熵格子Boltzmann方法的重整化群代數(shù)湍流模型

劉 強，謝 偉，張再夫，田斌斌，邱遼原

（中國艦船研究設計中心，武漢 430064）

熵格子Boltzmann方法的重整化群代數(shù)湍流模型

劉 強，謝 偉，張再夫，田斌斌，邱遼原

（中國艦船研究設計中心，武漢 430064）

重整化群理論所建立的湍流模型能夠最大程度地減小模型經驗性，因此文章嘗試將重整化群代數(shù)湍流模型引入到熵格子Boltzmann方法中，建立新型的計算模型以對高雷諾數(shù)湍流進行模擬研究。同時為了進行比較研究，還建立了熵格子Boltzmann方法的標準大渦模擬模型。完成了對高雷諾數(shù)湍流繞流場的模擬計算。結果表明：所建立的熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)湍流模型能夠有效地模擬高雷諾數(shù)湍流流動問題；其對緊貼壁面處較小尺度湍渦的模擬結果趨近于大渦模擬的結果；重整化群代數(shù)湍流模型在對高雷諾數(shù)湍流的模擬中表現(xiàn)出耗散模型的特征。

熵格子Boltzmann方法；重整化群；代數(shù)湍流模型；大渦模擬；高雷諾數(shù)

0 引 言

格子Boltzmann方法（Lattice Boltzmann Method，簡稱LBM）可以被認為是氣體動理論中Boltzmann方程的一種簡化形式的特殊離散格式[1]。Boltzmann方程基于分子處于某一狀態(tài)的概率計算和統(tǒng)計理論建立，由此決定了LBM本質上是一種介觀方法[2-3]，其對物質的描述層次介于微團層次和分子層次之間。熵格子Boltzmann方法（Entropic Lattice Boltzmann Method，簡稱ELBM）是格子Boltzmann方法研究的一個分支，其對LBM的改進有效提高了數(shù)值模擬的穩(wěn)定性。

相比LBM在其他領域所取得的進展，基于LBM的湍流研究并不夠充足[3]。到目前為止，使用LBM對湍流流動問題的直接數(shù)值模擬仍然受到雷諾數(shù)的限制。為了進一步提高湍流模擬的雷諾數(shù)，Succi等[4]最早將k-ε湍流模型引入到LBM中。近期受到廣泛關注的是基于LBM的亞格子尺度模型研究，包括Premnath等[5]所引入的動態(tài)亞格子尺度模型，Dong等[3]所關注的慣性區(qū)一致模型，向先亞格子模型[6]及二次內單元模型[7]等。然而至今，尚未見到基于ELBM的重整化群（Renormalization Group，簡稱RNG）代數(shù)湍流模型的相關研究。由于代數(shù)湍流模型計算效率高，并且基于重整化群理論的湍流模型系數(shù)均由理論推導得來，其可以有效減少模型的經驗性，在本研究中嘗試將重整化群代數(shù)模型理論引入到熵格子Boltzmann方法中，從而建立了ELBM-RNG代數(shù)模型，基于此編寫了高雷諾數(shù)湍流模擬的計算程序。此外，本研究同時編寫了基于ELBM的大渦模擬亞格子尺度模型（ELBM-LES）的計算程序，并將兩種模型的模擬計算結果進行了比較分析。

1 熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)湍流模型理論

1.1 熵格子Boltzmann方法理論

熵格子Boltzmann方法的通用形式可寫為：

其中：速度分布函數(shù) f是空間位置矢量r（ x,y, ）z 、分子速度矢量及時間 t的函數(shù)，eα表示離散速度模型，δt表示時間間隔表示平衡態(tài)分布函數(shù)，υ為運動粘度，cs為格子聲速，Boltzmann所

