基于Kriging數(shù)據(jù)內(nèi)插的非直達波定位方法

吳保德

摘要

在蜂窩移動定位系統(tǒng)中，定位精度的好壞主要由非直達波傳播問題引起，采用非參數(shù)核方法可以在一定程度上抑制非直達波傳播對定位性能的不利影響，然而該方法對樣本信息沒有充分使用，故可以進一步改善。本文提出一種基于Kriging數(shù)據(jù)內(nèi)插的改進非參數(shù)核方法，該方法能有效利用樣本信息，在不同樣本個數(shù)環(huán)境下，能有效抑制非直達波誤差，提高定位精度。仿真實驗顯示本文所提出的方法性能接近CR1B下限。

【關(guān)鍵詞】移動定位 非直達波誤差 核方法Kriging內(nèi)插

1 引言

解決非直達波傳播所帶來的問題，在蜂窩移動定位系統(tǒng)中，對定位精度的改善有極大的意義。目前抑制非直達波誤差的思路主要有兩種，一是參數(shù)化方法，如利用散射體信道模型、消極加權(quán)等，然而環(huán)境決定非直達波的誤差，故參數(shù)化方法在抑制非直達波誤差過程中，不具有廣泛性;二是非參數(shù)方法，該類方法利用外場實測數(shù)據(jù)或經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷玫綐颖拘畔?，利用樣本信息描述無線信道環(huán)境，從而抑制非直達波誤差。對于非參數(shù)核方法，該方法對非直達波傳播造成的問題有一定作用，然而該方法未能有效利用樣本信息，故可以進一步改善，本文擬用數(shù)據(jù)插值的方式增加樣本點的數(shù)目，提出基于Kriging數(shù)據(jù)內(nèi)插的改進非參數(shù)核方法，使得算法能有效利用樣本信息，適用于不同的樣本條件。

2 利用Kriging方法對現(xiàn)有數(shù)據(jù)進行插值

本文考慮TOA（time of arrival）定位方法，同時本文算法可直接擴展到TDOA（timedifference of arrival）、SOA（strength of arrival）等定位方法。設(shè)（x_i，y_i）為第i個基站坐標(biāo)，i=1，…N，N為站點數(shù)目，估計域內(nèi)共有M個已知樣本點，其位置為（sx_j，sy_j），Z_j∈A，j=1，…，M為已知樣本點的測量矢量，A=[Z₁…Z_M]為已知樣本點測量矢量的集合，Zj=[z_j1，…，z_jN]^T，其中z_ji為第i個已知樣本點相對于第i個基站的距離測量值：

其中n_ji為零均值，標(biāo)準差為σ的高斯分布，e_ji為非直達波傳播造成的正性誤差。Kriging算法利用加權(quán)平均的方法來得出待估值。即：

其中z_0i為待估點（sx₀，sy₀）處的對第i個基站距離測量值的估計值，λ_j為權(quán)值系數(shù)。Kriging方法的目的是在限制條件估計量無偏和估計方差最小情況下，獲得M個權(quán)值系數(shù)。要使z_0i為待估計點（sx₀，sy₀）處真值z_0i的無偏估計，即要求由此可得：

進一步推導(dǎo)，可得到估計方差表達式，在無偏性的前提下，要讓估計方差最小，可以利用拉格朗日乘子法，即令：

對λ_j和μ求偏導(dǎo)，并使其為零，可得Kriging方程組：

寫成矩陣形式：

Kλ=D（7）

解式（7），可得權(quán)值系數(shù)：

從而可求得待估點（sx₀，sy₀）處的估計值，通過利用實驗變異函數(shù)（9），求解變異函數(shù)γ，進而求解式（7）：

其中h為點（sx_j，sy_j）到點（sx_k，sy_k）的距離，N（h）為樣本中間距小于h的樣本點組數(shù)。通過對實驗變差函數(shù)進行擬合，來達到對未知值估計，本文利用指數(shù)模型對其擬合，因為在仿真中看出具有線性特性時，實驗變差函數(shù)是在零點處，故：

因此利用已知樣本點樣本值Z_j通過式（9）可得實驗變異函數(shù)，再使用式（10）模型進行擬合，最后代入式（8）可解得權(quán)值系數(shù)λ，最后結(jié)合λ和式（2），可以得到待估點（sx₀，sy₀）處的估計值z_0i。

3 利用非參數(shù)核方法對移動站進行定位

本文以優(yōu)于文獻[3]的方法，先用Kriging方法對已知樣本點集合進行插值擴展，再通過非參數(shù)核方法進一步定位移動站，提高非參數(shù)核方法的定位精度。由第二部分的Kriging方法可得到擴展后的樣本點測量集合：

