冗余鋪絲機(jī)械手自運(yùn)動(dòng)流形分析及優(yōu)化

徐朋，趙東標(biāo)＊，應(yīng)明峰，李奎

冗余鋪絲機(jī)械手自運(yùn)動(dòng)流形分析及優(yōu)化

徐朋，趙東標(biāo)＊，應(yīng)明峰，李奎

南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，南京 210016

針對(duì)傳統(tǒng)位姿分離式鋪絲機(jī)械手靈活性不足的特點(diǎn)，為了提高航空復(fù)合材料鋪絲過程的靈活性和避障礙能力，提出一種位姿耦合式冗余鋪絲機(jī)械手自運(yùn)動(dòng)流形的新算法。由于冗余鋪絲機(jī)械手各關(guān)節(jié)之間的強(qiáng)耦合性增加了逆解的求解難度，該算法將冗余鋪絲機(jī)械手的關(guān)節(jié)逆解分解為已知的Paden－Kahan旋量子問題以及由位置關(guān)節(jié)組成的特殊旋量子問題，并針對(duì)特殊旋量子問題進(jìn)行求解得到冗余鋪絲機(jī)械手全部逆解，這樣相對(duì)于位姿分離式解法有效提高了冗余鋪絲機(jī)械手逆解的求解效率以及求解直觀性。由于冗余鋪絲機(jī)械手的逆解呈現(xiàn)出流形的結(jié)構(gòu)，所以根據(jù)冗余鋪絲機(jī)械手自運(yùn)動(dòng)流形的多維特性，將冗余鋪絲機(jī)械手的自運(yùn)動(dòng)流形分別映射到位置關(guān)節(jié)空間和姿態(tài)關(guān)節(jié)空間得到其三維仿真曲線。由于冗余鋪絲機(jī)械手逆解流形中的優(yōu)化流形在實(shí)際控制中更具應(yīng)用價(jià)值，所以在鋪絲機(jī)械手末端執(zhí)行器沿芯模軌跡運(yùn)動(dòng)速度平穩(wěn)的前提下為了使機(jī)械手各關(guān)節(jié)速度變化最小，提出以冗余鋪絲機(jī)械手關(guān)節(jié)速度組成的約束泛函為目標(biāo)得到相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化流形，并為后續(xù)的最優(yōu)控制奠定了基礎(chǔ)。最后以某型號(hào)飛機(jī)S形進(jìn)氣道為例驗(yàn)證了所提方法的可行性。

冗余；鋪絲；逆解；旋量；流形

復(fù)合材料纖維鋪放（Fiber Placement，F(xiàn)P）成型技術(shù)［1－5］是一種精確地復(fù)合材料成型技術(shù)，既可以鋪凸面和凹面也可以鋪規(guī)則曲面和自由曲面［6－8］，并且大大降低了復(fù)合材料的制造成本，提高了復(fù)合材料性能，在航空航天、武器裝備等方面有著廣泛地應(yīng)用。因此對(duì)于復(fù)合材料纖維鋪放成型技術(shù)的工作母機(jī)［9－12］—鋪絲機(jī)械手的研究已經(jīng)成為當(dāng)前先進(jìn)制造技術(shù)一個(gè)新的研究方向。鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是實(shí)現(xiàn)整個(gè)鋪絲過程運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)控制的基礎(chǔ)［13－15］，冗余鋪絲機(jī)械手具有無數(shù)多個(gè)逆解，所有逆解構(gòu)成了冗余鋪絲機(jī)械手的解流形，解流形構(gòu)成的解空間和末端執(zhí)行器工作空間存在的映射關(guān)系從本質(zhì)上反映了冗余鋪絲機(jī)械手的自運(yùn)動(dòng)能力［16－17］，冗余鋪絲機(jī)械手的冗余特性決定了鋪絲過程的靈活性和避障礙能力大小。

