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    生活中的二次函數(shù)

    2017-11-28 02:26:49王振玲
    初中生世界 2017年43期
    關(guān)鍵詞:毛利潤總費(fèi)用利潤

    王振玲

    生活中的二次函數(shù)

    王振玲

    隨著人類文明不斷進(jìn)步,數(shù)學(xué)生活化、生活數(shù)學(xué)化越來越明顯,現(xiàn)代數(shù)學(xué)以技術(shù)化的方式迅速影響到人們?nèi)粘I畹母鱾€(gè)領(lǐng)域,生活中也越來越需要數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)遍布人們的衣、食、住、行等各方面.下面我們就一起來領(lǐng)略生活中的二次函數(shù).

    一、二次函數(shù)與利潤

    利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以幫助我們解決生活中的最大利潤問題,這種問題也是中考中常見的熱點(diǎn)題型.

    例1某商場以每件42元的價(jià)格購進(jìn)一種服裝,由試銷知,每天的銷售量t(件)與每件的銷售價(jià)x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系為t=-3x+204.

    (1)寫出商場每天銷售這種服裝的毛利潤y(元)與每件的銷售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系.

    (2)商場要想每天獲得最大銷售毛利潤,每件的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?最大銷售毛利潤為多少?

    【解答】(1)由題意,銷售利潤y(元)與每件的銷售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系為:y=(x-42)(-3x+204),即y=-3x2+330x-8568.

    (2)配方得y=-3(x-55)2+507.故當(dāng)每件的銷售價(jià)為55元時(shí),可取得最大銷售毛利潤,每天最大銷售毛利潤為507元.

    【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.最大銷售利潤的問題常根據(jù)銷售利潤=(售價(jià)-成本)×銷售量列出函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)的增減性來解答,我們首先要吃透題意,確定變量,建立函數(shù)模型,然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案,從而得最大值(或最小值).

    例2某賓館有100張床位,每床每晚收費(fèi)100元,客床可全部租出,若每床每晚每次收費(fèi)提高20元,則減少10張床位租出;以每次提高20元這種方法變化下去,為了投資少且獲利多,每床每晚應(yīng)提高多少元?

    【解答】設(shè)每床每晚收費(fèi)應(yīng)提高x個(gè)20元,獲得利潤為y元,y=(100+20x)(100-10x)=-200(x-)2+11250,∵x取整數(shù),∴當(dāng)x=2或3時(shí),y最大,當(dāng)x=3時(shí),每床收費(fèi)提高60元,床位最少,即投資少,∴為了投資少而獲利大,每床每晚收費(fèi)應(yīng)提高60元.

    【點(diǎn)評】此題要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值(或最小值),也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=-時(shí)取得.

    例3某企業(yè)信息部進(jìn)行市場調(diào)研發(fā)現(xiàn):

    信息一:如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品,則所獲利潤y(A萬元)與投資金額x(萬元)之間存在正比例函數(shù)關(guān)系:yA=kx,并且當(dāng)投資5萬元時(shí),可獲利潤2萬元.

    信息二:如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品,則所獲利潤y(B萬元)與投資金額x(萬元)之間存在二次函數(shù)關(guān)系:yB=ax2+bx,并且當(dāng)投資2萬元時(shí),可獲利潤2.4萬元;當(dāng)投資4萬元時(shí),可獲利潤3.2萬元.

    (1)請分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式;

    (2)如果企業(yè)同時(shí)對A,B兩種產(chǎn)品共投資10萬元,請你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤的投資方案,并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少?

    【解答】(1)當(dāng)x=5時(shí),yA=2,則2=5k,

    解得k=0.4,∴yA=0.4x;

    當(dāng)x=2時(shí),yB=2.4;當(dāng)x=4時(shí),yB=3.2,

    (2)設(shè)投資B種商品x萬元,則投資A種商品(10-x)萬元,獲得利潤W萬元,

    根據(jù)題意可得:

    所以投資A種商品7萬元,B種商品3萬元,這樣投資可以獲得最大利潤5.8萬元.

    【點(diǎn)評】此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于雙函數(shù)的問題.第(2)問中要注意當(dāng)設(shè)投資B種商品為x萬元時(shí),yA=0.4x中的自變量為10-x;為防止混淆,也可以換個(gè)字母,如可設(shè)投資B種商品m萬元.

    二、二次函數(shù)與旅游

    “世界那么大,我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡(luò),如今隨著人們生活水平的提高,各景點(diǎn)要接待的游客也逐漸增加.

    例4某景點(diǎn)試開放期間,團(tuán)隊(duì)收費(fèi)方案如下:不超過30人時(shí),人均收費(fèi)120元;超過30人且不超過m(30<m≤100)人時(shí),每增加1人,人均收費(fèi)降低1元;超過m人時(shí),人均收費(fèi)都按照m人時(shí)的標(biāo)準(zhǔn).設(shè)景點(diǎn)接待有x名游客的某團(tuán)隊(duì),收取總費(fèi)用為y元.

    (1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

    (2)景點(diǎn)工作人員發(fā)現(xiàn):當(dāng)接待某團(tuán)隊(duì)人數(shù)超過一定數(shù)量時(shí),會(huì)出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費(fèi)用反而減少這一現(xiàn)象.為了讓收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加,求m的取值范圍.

    【解答】

    (2)由(1)可知當(dāng)0<x≤30或m<x≤100時(shí),函數(shù)值y都是隨著x的增加而增加,當(dāng)30<x≤m時(shí),y=-x2+150x=-(x-75)2+5625,∵a=-1<0,∴x≤75時(shí),y隨著x增加而增加,∴為了讓收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加,m的取值范圍為30<m≤75.

    【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、分段函數(shù)等知識(shí).問題(1)需要分0<x≤30,30<x≤m,m<x≤100三種情況;第(2)問可知當(dāng)0<x≤30或m<x≤100時(shí),函數(shù)值y都是隨著x的增加而增加,當(dāng)30<x≤m時(shí),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決增減性問題.

    三、二次函數(shù)與運(yùn)動(dòng)

    運(yùn)動(dòng)過程中,人、球或其他物體在某一段過程形成的軌跡可看成拋物線.

    例5甲、乙兩人羽毛球比賽,甲發(fā)出一個(gè)十分關(guān)鍵的球,出手點(diǎn)為P,羽毛球飛行的水平距離(sm)與其距地面高度h(m)之間的關(guān)系式為如圖,已知球網(wǎng)AB距原點(diǎn)5m,乙(用線段CD表示)扣球的最大高度為m,設(shè)乙的起跳點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失?。?1)求羽毛球出手時(shí)的高度;(2)求a的取值范圍.

    【解答】(1)令解析式中s=0時(shí),h=,則羽毛球的出手點(diǎn)高度為1.5m.

    【點(diǎn)評】第(1)問求出函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)果.第(2)問先求乙恰好扣中的情況,由于乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗,說明乙站到了恰好扣中的那個(gè)點(diǎn)和網(wǎng)之間.在利用二次函數(shù)解決生活實(shí)際問題時(shí),如果題中未給出平面直角坐標(biāo)系,還需要根據(jù)實(shí)際情況建立合適的坐標(biāo)系再進(jìn)行解答.

    (作者單位:江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué))

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