反向思維在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用

許剛

摘 要：實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生在大學(xué)本科階段遇到的最難學(xué)的專業(yè)課之一，同時(shí)也是非常重要的專業(yè)學(xué)位課程，也是很多高水平大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)研究生入學(xué)考試的必備課程，因此，學(xué)好這樣一門課的重要性是不言而喻的。反向思維是實(shí)變函數(shù)學(xué)習(xí)中一種重要的學(xué)習(xí)方法，合理利用反向思維，可以讓學(xué)生快速掌握相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：反向思維；實(shí)變函數(shù)；反證法

中圖分類號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2017）35-0026-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.35.012

一、實(shí)變函數(shù)

實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析課程的進(jìn)階課程，數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中盡管也強(qiáng)調(diào)理論證明和邏輯分析的嚴(yán)密性，但是由于內(nèi)容的特點(diǎn)，仍不可避免地有大量的計(jì)算題，這就導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往忽略了分析的本質(zhì)，而片面地追求計(jì)算方法和計(jì)算的準(zhǔn)確性。但是實(shí)變函數(shù)就完全不同，它的產(chǎn)生主要是為了克服Riemann積分的不足，試圖建立更完美的微積分體系，因此，它是從集合論出發(fā)，建立相應(yīng)的Lebesgue可測(cè)集理論，在此基礎(chǔ)上建立可測(cè)函數(shù)理論，從而最終建立起Lebesgue積分。因此，實(shí)變函數(shù)需要將分析進(jìn)一步嚴(yán)密化，回歸到分析的本質(zhì)上。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，幾乎遇不到計(jì)算題，從開(kāi)始學(xué)這門課程的第一天到最后一天都是在證明中度過(guò)的，這就給學(xué)習(xí)這門課程帶來(lái)了很大的難度。

二、反向思維

如果能夠在教學(xué)過(guò)程中合理地引導(dǎo)學(xué)生利用反向思維，往往起到事半功倍的效果。反向思維是指能夠從問(wèn)題的反面思考問(wèn)題，多問(wèn)幾個(gè)為什么，特別是問(wèn)問(wèn)如果不滿足命題的條件會(huì)怎么樣？如果要得到相反的結(jié)論又需要什么不同的條件？能不能舉一些簡(jiǎn)單的反例？反向思維就是體現(xiàn)在學(xué)會(huì)使用反證法。其實(shí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，為什么會(huì)遇到題目不知如何證明，最直觀的認(rèn)識(shí)就是覺(jué)得條件不夠用，因此就特別希望能夠增加一些條件，反證法正好就提供了這么一個(gè)便利，通過(guò)增加一個(gè)與結(jié)論相反的條件，推導(dǎo)出與已知條件相矛盾的結(jié)論，從而證明相關(guān)命題。

三、反向思維對(duì)實(shí)變函數(shù)學(xué)習(xí)的幫助

（一）利于學(xué)生更加直觀理解問(wèn)題

這就說(shuō)明“<”是能夠取到的，這就會(huì)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)地研究Fatou引理的證明，并判斷到底是什么樣過(guò)程讓這個(gè)式子取“≤”而不是“=”，并且會(huì)進(jìn)一步探究到底添加什么樣的條件才能使“=”成立，從而推導(dǎo)出后面著名的Lebesgue控制定理。

（二）利于學(xué)生更加準(zhǔn)確理解概念

課本往往只介紹了正面的結(jié)果，對(duì)于一些不成立的事實(shí)卻只字不提，從而給學(xué)生的理解帶來(lái)很大的誤解，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于很多概念的理解很表面，甚至不正確。例如，在學(xué)習(xí)“集合測(cè)度”這個(gè)概念前，總是會(huì)先學(xué)習(xí)“集合外測(cè)度”的概念，盡管教師給學(xué)生強(qiáng)調(diào)過(guò)這兩個(gè)概念有相同的地方，也有不同的地方，主要取決于集合本身的性質(zhì)，在教學(xué)中也會(huì)舉不可測(cè)集的例子，說(shuō)明這個(gè)集合只有外測(cè)度，卻沒(méi)有測(cè)度。但是很多學(xué)生仍然會(huì)想當(dāng)然地對(duì)這兩個(gè)概念不加以區(qū)分，導(dǎo)致很多理解上的錯(cuò)誤。

例如，在講可測(cè)集時(shí)一定會(huì)提到，對(duì)于一個(gè)可測(cè)集E，一定存在可測(cè)集H和G，使得G？奐E？奐H，且m（H）=m（E）=m（G），即他們的測(cè)度都相等，這樣的集合H和G，我們分別稱之為集合E的等測(cè)包和等測(cè)核。而對(duì)于一個(gè)一般的集合E，周明強(qiáng)先生編寫的《實(shí)變函數(shù)》課本上也會(huì)說(shuō)，利用和前面類似的證明可以知道，存在可測(cè)集H，使得E？奐H，且m*（E）=m（H），即集合E的外測(cè)度等于可測(cè)集H的測(cè)度，這樣的可測(cè)集H仍然稱為E的等測(cè)包。但是課本上沒(méi)有說(shuō)明對(duì)于這樣的一般集合E是否存在等測(cè)核？可以給學(xué)生提出這樣一個(gè)思考題：“對(duì)于一般集合E，是否存在可測(cè)集合G，使得E？勱G，且m*（E）=m（G）？”絕大多數(shù)學(xué)生往往都會(huì)回答“存在的”。這就說(shuō)明學(xué)生并沒(méi)有理解測(cè)度和外測(cè)度的區(qū)別，因此，在課堂上需要再次引導(dǎo)學(xué)生“能否給出一個(gè)證明”，學(xué)生大都證明不出來(lái)。這時(shí)候再次引導(dǎo)學(xué)生利用反向思維來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題——“如果存在等測(cè)核會(huì)怎樣？”從而進(jìn)一步利用反證法來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。

反證：如果存在E的等測(cè)核G，使得m*（E）=m（G）。那么從課本上的定理可知，等測(cè)包H也是存在的。從而就可以推導(dǎo)出H＼E？奐H＼G，且m（H＼G）=m（H）-m（G）=0，因此有m*（H＼E）=0，再由零測(cè)集一定是可測(cè)集可知，H＼E是可測(cè)集，再由E=H＼（H＼E）可知，E一定是可測(cè)集，從而與E是一般集合矛盾。這就說(shuō)明對(duì)于不可測(cè)集是不存在等測(cè)核的。通過(guò)這個(gè)例子，讓學(xué)生進(jìn)一步明白了可測(cè)集與不可測(cè)集的區(qū)別、測(cè)度和外測(cè)度概念的不同。

四、結(jié)論

在教學(xué)中靈活運(yùn)用反向思維，能夠使學(xué)生快速準(zhǔn)確理解實(shí)變函數(shù)中的概念和定理，并且這個(gè)記憶和理解是直觀的，不容易忘記。

參考文獻(xiàn)：

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