數(shù)形結(jié)合解二次函數(shù)的圖像信息題

馬曉銘

數(shù)形結(jié)合解二次函數(shù)的圖像信息題

馬曉銘

二次函數(shù)的圖像信息題是根據(jù)拋物線在平面直角坐標(biāo)系中的位置特征來(lái)確定拋物線解析式中各項(xiàng)系數(shù)及其相關(guān)的代數(shù)式的符號(hào).此題型立意新、設(shè)計(jì)巧，較好地將基礎(chǔ)與能力有機(jī)結(jié)合，因此它倍受廣大命題者的青睞，并成為數(shù)學(xué)中考的熱門(mén)考點(diǎn)之一.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和方法，抓住規(guī)律進(jìn)行分析和推理.現(xiàn)將二次函數(shù)的圖像信息題進(jìn)行歸納并舉例解析，與同學(xué)們分享.

例1二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，則下列結(jié)論成立的是（）.

圖1

A.a＞0，bc＞0B.a＜0，bc＞0

C.a＞0，bc＜0D.a＜0，bc＜0

【解析】∵拋物線的開(kāi)口向下，∴a＜0，

故A，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

∴b＜0，

而拋物線與y軸交于正半軸，則c＞0，

∴bc＜0.故選D.

【反思】由拋物線的開(kāi)口方向判斷a的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸進(jìn)行推理判斷b的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，需要掌握的規(guī)律是：

b的符號(hào)：對(duì)稱軸在y軸左邊?a、b同號(hào)，

對(duì)稱軸在y軸右邊?a、b異號(hào)，

對(duì)稱軸是y軸?b=0；

c的符號(hào)：與y軸交點(diǎn)位于y軸正半軸?c＞0，

與y軸交點(diǎn)位于y軸負(fù)半軸?c＜0，

與y軸交點(diǎn)是原點(diǎn)?c=0.

例2二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖2所示，有下列結(jié)論：（1）b＜0；（2）b2-4ac＞0；（3）a-b+c＜0，其中正確的個(gè)數(shù)有（）.

圖2

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【解析】（1）拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，a、b同號(hào)，即b＜0，正確；

（2）圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2-4ac＞0，正確；

（3）由圖像可以知道當(dāng)x=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y=a-b+c＞0.故選C.

拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)?Δ＞0，

拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)?Δ=0，

拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)?Δ＜0.

另外，當(dāng)x取特殊值時(shí)，通過(guò)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置可以判斷與a、b、c相關(guān)代數(shù)式的符號(hào)：如點(diǎn)（-1，a-b+c）在x軸的上方可判斷a-b+c＞0；

再如點(diǎn)（-3，9a-3b+c）、（2，4a+2b+c）均在x軸的下方，可判斷9a-3b+c＜0，4a+2b+c＜0等.

例3已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖3所示，那么下列判斷不正確的是（）.

A.abc＞0B.b2-4ac＞0

再次，建筑電氣工程設(shè)備布局和布線繁瑣。現(xiàn)代建筑電氣工程涉及到的內(nèi)容十分復(fù)雜，其中包含了大量的電氣設(shè)備，除了要從整體控制的角度出發(fā)對(duì)設(shè)備進(jìn)行科學(xué)選型之外，還應(yīng)該對(duì)設(shè)備的布局和布線進(jìn)行充分的考慮。但設(shè)備的復(fù)雜性卻為這兩項(xiàng)工作帶來(lái)了較大的困難，常常出現(xiàn)因布局或是布線不當(dāng)影響到電氣系統(tǒng)運(yùn)行效果的情況。對(duì)此，應(yīng)該將電氣工程和信息技術(shù)進(jìn)行融合，引入智能化技術(shù)，如自動(dòng)化控制、電子技術(shù)等，對(duì)電氣設(shè)備進(jìn)行統(tǒng)籌管理和控制，優(yōu)化設(shè)備布局，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行合理布線，這樣既能夠減少工作量，提升工作效率，同時(shí)還能為設(shè)備正常運(yùn)行創(chuàng)造有利條件。

C.2a+b＞0D.4a-2b+c＜0

圖3

【解析】拋物線開(kāi)口向上，∴a＞0，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，a、b異號(hào)，即b＜0，拋物線與y軸交于負(fù)半軸，則c＜0，故A正確；圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2-4ac＞0，所以B正確；由-＜1，a＞0可得-b＜2a，即2a+b＞0，故C正確；由圖像可以知道當(dāng)x=-2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y=4a-2b+c＞0，故D不正確.

【反思】只與a、b有關(guān)的代數(shù)式一般和對(duì)稱軸方程相關(guān)，如2a+b的符號(hào)判斷：觀察對(duì)稱軸位于1的左側(cè)，即-＜1，又由a＞0可得

若要判斷4a-b，a+b等代數(shù)式的符號(hào)，可觀察對(duì)稱軸位于-2和左側(cè)還是右側(cè)，同時(shí)解不等式時(shí)，要注意符號(hào).

例4二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖4，給出下列四個(gè)結(jié)論：①4ac-b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠-1），其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

圖4

【解析】∵拋物線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴b2-4ac＞0，∴4ac-b2＜0，∴①正確；

∵對(duì)稱軸是直線x=-1，和x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（1，0）之間，

∴拋物線和x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（-3，0）和（-2，0）之間，∴當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c＞0，

∴4a+c＞2b，∴②錯(cuò)誤；

∵對(duì)稱軸是直線x=-1，

∴3b+2c＜0，∴③正確；

∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-1，

∴y=a-b+c的值最大，

當(dāng)x=m（m≠-1）時(shí)，y=am2+bm+c＜a-b+c，

∴am2+bm+b＜a，

即m（am+b）+b＜a，∴④正確；

即正確的有3個(gè)，故選B.

【反思】除a、b、c、b2-4ac的正負(fù)可結(jié)合圖像判斷外，還要靈活運(yùn)用對(duì)稱軸、特殊點(diǎn)的位置來(lái)確定和a、b、c相關(guān)的一些代數(shù)式的符號(hào)，有的時(shí)候還需要把圖中得到的信息進(jìn)一步整合.

二次函數(shù)圖像信息題的特征是由圖像提供的信息去研究函數(shù)的性質(zhì)，從“形”的特征去判斷“數(shù)”的符號(hào).解決這類問(wèn)題首先要提高識(shí)圖的能力，其次要會(huì)分析和推理，從而做出正確的判斷.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）