用好相同元素 促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移
——“二次函數(shù)的應(yīng)用（1）”的教學(xué)與思考

■吳春蘭

用好相同元素 促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移
——“二次函數(shù)的應(yīng)用（1）”的教學(xué)與思考

■吳春蘭

很多數(shù)學(xué)知識(shí)之間都具有一定的邏輯關(guān)系，或者存在一定的相同元素，因此，在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，從原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中提取與新知識(shí)聯(lián)系最緊密的知識(shí)，讓新、舊知識(shí)在頭腦中發(fā)生積極地相互作用，新的知識(shí)就能更好地融入學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，并形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)新知識(shí)還能夠?qū)εf知識(shí)產(chǎn)生影響。本文以北師大版九年級(jí)下冊(cè)“二次函數(shù)的應(yīng)用（1）”為例，談?wù)勥w移在教學(xué)中的運(yùn)用，以及它對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)背景。

教材內(nèi)容分析 二次函數(shù)是描述變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，本課內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)圖像、性質(zhì)后展開(kāi)的后續(xù)學(xué)習(xí)，也可為探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系奠定基礎(chǔ)。其重點(diǎn)是讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中建立二次函數(shù)模型，并利用二次函數(shù)的最值解決實(shí)際問(wèn)題，如以最大利潤(rùn)為代表的問(wèn)題，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)模型思想。

學(xué)情分析 通過(guò)北師大版九上第二章“一元二次方程”的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了列一元二次方程解應(yīng)用題的方法，大部分學(xué)生能夠熟練將利潤(rùn)類型的應(yīng)用題通過(guò)建立方程模型求解，但仍有一部分學(xué)生暫時(shí)不能理清利潤(rùn)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。另外，通過(guò)二次函數(shù)圖像性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備求二次函數(shù)最值問(wèn)題的能力，能夠根據(jù)圖形對(duì)變量的變化情況進(jìn)行初步討論。

2.教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重、難點(diǎn)。

教學(xué)目標(biāo) 能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立二次函數(shù)模型，明確二次函數(shù)表達(dá)式的最值與實(shí)際問(wèn)題的最值對(duì)應(yīng)關(guān)系。在遷移學(xué)習(xí)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)模型思想，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

教學(xué)重點(diǎn) 建立二次函數(shù)最大利潤(rùn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并求出實(shí)際問(wèn)題的最大值。

教學(xué)難點(diǎn) 正確理解題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)最大利潤(rùn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

3.教學(xué)流程。

（1）回顧問(wèn)題，激發(fā)遷移。

情境：某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用品，如果以單價(jià)30元銷售，那么一個(gè)月內(nèi)可售出400件。根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量減少。即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件。設(shè)每件單價(jià)提高x元，

問(wèn)題①：要想每月獲得利潤(rùn)4500元，根據(jù)題意可列方程：___________________________.

問(wèn)題②：要想每月獲得利潤(rùn)4420元，根據(jù)題意可列方程：____________________________.

問(wèn)題③：要想每月獲得利潤(rùn)4180元，根據(jù)題意可列方程：___________________________.

問(wèn)題④：通過(guò)以上問(wèn)題，請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你發(fā)現(xiàn)了什么？

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)用一元二次方程解決以利潤(rùn)為代表的應(yīng)用題，并在此過(guò)程中突破“當(dāng)銷售單價(jià)變化時(shí)，銷量與單價(jià)之間的關(guān)系”這個(gè)難點(diǎn)，感受總利潤(rùn)與單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)計(jì)連續(xù)三個(gè)具有相同元素的重疊問(wèn)題，增大遷移量，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從方程模型到函數(shù)模型的遷移。