目前國外在這方面研究比較深入，由于技術(shù)對(duì)中國封鎖，很多詳細(xì)的算法、數(shù)據(jù)、鋪絲參數(shù)都不公布，可參考的資料較少，Pierre等［18］給出了包括芯模的七自由度冗余鋪絲機(jī)械手的逆解算法，但是芯模坐標(biāo)系和基座標(biāo)系之間的相對(duì)位姿關(guān)系并沒有考慮芯模的瞬時(shí)轉(zhuǎn)角，導(dǎo)致鋪絲機(jī)械手失去了冗余特性；Kyle［19］介紹了可以鋪放大型設(shè)備的冗余鋪絲機(jī)械手模型，但是并沒有涉及到逆解及自運(yùn)動(dòng)流形的研究分析；Long等［20］利用微分幾何學(xué)研究了自由曲面上的鋪絲路徑問題，對(duì)于鋪絲機(jī)械手的逆解及控制問題并沒有做詳細(xì)的介紹；國內(nèi)關(guān)于鋪絲機(jī)械手逆解的研究主要包括：邵忠喜等［21］給出了鋪絲機(jī)械手逆解的后置處理算法，提高了鋪絲機(jī)械手的控制精度，但并沒有涉及到逆解的自運(yùn)動(dòng)流形；葛新鋒和趙東標(biāo)［22］在理論上給出了位姿分離式冗余鋪絲機(jī)械手的自運(yùn)動(dòng)流形分析，但是當(dāng)芯模鋪絲軌跡給定時(shí)鋪絲機(jī)械手將會(huì)失去冗余特性，不利于避障礙及逆解的優(yōu)化。在關(guān)于冗余機(jī)械手的自運(yùn)動(dòng)流形研究方面，Tisius等［23］以8自由度鑿巖機(jī)械臂為研究對(duì)象，提出一種基于運(yùn)動(dòng)軌跡求解多關(guān)節(jié)冗余機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方法；Wei等［24］在空間建立了nR機(jī)械手的通用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并利用變分法解決了nR機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解；Galicki［25］通過參數(shù)估計(jì)利用反自由控制算法對(duì)冗余機(jī)械手的工作空間流形做了詳細(xì)分析，得出了逆解的最大和最小取值范圍；Iqbal和Aized［26］給出了特殊8自由度冗余機(jī)械手的工作空間分析和優(yōu)化，得出了提高機(jī)械手關(guān)節(jié)空間工作效率的有效方法。Moll和Kavraki［27］通過在冗余機(jī)械手的自運(yùn)動(dòng)流形上尋找最小能量曲線的方法，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械手的最優(yōu)軌跡規(guī)劃；Burdick［28］給出了平面3R機(jī)構(gòu)和空間4R機(jī)構(gòu)的自運(yùn)動(dòng)流形，并得出Jacobian矩陣的零空間即是自運(yùn)動(dòng)流形切空間的結(jié)論；Hsia和Guo［29－30］以機(jī)器人避障作為運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化性能指標(biāo)來求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解，得到了基于避障勢函數(shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解；趙建文等［31］利用位姿分離式算法得到了特殊結(jié)構(gòu)冗余機(jī)器人參數(shù)化的自運(yùn)動(dòng)流形，但并沒有具體給出解空間和工作空間之間的流形映射關(guān)系。

為了提高鋪絲機(jī)械手在鋪絲過程中的靈活性和避障礙能力，本文針對(duì)特殊結(jié)構(gòu)的冗余鋪絲機(jī)械手，利用旋量［32－35］和自運(yùn)動(dòng)流形相結(jié)合的方法給出其逆解流形，在位置工作空間和姿態(tài)工作空間分別進(jìn)行了仿真分析，并以飛機(jī)S形進(jìn)氣道為例進(jìn)行仿真驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性。最后以冗余機(jī)械手關(guān)節(jié)速度組成的約束泛函為目標(biāo)給出了相應(yīng)的優(yōu)化流形，同時(shí)利用目標(biāo)函數(shù)驗(yàn)證了所得優(yōu)化流形的正確性。

