòng)特性的影響

當(dāng)基層、阻尼層和約束層的尺寸參數(shù)和材料參數(shù)不變時(shí)，僅改變阻尼層的軸向覆蓋位置，當(dāng)軸向半波數(shù)為1時(shí)振動(dòng)特性如圖3～5所示。由圖3和圖4可知，隨著周向波數(shù)的增加，當(dāng)約束阻尼層位于薄壁圓柱殼下部時(shí)固有頻率值最高，固有頻率值減小的順序依次為約束阻尼層位于中部和上部，全覆蓋阻尼層時(shí)的固有頻率值最低，同時(shí)上部覆蓋阻尼層和全覆蓋阻尼層的固有頻率值比較接近，固有頻率最低的一階均出現(xiàn)在第（1，5）階；對(duì)于模態(tài)損耗因子，當(dāng)阻尼層位于薄壁圓柱殼下部時(shí)模態(tài)損耗因子最小，模態(tài)損耗因子增加的順序依次為約束阻尼層位于中部和上部，全覆蓋約束阻尼層時(shí)的模態(tài)損耗因子最高，損耗因子越高時(shí)減振效果越好。這是由于約束阻尼層的影響，對(duì)基層薄壁圓柱殼起到了約束和耗能作用，當(dāng)約束阻尼層在下側(cè)時(shí)對(duì)于整體結(jié)構(gòu)剛度和阻尼影響不大，在上側(cè)時(shí)導(dǎo)致了固有頻率降低和損耗因子升高，也就更接近于全覆蓋約束阻尼層時(shí)的情況。

表2 局部覆蓋粘彈性層合薄壁圓柱殼的模態(tài)振型Tab.2 Three-dimensional modal shapes of a partially covered viscoelastic laminated cylindrical shell

圖3 約束阻尼層位置對(duì)固有頻率的影響Fig.3 The influence of constrained damping layer’s position to natural frequencies

圖4 約束阻尼層位置對(duì)模態(tài)損耗因子的影響Fig.4 The influence of constrained damping layer’s position to modal loss factors

圖5 約束阻尼層位置不同時(shí)整體結(jié)構(gòu)的三維模態(tài)振型Fig.5 Three-dimensional modal shapes with different position of constrained damping layer

當(dāng)約束阻尼層分別位于薄壁圓柱殼的上部、中部、下部和全覆蓋時(shí)，以最低階固有頻率對(duì)應(yīng)的振型（1，5）為例，如圖5和表2所示，三維模態(tài)振型均表現(xiàn)為懸臂端周向波數(shù)為5的花瓣形狀，這是由于下端是固定的，對(duì)于結(jié)構(gòu)有較強(qiáng)的約束，而對(duì)于上部約束的影響較小，引起懸臂端的振動(dòng)位移最大，這一階也是整體結(jié)構(gòu)最容易發(fā)生共振的一階。

3 結(jié) 論

在懸臂邊界條件下，通過(guò)算例求解得到了環(huán)狀局部覆蓋粘彈層合薄壁圓柱殼的模態(tài)振動(dòng)特性，并通過(guò)有限元法進(jìn)行了比較，主要結(jié)論如下：

（1）對(duì)于中部覆蓋約束阻尼層的薄壁圓柱殼，隨著階次的增加，采用兩種方法得到的固有頻率的誤差值小于2%，模態(tài)損耗因子的誤差值小于7%，三維模態(tài)振型的變化關(guān)系一致，并且以周向模態(tài)的振動(dòng)為主，前4階三維模態(tài)振型依次出現(xiàn)在m=1和n=5、6、4、7，固有頻率最低的（1，5）階三維振型表現(xiàn)為周向波數(shù)為5的花瓣形狀，在懸臂端的振動(dòng)位移最大，說(shuō)明了采用傳遞矩陣法對(duì)于此類(lèi)結(jié)構(gòu)模態(tài)振動(dòng)特性分析的有效性。

（2）當(dāng)約束阻尼層的覆蓋位置不同時(shí)，當(dāng)位于下部時(shí)固有頻率值最高，固有頻率依次減小的順序?yàn)榧s束阻尼層位于中部和上部，全覆蓋時(shí)固有頻率最低，固有頻率最低階模態(tài)振型均出現(xiàn)在（1，5）階；對(duì)于模態(tài)損耗因子，當(dāng)約束阻尼層位于下部時(shí)損耗因子最小，數(shù)值結(jié)果依次增加的順序?yàn)榧s束阻尼層位于中部和上部，全覆蓋時(shí)模態(tài)損耗因子最高。因此，從結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和減振效果的角度出發(fā)，當(dāng)約束阻尼層位于上部時(shí)的減振效果比較好，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況對(duì)構(gòu)件進(jìn)行減振處理。

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Study on vibration characteristics of a ring covered viscoelastic laminated cantilever thin cylindrical shell

WANG Yu1,ZHAI Jing-yu2,LI Chang1,SONG Hua1
(1.School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Liaoning,Anshan 114051,China;2.School of Mechanical Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

Vibration characteristics of a ring covered viscoelastic laminated cantilever thin cylindrical shell are studied by transfer matrix method.A first-order ordinary differential equations for the host shell and the constraining layer are established based on Love’s shell theory combining with deformation coordination of viscoelastic damping layer and interactional forces,and an integrated transfer matrix of the whole component is derived by transfer matrix method.Then,the natural frequencies,loss factors and three-dimensional shapes are derived by high-precise integration method,and its vibration characteristics are discussed when the covered position is different.Finally,the results are compared with results of finite element method.The example results show that transfer matrix method is effective to solve the vibration characteristics of the ring covered viscoelastic laminated cantilever thin cylindrical shell,and the main modal vibration occurs in the circumferential direction.The three-dimensional modal shape corresponding to the lowest order natural frequency is(1,5),and the cantilever’s vibration displacement is maximum.At the same time,the covered location of constrained damping layer has obvious impact on modal characteristics of the thin cylindricalshell.

viscoelastic laminated thin cylindrical shell;cantilever boundary condition;ring covered;three-dimensional modal shape

O326 TH113.1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.009

1007-7294（2017）11-1393-11

2017-05-18

遼寧省科技廳博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目（201601295）；遼寧省教育廳自由探索重點(diǎn)項(xiàng)目（2016TSZD07）；遼寧科技大學(xué)優(yōu)秀人才項(xiàng)目

王 宇（1979-），男，博士，講師，E-mail：wangyu435@126.com；

翟敬宇（1983-），男，博士，講師。