旋轉(zhuǎn)彈氣動力建模與飛行軌跡仿真

王剛，邢宇，朱亞楠

旋轉(zhuǎn)彈氣動力建模與飛行軌跡仿真

王剛＊，邢宇，朱亞楠

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

運(yùn)用一種自回歸滑動平均（ARMA）的時域氣動力建模方法，以計(jì)算流體力學(xué)與剛體動力學(xué)（CFD／RBD）耦合仿真的輸出結(jié)果為樣本，對旋轉(zhuǎn)彈的非定常氣動力進(jìn)行建模。利用建立的氣動力模型與剛體動力學(xué)方程求解模塊耦合，實(shí)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)彈軌跡的快速仿真，并討論了不同的建模方式對仿真精度的影響。算例結(jié)果表明：采用氣動力模型與剛體動力學(xué)方程耦合仿真技術(shù)可以在不同初始發(fā)射條件下進(jìn)行旋轉(zhuǎn)彈飛行姿態(tài)與運(yùn)動軌跡預(yù)測，且與CFD／RBD仿真結(jié)果吻合較好，證明ARMA氣動力建模方法可以在保證旋轉(zhuǎn)彈軌跡預(yù)測精度的同時大幅縮短仿真時間，節(jié)省計(jì)算資源。

自回歸滑動平均；氣動力建模；剛體動力學(xué)；非定常氣動力；軌跡仿真

旋轉(zhuǎn)彈具有控制系統(tǒng)簡單、抗干擾能力強(qiáng)和成本低的優(yōu)勢，是目前槍彈、反坦克導(dǎo)彈和便攜式導(dǎo)彈的常用彈種［1］。在新型旋轉(zhuǎn)彈的研發(fā)過程中，研究人員需要掌握設(shè)計(jì)對象的氣動特性、穩(wěn)定性和飛行軌跡等性能參數(shù)?？疾焐鲜鲂D(zhuǎn)彈性能參數(shù)的常用手段有工程計(jì)算、風(fēng)洞試驗(yàn)和自由飛行試驗(yàn)等。工程計(jì)算速度快，但由于過多的假設(shè)和簡化，誤差較大，難以滿足精細(xì)化設(shè)計(jì)的要求；風(fēng)洞試驗(yàn)和自由飛行試驗(yàn)［2］得到的數(shù)據(jù)可靠，但成本高、周期長且技術(shù)風(fēng)險較大。

隨著計(jì)算流體力學(xué)和飛行力學(xué)的發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)與剛體動力學(xué)（CFD／RBD）耦合計(jì)算方法逐漸成為飛行器運(yùn)動姿態(tài)和軌跡預(yù)測的研究中常用的技術(shù)手段［3－6］。CFD／RBD 耦合方法可以精確計(jì)算和模擬飛行器的氣動力與運(yùn)動軌跡［5－7］。由于需要反復(fù)調(diào)用CFD分析工具求解流場獲取非定常氣動力，這種方法效率較低，對計(jì)算機(jī)硬件資源的要求較高。在工程實(shí)踐中，人們往往需要在較短時間內(nèi)獲得多種初始條件下的仿真結(jié)果，這就使得CFD／RBD耦合方法在計(jì)算資源不夠充裕的條件下顯得力不從心。如果能夠建立較快速而精確的非定常氣動力模型，并利用它代替非定常CFD模塊與剛體六自由度方程耦合進(jìn)行仿真，就有可能實(shí)現(xiàn)快速、準(zhǔn)確的飛行器軌跡仿真與姿態(tài)預(yù)測。

過去20多年中，氣動力建模方法獲得了廣泛的關(guān)注，國內(nèi)外研究人員提出了多種非定常氣動力模型［8］。具有代表性的有代數(shù)多項(xiàng)式模型［9］、微分方程模型［10－13］、基于現(xiàn)代人工智能的模糊邏輯模型［14－15］和基于系統(tǒng)辨識技術(shù)的氣動力建模技術(shù)［16－20］等。本文所采用的是已廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)參數(shù)辨識問題中的自回歸滑動平均（Autoregressive Moving Average，ARMA）時域氣動力建模方法［19－20］。ARMA 方法的優(yōu)點(diǎn)在于采用時域的CFD／RBD耦合仿真結(jié)果作為樣本時，可直接確定模型系統(tǒng)的輸入量和輸出量，方便建模和應(yīng)用。