（2）引入函數(shù)，實(shí)現(xiàn)遷移。

問(wèn)題⑤：假設(shè)你是該商店的老板，從盡量獲取利潤(rùn)的角度出發(fā)，你會(huì)做些什么？

設(shè)計(jì)意圖：從具體利潤(rùn)抽象出變量利潤(rùn)，并實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)問(wèn)題最值與函數(shù)最值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；體會(huì)二次函數(shù)是解決一類最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的運(yùn)用。根據(jù)問(wèn)題④建立的總利潤(rùn)與提價(jià)之間的模型（30+x-20）×（400-20x）=y，自然將方程模型遷移成函數(shù)模型，同時(shí)理解二次函數(shù)最值與實(shí)際問(wèn)題中最大利潤(rùn)的聯(lián)系。

（3）當(dāng)堂練習(xí)，鞏固遷移。

練習(xí)：某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為8元的商品，如果以單價(jià)10元銷售，那么每天可銷售100件。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種商品每提高1元，銷售量相應(yīng)減少10件。

①將銷售價(jià)提高多少元，可使每天所獲利潤(rùn)為320元；

②將銷售價(jià)提高多少元，才能使每天所獲利潤(rùn)最大？最大為多少？

③由于供貨量不足，采用限量供應(yīng)的辦法，每天供應(yīng)50件，要想獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)將價(jià)格提高多少，才能使每天所獲利潤(rùn)最大，最大為多少？

④若要每天所獲利潤(rùn)不低于350元，該商品單價(jià)的取值范圍是多少？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}①②為基礎(chǔ)題，面向全體學(xué)生；問(wèn)題③④是面向中上層學(xué)生，要求學(xué)生結(jié)合二次函數(shù)圖像性質(zhì)分析自變量的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響，體會(huì)實(shí)際生活中種種條件的限制，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

（4）新舊對(duì)比，感悟遷移。

提升：通過(guò)引例和練習(xí)，對(duì)比方程應(yīng)用題和函數(shù)應(yīng)用題，你能發(fā)現(xiàn)什么？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)上兩個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，對(duì)比兩種應(yīng)用題的相同元素可得：當(dāng)利潤(rùn)是具體的數(shù)值時(shí)，應(yīng)建立方程類應(yīng)用題模型，知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如圖1；當(dāng)所求的利潤(rùn)是最值時(shí)，應(yīng)建立函數(shù)關(guān)系模型，知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如圖2。

圖1

圖2

（5）分層作業(yè)，鞏固知識(shí)。

作業(yè)：某果園有100棵橙子樹(shù)，每一棵樹(shù)平均結(jié)600個(gè)橙子?，F(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹(shù)以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹(shù)，那么樹(shù)之間的距離和每一棵樹(shù)所接受的陽(yáng)光就會(huì)減少。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，每多種一棵樹(shù)，平均每棵樹(shù)就會(huì)少結(jié)5個(gè)橙子。

①如果想要果園橙子總產(chǎn)量是60300個(gè)，應(yīng)該增種多少棵橙子樹(shù)？

②如果想要果園橙子總產(chǎn)量最大，應(yīng)該增種多少棵橙子樹(shù)？

③果園增種多少棵果樹(shù)，可以使得橙子的總產(chǎn)量在60400個(gè)以上？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}①②③綜合了列一元二次方程解應(yīng)用題、二次函數(shù)最值應(yīng)用題、受自變量取值范圍影響的二次函數(shù)最值問(wèn)題。鞏固不同層次的學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

二、幾點(diǎn)思考

1.基于學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律，巧用認(rèn)知遷移。

心理學(xué)研究表明，越是具有普遍意義的知識(shí)，越容易保持和遷移。函數(shù)學(xué)習(xí)的普遍性、系統(tǒng)性特征是很突出的，在教學(xué)中要基于認(rèn)知規(guī)律，抓住知識(shí)的內(nèi)在相同元素，找準(zhǔn)學(xué)情，巧妙地把方程的知識(shí)遷移到函數(shù)問(wèn)題中，同時(shí)把函數(shù)問(wèn)題具體化為方程問(wèn)題，能夠相互促進(jìn)和補(bǔ)充，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能起事半功倍的效果。