其中A_N×M為事先測量的樣本點矢量集合，A_N×U'為插值得到的估計矢量集合，U為插值點的個數(shù)，。這里采用最小均方誤差（MMSE）準則，估計移動站位置：

其中θ=[xy]^T為移動站位置，f（θ|Z）為θ在θ處測量矢量Z下的條件概率密度函數(shù)，S為移動站可能位于的區(qū)域，該信息可由服務(wù)基站提供。采用貝葉斯公式，可將式（12）轉(zhuǎn)換為：

其中f（θ|Z）為θ和Z的聯(lián)合概率密度函數(shù)，這里采用不受限于環(huán)境因素的方法，即非參數(shù)核方法，利用已知數(shù)據(jù)直接估計概率密度函數(shù)。其中聯(lián)合概率密度函數(shù)f（θ|Z）可寫為多個核函數(shù)的線性組合：

其中K_z和K_θ為核函數(shù)，h_z，h_θ為平滑常數(shù)。

在文獻[3]中Parzen Laplace核函數(shù)具有良好的性能，這里也采用該函數(shù)對聯(lián)合概率密度進行擬合：

其中‖x‖¹為x到原點的L₁距離，由式（13）（14）可算出移動站的位置：

其中θ_j=[sx_jsy_j]^T，為與樣本點測量矢量Z_j相對應(yīng)的移動站的已知位置，將式（15）代入式（16）即可得到移動站的位置。

4 仿真結(jié)果

本文采用微小區(qū)模型，如圖1，該模型同樣用在文獻[3]中，本文仿真環(huán)境參照文獻[3]中的設(shè)定，一共五個基站，如圖1中黑點所示，為樓群區(qū)，兩條街道的長度為600m，寬度為20m。無線電波由均勻分布在圖1中菱形部分的移動站開始，在陰影區(qū)域樓群區(qū)的拐角處發(fā)生折射，最后終止于基站，即基站到移動站無線電波的傳輸距離為d_c+d_r，在此傳播路徑中，噪聲服從零均值高斯分布。

本文采用文獻[3]中給出了h_z的最優(yōu)取值為3.6σ，本文提出的基于Kriging插值的非參數(shù)核方法將與文獻[3]中不進行插值的非參數(shù)核方法，參數(shù)化的最小二乘方法以及CRLB下限做比較。

圖2是在10m的距離測量噪聲標(biāo)準差以及事先知道樣本點數(shù)量為20的情況下，兩種算法的性能比較圖。由于文獻[3]中的非參數(shù)核方法沒有進行插值，隨著插值點個數(shù)U的變化，理論上定位誤差是保持不變的，然而由于距離測量噪聲和已知樣本點的分布是隨機的，因此其定位誤差存在一定波動性?？梢钥闯鑫墨I[3]中隨著插值點個數(shù)U的變化，非參數(shù)核方法的定位性能在總體上是平穩(wěn)的，而本文算法的定位誤差在U增大過程中逐漸減小，當(dāng)多于100個插值點時，算法性能逐于穩(wěn)定，且本文算法明顯優(yōu)于文獻[3]算法。

圖3是在10m的距離測量噪聲標(biāo)準差以及U=200情況下，兩種算法的誤差比較圖，由圖可得，在已知樣本點個數(shù)逐漸增加過程中，兩種算法的定位精度都在提高，但本文算法始終優(yōu)于文獻[3]算法，特別是在小樣本條件下，本文算法優(yōu)勢更為明顯，當(dāng)文獻[3]中所需要55個已知采樣點才能到達25m的定位精度時，本文算法只需要15個已知采樣點，這樣大幅度減少已知采樣點的個數(shù)，從而減少獲取這些采樣點的成本，提高算法定位精度及實用性。

圖4是在已知100個樣本點和U-200條件下，兩種算法在不同距離測量噪聲標(biāo)準差情況下定位誤差與CRLB下限做比較圖，由圖可得，兩種算法都逼近CRLB下限，但是本文算法更接近CRLB下限，也即優(yōu)于文獻[3]算法。同時相同條件下，本文算法與最小二乘方法的定位誤差進行比較，也得本文算法優(yōu)于最小二乘方法。

5 結(jié)論

本文提出基于Kriging數(shù)據(jù)插值的非參數(shù)核方法，該方法首先擴展樣本點集合，即使用Kriging對事先知道的樣本點集合進行插值，再使用擴展后的樣本點集合進行定位，使得算法能有效利用樣本信息，仿真表明本文算法性能優(yōu)于不進行插值的非參數(shù)核方法，算法性能更為接近CRLB下限，特別是在小樣本條件下，優(yōu)勢更為明顯，這樣就減少了已知采樣點的個數(shù)，從而降低定位成本，增強算法實用性。

參考文獻

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