本文選取美國陸軍實(shí)驗(yàn)室（ARL）的超聲速尾翼旋轉(zhuǎn)彈試驗(yàn)?zāi)Ｐ妥鳛檠芯繉ο螅?－4］。該模型發(fā)射后的初始轉(zhuǎn)速達(dá)到了2 518．39rad／s。在這種強(qiáng)烈的旋轉(zhuǎn)角速度下，馬格努斯效應(yīng)顯著［21－22］，這給 CFD／RBD 數(shù)值計(jì)算和非定常氣動力建模都帶來了挑戰(zhàn)。首先運(yùn)用CFD／RBD耦合方法對其自由飛行試驗(yàn)狀態(tài)進(jìn)行軌跡仿真，獲得氣動力建模的樣本空間；進(jìn)而采用ARMA時域氣動力建模方法對CFD／RBD耦合仿真獲取的運(yùn)動系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)辨識，建立該旋轉(zhuǎn)彈的非定常氣動力模型；然后利用建立好的氣動力模型代替非定常CFD計(jì)算模塊與剛體六自由度運(yùn)動模塊進(jìn)行耦合，實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)彈飛行軌跡的快速仿真。為考察所建立的氣動力模型的實(shí)用性，在改變旋轉(zhuǎn)彈初始飛行條件的情形下，進(jìn)行基于氣動力模型的飛行軌跡仿真，并將計(jì)算結(jié)果與CFD／RBD耦合計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比。在此過程中，測試了不同的輸入?yún)?shù)形式對建模結(jié)果的影響，分析了模型中部分參數(shù)的相互影響關(guān)系，提出了建模過程應(yīng)注意的一些原則。

1 計(jì)算方法

1．1 CFD／RBD耦合方法

CFD計(jì)算模塊采用的是作者所在團(tuán)隊(duì)自主編寫的非結(jié)構(gòu)混合網(wǎng)格雷諾平均Navier－Stokes方程求解程序HUNS3D［23］。這里簡要介紹與本文工作相關(guān)的非定常流動CFD算法。

為了適應(yīng)固體邊界的六自由度運(yùn)動，流動控制方程采用 ALE（Arbitrary Lagrangeian Eulerian）方法描述的非定常Navier－Stokes方程。ALE方法允許計(jì)算網(wǎng)格的剛體運(yùn)動和任意變形，通過在流動控制方程中引入網(wǎng)格運(yùn)動速度，將流體力學(xué)中的拉格朗日方法和歐拉方法進(jìn)行統(tǒng)一描述。當(dāng)網(wǎng)格運(yùn)動速度為零時，ALE方法轉(zhuǎn)化為歐拉描述；當(dāng)網(wǎng)格運(yùn)動速度為流體運(yùn)動速度時，ALE方法轉(zhuǎn)化拉格朗日描述。采用ALE方法描述的三維非定常雷諾平均Navier－Stokes方程的積分形式為

式中：Q＝［ρ ρu ρv ρw ρE］T，ρ為流體密度，E為總內(nèi)能，u、v、w分別為旋轉(zhuǎn)彈在體軸系下沿3個軸向的運(yùn)動速度；Vgrid為網(wǎng)格運(yùn)動速度；n為控制體單元邊界外法向方向；F（Q）和G（Q）分別為無黏通量和黏性通量，其具體形式可參考文獻(xiàn)［23］。在非定常流動計(jì)算中，式（1）中在F（Q）和G（Q）經(jīng)過格心有限體積法空間離散后可采用全隱式雙時間格式作時間推進(jìn)求解。其基本思想是：在每一步真實(shí)物理時間步長中加入偽時間層上的“子迭代”來實(shí)現(xiàn)隱式系統(tǒng)方程的精確求解。同時，由于偽時間“子迭代”過程不受物理時間離散精度限制，因此可以采用定常流動求解當(dāng)?shù)貢r間步長、殘值光順等加速收斂技術(shù)來提高計(jì)算效率。