1 冗余鋪絲機(jī)械手模型

圖1 為新型冗余鋪絲機(jī)械手結(jié)構(gòu)模型，由單自由度導(dǎo)軌、六自由度（DOF）KUKA機(jī)械手及單自由度旋轉(zhuǎn)芯模組成。

其中，導(dǎo)軌和六自由度庫卡機(jī)械手組成七自由度冗余鋪絲機(jī)械手，芯模的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)成另外一個(gè)自由度。相對(duì)于位姿分離式鋪絲機(jī)械手，新型冗余鋪絲機(jī)械手模型各個(gè)關(guān)節(jié)之間存在強(qiáng)耦合關(guān)系，雖然增加了逆解計(jì)算方面的復(fù)雜性，但是靈活性和避障礙能力卻得到了提高，可以適應(yīng)更復(fù)雜的工作環(huán)境及有助于逆解的進(jìn)一步優(yōu)化。由于芯模的轉(zhuǎn)速是由芯模上鋪絲軌跡所決定，而鋪絲軌跡點(diǎn)取決于芯模的形狀，所以當(dāng)芯模上的鋪絲軌跡確定以后，芯模自由度就受到了約束，這時(shí)傳統(tǒng)的位姿分離式鋪絲機(jī)械手將會(huì)失去冗余特性，解空間中的點(diǎn)將是離散的有限點(diǎn)，這樣就喪失了冗余鋪絲機(jī)械手應(yīng)有的靈活性、避障能力及逆解優(yōu)化的效果，而新設(shè)計(jì)的冗余鋪絲機(jī)械手模型很好的解決了這一問題。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

冗余機(jī)械手的位姿分離式算法［31］是一種將位置關(guān)節(jié)和姿態(tài)關(guān)節(jié)強(qiáng)行分開求解的方法，這有利于求解以直線運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)組成的位置空間，而當(dāng)位置空間由轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)組成的時(shí)候則會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，因?yàn)槲恢藐P(guān)節(jié)的變化會(huì)影響到鋪絲機(jī)械手腕關(guān)節(jié)姿態(tài)的變化，此時(shí)需要附加相應(yīng)的優(yōu)化函數(shù)。所以為了提高冗余鋪絲機(jī)械手逆解求解的精度、效率和直觀性，本文在基于旋量理論基礎(chǔ)之上通過設(shè)定冗余關(guān)節(jié)的方法對(duì)鋪絲機(jī)械手涉及到的特殊旋量子問題進(jìn)行求解，然后結(jié)合旋量理論兩個(gè)已知的Paden－Kahan子問題得到冗余鋪絲機(jī)械手的全部逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。冗余鋪絲機(jī)械手的初始狀態(tài)及各連桿間的尺寸參數(shù)如圖2所示。圖2中：｛S｝為慣性坐標(biāo)系；｛T｝為工具坐標(biāo)系；ω2～ω7為沿各旋轉(zhuǎn)軸線的單位矢量；v1為沿直線運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)方向的單位矢量；r1～r5分別為各旋轉(zhuǎn)軸線上的點(diǎn)；ξ1～ξ7為相應(yīng)的單位運(yùn)動(dòng)旋量；a1～a6為機(jī)械手的尺寸參數(shù)；d1為冗余關(guān)節(jié)變量。則初始狀態(tài)下工具坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系之間的變換矩陣為

各個(gè)關(guān)節(jié)的單位運(yùn)動(dòng)旋量為

各旋轉(zhuǎn)軸線上點(diǎn)的表達(dá)式為

所以相應(yīng)的單位運(yùn)動(dòng)旋量為

旋量表示下冗余鋪絲機(jī)械手的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)指數(shù)積公式為

式中：gst（θ）為鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解；θ2～θ7為相應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角。式（5）可轉(zhuǎn)化為