定義H函數(shù)（H function）的離散形式寫為：

其中：ωi為相應權系數(shù)。

所選用平衡態(tài)分布函數(shù)的形式如下式所示：

其中：Wα表示權系數(shù)。

1.2 重整化群代數(shù)湍流模型理論

湍流分析重整化群理論的結果表示為：

其中：ν0為分子動力粘度表示空間維度，ε=4+y-d，參數(shù)y用以表征不同的流動情形，對于強非平衡流動y＞-2。此處參量ε并非指通常所指代的耗散率，表示網格單元體積內的平均能量耗散率，Sd表示d維空間下單位球體的面積，，λ0表示所求攝動解的階數(shù)（0 階則 λ0=0），D0=ν0kBT/ρ，kB為 Boltzmann 常數(shù)，T 為流體溫度，ρ為流體密度，湍流譜空間的截斷波數(shù)Λ與積分尺度有如下關系：

而慣性區(qū)湍流能量：

其中：由重整化群理論得到的Kolmogorov常數(shù)Ck的理論值Ck=1.607 5。

因此，在大于截斷波數(shù)Λ的所有波數(shù)范圍內對公式（6）進行積分，可得到湍動能的表達式：

在高雷諾數(shù)情況下可將重整化的湍流粘度寫為：

其中：取重整化群的理論值Cμ=0.084 5。

于是這樣就可以將混合長度用慣性尺度表達，將公式（7）代入公式（8）得到：

這樣，就可以用混合長度替代截斷波數(shù)，將公式（4）重寫為：

2 數(shù)值模擬計算

嘗試將重整化群代數(shù)湍流模型引入到熵格子Boltzmann方法中，對雷諾數(shù)為Re=1.0×106的圓柱繞流場進行了模擬研究。為了進行比較研究，同時建立了基于熵格子Boltzmann方法的大渦模擬標準Smagorinsky亞格子尺度模型，在相同計算網格下對相同的計算模型進行了模擬計算。其中ELBM-LES表示熵格子Boltzmann方法的大渦模擬標準Smagorinsky亞格子尺度模型，ELBM-RNG algebraic表示熵格子Boltzmann方法的重整化群代數(shù)湍流模型。

圖1 二維圓柱繞流場計算域Fig.1 Computational domain of 2-D flow field around a circular cylinder

圖2 圓柱表面壓力系數(shù)分布Fig.2 Pressure coefficient distribution on the circular cylinder surface

所建立的計算域形式如圖1所示，其中D表示圓柱的直徑。為了提高模擬計算的效率和準確性，研究中使用了具有3重網格的多重網格技術，具體可參見文獻[8]。離散速度模型使用D2Q9模型，邊界條件采用非平衡態(tài)外推格式。

圓柱繞流場尾流區(qū)位置x/D=0.75處的流向速度分量分布如圖3所示，其中x表示流向方向上距圓柱中心的距離，y表示縱向坐標（圓柱中心的縱向坐標參照為0），U0為特征速度的大小。圖4所示為尾流區(qū)位置x/D=1.5處的流向速度分量分布。

圖3 x/D=0.75處的時間平均流向速度分量分布 Fig.3 Time-averaged flow direction velocity component distribution at x/D=0.75

圖4 x/D=1.5處的時間平均流向速度分量分布Fig.4 Time-averaged flow direction velocity component distribution at x/D=1.5

模擬計算得到圓柱繞流場內的流線分布、渦量分布及大尺度應變率張量大小的分布如圖5-7所示。

可見，模擬計算所得到的圓柱表面壓力系數(shù)及湍流繞流場速度分布與實驗數(shù)據(jù)或已有的數(shù)值結果具有一致性，參見圖2-4，所建立的熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)湍流模型及大渦模擬亞格子尺度模型能夠有效進行高雷諾數(shù)湍流的數(shù)值模擬。對比兩個模型，盡管結果相近熵格子Boltzmann方法的大渦模擬計算表現(xiàn)略優(yōu)于重整化群代數(shù)模型。

此外參見圖5，兩個模型對湍流繞流場內反向對稱交替脫落卡門渦街的產生和演化過程也進行了有效的模擬預報。同時注意到，熵格子Boltzmann方法大渦模擬計算對緊貼壁面處較小尺度湍渦的模擬結果仍更加有效，然而重整化群代數(shù)湍流模型的結果已經趨于接近大渦模擬的結果，參見圖5-6。