就本節(jié)課而言，列一元二次方程解應(yīng)用題是學(xué)生原有、熟悉的知識(shí)，而二次函數(shù)的最值問(wèn)題是新的內(nèi)容，但是二者的思考方法、技能訓(xùn)練有相當(dāng)大的重疊。在教學(xué)中，把一元二次方程應(yīng)用題的解題思路、方法遷移到函數(shù)應(yīng)用題中，同時(shí)把函數(shù)應(yīng)用題化為方程應(yīng)用題，是對(duì)學(xué)習(xí)方法的提升。對(duì)于解題方法、技能的遷移，從抽象到具體，總結(jié)成兩個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，強(qiáng)化學(xué)習(xí)遷移，也深化了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)遷移的形象理解，從數(shù)學(xué)解題方法上實(shí)現(xiàn)數(shù)的理解與形的認(rèn)知相融合。

2.把握前后聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)模型遷移。

筆者曾嘗試過(guò)在兩個(gè)班級(jí)中對(duì)本課時(shí)進(jìn)行與教科書(shū)相同步驟的教學(xué)，即將二次函數(shù)應(yīng)用題直接拋給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、討論后，形成解題思路，然后教師分析講解，幫助學(xué)生總結(jié)提升。在此傳統(tǒng)教學(xué)方法下，優(yōu)秀的學(xué)生能通過(guò)重新建構(gòu)函數(shù)模型知識(shí)結(jié)構(gòu)，把握最值問(wèn)題的解題方法。有一部分基礎(chǔ)一般的學(xué)生，也會(huì)生搬硬套解題套路。比如設(shè)未知數(shù)的典型錯(cuò)誤是，“設(shè)價(jià)格提升x元/件，最大利潤(rùn)為y元”，這未能理解題意中“總利潤(rùn)、銷售單價(jià)同時(shí)作為變量”的關(guān)系，照搬數(shù)學(xué)模型進(jìn)行答題。甚至出現(xiàn)部分學(xué)生不設(shè)利潤(rùn)y元，因?yàn)樗麄兛梢岳斫獬梢粋€(gè)未知數(shù)，或者兩個(gè)平行的未知數(shù)關(guān)系（二元一次方程組解應(yīng)用題），但很難掌握兩個(gè)變量的二次函數(shù)模型。而采用本課時(shí)學(xué)習(xí)遷移的教學(xué)策略后，沒(méi)有一個(gè)學(xué)生出現(xiàn)生搬硬套數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題，更可喜的是只要學(xué)生能夠解方程問(wèn)題，就可以理解總利潤(rùn)也是一個(gè)變量，兩者之間是一種二次函數(shù)的數(shù)量關(guān)系，從而能夠正確建立最值問(wèn)題的函數(shù)模型。把握前后聯(lián)系，重視知識(shí)的整體教學(xué)效果在此較為顯著。

3.用好相同元素，完善結(jié)構(gòu)遷移。

學(xué)習(xí)遷移有賴于情境之間的相同元素。在教學(xué)中找準(zhǔn)學(xué)情，引導(dǎo)學(xué)生將已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)遷移到新的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，同時(shí)讓新的知識(shí)有效增強(qiáng)對(duì)舊知識(shí)的理解，歸納新舊知識(shí)中的共同的元素，促進(jìn)新舊知識(shí)的交互作用，有利于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的滲透是一項(xiàng)長(zhǎng)期工程，我們不能希望僅僅通過(guò)一節(jié)課就能使學(xué)生掌握學(xué)習(xí)遷移，就能完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而是應(yīng)該讓學(xué)習(xí)遷移貫穿在每一塊具有相同元素的知識(shí)體系中，引導(dǎo)學(xué)生用好知識(shí)版塊中的相同元素，建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成整體化的數(shù)學(xué)觀。在初中數(shù)學(xué)里，二元一次方程組與一次函數(shù)，分式的意義與分式方程解的存在性，一元二次方程與二次函數(shù)，全等三角形與相似三角形的性質(zhì)判定等，它們之間都存在內(nèi)在的聯(lián)系，教學(xué)中我們都可以采用行之有效的辦法，巧用結(jié)構(gòu)性遷移規(guī)律，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率。

（作者為廣東省深圳市民治中學(xué)教師）