將式（6）兩邊同時(shí)右乘向量點(diǎn)r5可得

式（7）是一個(gè)關(guān)于4自由度的旋量子問題，變形可得

由于d1為冗余關(guān)節(jié)變量，這樣4自由度的旋量子問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)軸線平行，且與第三軸線異面垂直的特殊旋量子問題，如圖3所示。

圖3 中：點(diǎn)q1、q2為ξ2軸上任意選取的兩點(diǎn)；點(diǎn)p1、p2為點(diǎn)p到q的過渡點(diǎn)；點(diǎn)p與腕點(diǎn)r5重合。根據(jù)位置幾何關(guān)系可得

分別?。?/p>

將已知點(diǎn)p2代入式（10），然后根據(jù)已知的Paden－Kahan子問題可以求得θ2、θ3、θ4，其表達(dá)式分別為

求得了θ2、θ3、θ4，對(duì)式（6）變形可得

將式（14）兩邊右乘點(diǎn)r6可得

式（15）是一個(gè)關(guān)于兩軸相交的Paden－Kahan子問題，通過計(jì)算可以得到

將θ2～θ6代入式（6）可得

取點(diǎn)r7不在＾ξ7軸上，將式（18）兩邊右乘點(diǎn)r7可得

根據(jù)式（19）可得

在冗余鋪絲機(jī)械手結(jié)構(gòu)參數(shù)已定的情況下，本文所得到的關(guān)節(jié)逆解θ2～θ7均是以d1為變量的函數(shù)，當(dāng)d1值取定時(shí)共有八組關(guān)節(jié)逆解。作為冗余機(jī)械手，每個(gè)關(guān)節(jié)都可以作為冗余變量，基于不同的冗余變量其運(yùn)動(dòng)構(gòu)型是一致的，但是不同冗余變量對(duì)應(yīng)的自運(yùn)動(dòng)流形是不同的，本文為了工程上方便測量和計(jì)算，以d1作為冗余變量來計(jì)算逆解及流形仿真。

3 仿真驗(yàn)證

定義關(guān)節(jié)構(gòu)型空間：

式中：C1為移動(dòng)關(guān)節(jié)構(gòu)型空間，C2～C7為庫卡機(jī)械手各轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)構(gòu)型空間，機(jī)器人關(guān)節(jié)所起的作用相當(dāng)于數(shù)學(xué)里的函數(shù)，它實(shí)現(xiàn)了關(guān)節(jié)構(gòu)型空間和末端執(zhí)行器位姿工作空間之間的映射與逆映射。當(dāng)滑軌運(yùn)動(dòng)時(shí)，冗余鋪絲機(jī)械手逆解將會(huì)呈現(xiàn)出流形的結(jié)構(gòu)，它包括了冗余鋪絲機(jī)械手的全部逆解。

冗余鋪絲機(jī)械手具體結(jié)構(gòu)參數(shù)為

定義臂形標(biāo)志為

?。?/p>

由以上所得數(shù)據(jù)可得在右上臂形不翻腕的情況下關(guān)節(jié)角θ2～θ7基于冗余關(guān)節(jié)d1變化的仿真曲線及冗余鋪絲機(jī)械手的位置構(gòu)型圖，如圖4所示。當(dāng)針對(duì)芯模上某一確定鋪絲點(diǎn)時(shí)，隨著冗余關(guān)節(jié)的變化，鋪絲機(jī)械手具有無窮多個(gè)關(guān)節(jié)逆解，并且呈現(xiàn)出流形的結(jié)構(gòu)。這樣極大增強(qiáng)了鋪絲機(jī)械手在工作空間中的靈活性以及解空間的優(yōu)化性能，然后根據(jù)控制要求和約束函數(shù)找到最優(yōu)逆解。