圖5 模擬計算得到圓柱繞流場流線分布Fig.5 Streamline distribution calculated in the flow field around a circular cylinder

圖6 模擬計算得到圓柱繞流場渦量分布Fig.6 Vorticity distribution calculated in the flow field around a circular cylinder

圖7 模擬計算得到圓柱繞流場大尺度應變率張量大小分布Fig.7 Magnitude of large scale strain rate tensor distribution calculated in the flow field around a circular cylinder

由圖7所示模擬計算得到高雷諾數(shù)湍流繞流場內應變率張量大小的分布可知，兩個模型的結果能夠基本表現(xiàn)出一致性。較大值的應變率張量均首先出現(xiàn)在圓柱壁面附近，隨后跟隨渦的交替向后脫落而值逐漸減小。說明熵格子Boltzmann方法的重整化群代數(shù)湍流模型體現(xiàn)了一定的耗散模型特征。

3 結 論

在基于H定理完成對LBM的改進后，ELBM成為一種穩(wěn)定的數(shù)值格式，由此ELBM具有了模擬高雷諾數(shù)湍流的潛在能力。另一方面，建立在重整化群理論上的湍流模型最大程度地減小了模型經驗性。本研究中嘗試將重整化群代數(shù)湍流模型引入ELBM中，建立了高雷諾數(shù)湍流模擬的ELBM-RNG Algebric模型。為了進行比較研究，同時建立了ELBM-LES模型。編寫了兩個模型模擬計算高雷諾數(shù)圓柱繞流場的計算機程序。得到結論如下：

（1）所建立的熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)湍流模型及大渦模擬亞格子尺度模型能夠有效地模擬高雷諾數(shù)的湍流流動。

（2）熵格子Boltzmann方法的大渦模擬模型對流場壓力及速度等宏觀量的計算結果略優(yōu)于熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)模型的結果，重整化群代數(shù)湍流模型也表現(xiàn)出了較好的計算準確性。

（3）熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)模型能夠模擬尾跡區(qū)及壁面附近大尺度及較大尺度高雷諾數(shù)湍渦的形成和演化過程。對于緊貼壁面處較小尺度湍渦的形成和演化，其模擬結果與熵格子Boltzmann方法的大渦模擬結果也趨于接近。

（4）盡管重整化群代數(shù)湍流模型屬于代數(shù)模型，然而在對高雷諾數(shù)湍流的模擬中表現(xiàn)出耗散模型的特征。

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Renormalization group algebraic turbulence model in entropic lattice Boltzmann method

LIU Qiang,XIE Wei,ZHANG Zai-fu,TIAN Bin-bin,QIU Liao-yuan
(China Ship Development and Design Center,Wuhan 430064,China)

The renormalization group theory can furthest reduce the empirical value in turbulence models.A renormalization group algebraic turbulence model was introduced to the entropic lattice Boltzmann method,in order to establish a new model for high Reynolds number turbulent flow simulations.Meanwhile,with the view of comparative study,the standard large eddy simulation model in entropic lattice Boltzmann method was also established.Numerical simulations for the high Reynolds number turbulence were carried out.The results show that the renormalization group algebraic turbulence model established in entropic lattice Boltzmann method can effectively simulate high Reynolds number turbulent flows;as for the simulation of minor scale turbulent eddies,its results approach those of the LES model;the renormalization group algebraic turbulence model performs dissipation model features in the simulation of high Reynolds number turbulence.

entropic lattice Boltzmann method;renormalization group;algebraic turbulence model;large eddy simulation;high Reynolds number

O351.2

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.001

1007-7294（2017）11-1317-06

2017-05-25

國家自然科學基金項目（51079032）

劉 強（1990-），男，博士，工程師，E-mail：liuqiang7012012@126.com；

謝 偉（1969-），男，研究員。