其中坐標(biāo)軸x、y、z分別對(duì)應(yīng)于慣性坐標(biāo)系｛S｝的方向，由于自運(yùn)動(dòng)流形的多維特性，無法在三維空間中直觀展示，所以將冗余鋪絲機(jī)械手的自運(yùn)動(dòng)流形分別映射到以θ2、θ3、θ4為主的位置關(guān)節(jié)空間和以θ5、θ6、θ7為主的姿態(tài)關(guān)節(jié)空間，如圖5所示。

圖5中：c1～c8分別表示了鋪絲機(jī)械手的不同臂形標(biāo)志。具體形式為

在滿足飛機(jī)S形進(jìn)氣道設(shè)計(jì)和性能要求基礎(chǔ)之上，通過測量得到一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后利用樣條函數(shù)進(jìn)行擬合得到飛機(jī)S形進(jìn)氣道的期望軌跡。下面以飛機(jī)S形進(jìn)氣道為例進(jìn)行仿真來驗(yàn)證所得結(jié)論的正確性。

由圖6可以看到利用旋量結(jié)合參數(shù)方程的方法得到的仿真軌跡與期望軌跡高度吻合，而利用位姿分離法得到的仿真軌跡與期望軌跡吻合度較差，需要進(jìn)一步利用優(yōu)化函數(shù)來提高其精度，這也進(jìn)一步增加了求取逆解的復(fù)雜性。所以本文得到的自運(yùn)動(dòng)逆解流形不僅是正確的，而且相比于位姿分離法顯著提高了逆解的求解精度、效率及直觀性。

在實(shí)際鋪絲過程中機(jī)械手末端執(zhí)行器沿芯模軌跡運(yùn)動(dòng)的速度是保持不變的如圖7所示，x為末端執(zhí)行器速度；x0為出絲速度；t1到t2為鋪絲工作時(shí)間；t3為鋪絲結(jié)束時(shí)間。在此基礎(chǔ)上為了使鋪絲機(jī)械手各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度變化最小，提出以關(guān)節(jié)速度為目標(biāo)的優(yōu)化函數(shù)：

式中：θ 為 機(jī)械手 的關(guān) 節(jié) 速 度 ；θi為 機(jī) 械 手 某 一 關(guān)節(jié)的速度。

約束條件為

式中：J為冗余機(jī)械手的雅可比矩陣。建立增廣泛函：

式中：λ為拉格朗日乘子。

由式（26）可以生成相應(yīng)的控制算法，分配鋪絲機(jī)械手各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)，使得末端執(zhí)行器沿預(yù)定軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)冗余機(jī)械手各運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)速度變化最小。這樣不僅提高了鋪絲工作效率也增強(qiáng)了鋪絲機(jī)械手工作過程中的平穩(wěn)性。由式（23）、式（26）可以得到關(guān)于S的最小值，通常在滿足自運(yùn)動(dòng)控制要求前提下為了提高鋪絲機(jī)械手的靈活性及避障礙能力，在最小值S附近取S≤S0（S0是與優(yōu)化流形邊界值相關(guān)的參數(shù)）來求得相應(yīng)的優(yōu)化逆解，從而得到位置和姿態(tài)自運(yùn)動(dòng)優(yōu)化仿真流形如圖8所示。

圖9 所示為鋪絲機(jī)械手處于右上臂形不翻腕情況下鋪絲機(jī)械手各關(guān)節(jié)基于目標(biāo)函數(shù)S的變化曲線，由圖示可知隨著冗余關(guān)節(jié)d1的變化S0以下紅色區(qū)域?yàn)閷?duì)應(yīng)的最優(yōu)化自運(yùn)動(dòng)流形，同理可以得到其他臂形標(biāo)志下鋪絲機(jī)械手各關(guān)節(jié)隨目標(biāo)函數(shù)的變化曲線，并證明所得優(yōu)化流形的正確性。

4 結(jié) 論

1）利用旋量理論結(jié)合參數(shù)方程的方法提出一種求解位姿耦合式冗余鋪絲機(jī)械手自運(yùn)動(dòng)流形的新算法，并分別得到了相應(yīng)的位置工作空間和姿態(tài)工作空間仿真流形，相比于鋪絲機(jī)械手的位姿分離式算法求解精度更高、直觀性更強(qiáng)，并利用飛機(jī)S形進(jìn)氣道為例驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性。

2）求取的逆解為冗余鋪絲機(jī)械手的全部逆解，但并不是所有逆解都符合冗余機(jī)械手的實(shí)際鋪絲過程，在滿足靈活性、避障礙能力及自運(yùn)動(dòng)控制的前提下為了使鋪絲機(jī)械手各關(guān)節(jié)速度變化最小提出基于鋪絲機(jī)械手關(guān)節(jié)速度的約束泛函，并在此基礎(chǔ)上得到了最優(yōu)自運(yùn)動(dòng)流形，為鋪絲過程實(shí)現(xiàn)最優(yōu)運(yùn)動(dòng)控制奠定了基礎(chǔ)。

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Analysis and optimization for self－motion manifolds of redundant fiber placement manipulator

XU Peng，ZHAO Dongbiao＊，YING Mingfeng，LI Kui
College of Mechanical and Electrical Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China

Traditional position and posture separated fiber placement manipulator is less flexible．To improve the flexibility and obstacle avoidance capability of the manipulator for aerospace composite material placement，a new algorithm of selfmotion manifolds is proposed for the position and posture coupled redundant fiber placement manipulator model．As the strong coupling between each joint of the redundant fiber placement manipulator can cause increased difficulty in obtaining inverse solutions，the inverse solution for the manipulator joint is decomposed into the known Paden－Kahan screw sub－problem and special screw sub－problem．Solution to the special screw sub－problem is obtained to get the whole inverse solution for the redundant fiber placement manipulator．The efficiency and intuitivity of the inverse solution for the manipulator is thus enhanced．As the inverse solutions for the redundant fiber placement manipulator presents a structure of manifolds，the self－motion manifolds of the redundant fiber placement manipulator are mapped to position joints space and posture joints space to get three－dimensional simulation curve based on the multi－dimensional characteristic of the self－motion manifolds of the redundant fiber placement manipulator．The optimized manifolds are more applicable than the whole general manifolds in the practical control，so the optimized manifolds are obtained by the objective function constituted by joint velocity of the redundant manipulator in order to enable the kinetic energy minimum and various joints velocity to change more smoothly and steadily while the end effector moves along the mandrel trajectory，providing foundation for subsequent optimum control．The method is verified by using the S－shaped inlet simulation．

redundancy；fiber placement；inverse solutions；screw；manifolds

2016－01－31；Revised：2016－03－14；Accepted：2016－04－26；Published online：2016－05－31 10：09

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160531．1009．002．html

s：National Natural Science Foundation of China（51175261）；National Basic Research Program of China（2014CB046501）；Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China（20123218110020）

V261．97

A

1000－6893（2017）01－420138－10

http：／hkxb．buaa．edu．cn hkxb＠buaa．edu．cn

10．7527／S1000－6893．2016．0132

2016－01－31；退修日期：2016－03－14；錄用日期：2016－04－26；網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2016－05－31 10：09

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160531．1009．002．html

國家自然科學(xué)基金 （51175261）；國家“973”計(jì)劃 （2014CB046501）；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金 （20123218110020）

＊通訊作者 ．E－mail：zdbme＠nuaa．edu．cn

徐朋，趙東標(biāo)，應(yīng)明峰，等．冗余鋪絲機(jī)械手自運(yùn)動(dòng)流形分析及優(yōu)化［J］．航空學(xué)報(bào)，2017，38（1）：420138．XU P，ZHAO D B，YING M F，et al．Analysis and optimization for self－motion manifolds of redundant fiber placement manipulator［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2017，38（1）：420138．

（責(zé)任編輯：李世秋）

＊Corresponding author．E－mail：zdbme＠nuaa．edu．cn