旋轉(zhuǎn)彈在飛行過程中可以視作六自由度運(yùn)動的剛體，慣性系下質(zhì)心的平動方程：

體軸系下繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動方程為

剛體質(zhì)心的運(yùn)動學(xué)方程為

剛體姿態(tài)角的運(yùn)動學(xué)方程為

式中：m為物體質(zhì)量；V為物體運(yùn)動速度；F為物體受到的力；M 為所受力矩；I為慣性矩；ω為角速度；彈體在慣性系下的位移分量分別用x、y、z表示；上標(biāo)i和b分別為慣性系和體軸系；而下標(biāo)a、e和g分別為物體受到的氣動力、發(fā)動機(jī)推力和體積力；θ、和ψ分別為旋轉(zhuǎn)彈的俯仰角、滾轉(zhuǎn)角和偏航角；RB－I為體軸系到慣性系的過渡矩陣。

式（2）與式（3）為剛體動力學(xué)方程組，式（4）與式（5）為剛體運(yùn)動學(xué)方程。在進(jìn)行軌跡仿真時，方程右端項(xiàng)全部已知，因此式（2）～式（5）的求解屬于常微分方程的初值問題，一般采用Adams預(yù)估校正法求解，本文采用的是一種改進(jìn)的Adams預(yù)估校正法［24－25］。

圖1給出了適合旋轉(zhuǎn)彈問題的CFD／RBD耦合軌跡仿真流程［25］，主要分為非耦合計(jì)算（Uncoupled Mode）和耦合計(jì)算（Coupled Mode）2部分。非耦合計(jì)算的主要目的是提供合理的初始流場，它包括2個步驟：首先計(jì)算旋轉(zhuǎn)彈只有平動的定常初始流場，然后使彈體以初始滾轉(zhuǎn)角速度作固定角速度旋轉(zhuǎn)，并計(jì)算彈體周圍的非定常流場。當(dāng)?shù)玫椒€(wěn)定周期性非定常流場時，可獲得軌跡仿真初始時刻旋轉(zhuǎn)彈所受的氣動力和氣動力矩。此時進(jìn)入耦合階段，將初始時刻的氣動力與力矩傳遞至剛體六自由度方程中的動力學(xué)方程以獲得彈體對氣動力的響應(yīng)，例如平動和旋轉(zhuǎn)加速度信息，再通過剛體運(yùn)動學(xué)方程計(jì)算出平動速度、轉(zhuǎn)動速度和歐拉角等，進(jìn)而確定彈體在下一時刻的運(yùn)動姿態(tài)。根據(jù)這些姿態(tài)信息，調(diào)整計(jì)算網(wǎng)格，進(jìn)行下一時刻的CFD計(jì)算獲取新的氣動力，并代入剛體動力學(xué)方程求取新的彈體運(yùn)動位置和姿態(tài)。重復(fù)以上耦合過程，直到滿足終止條件仿真結(jié)束。

1．2 ARMA時域建模方法

ARMA時域建模方法可以通過系統(tǒng)參數(shù)辨識技術(shù)構(gòu)建多輸入多輸出系統(tǒng)的降階模型，該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)通式為

式中：y（k）為輸出參數(shù)，表示第k時間步的氣動力參數(shù)矢量；ζ為該系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)；Ai和Bi為待辨識的系數(shù)矩陣；na和nb為輸出和輸入的延遲階數(shù)，氣動力的非定常效應(yīng)也由此體現(xiàn)。

當(dāng)樣本數(shù)量大于Ai和Bi中所有未知參數(shù)的總數(shù)時，式（6）就表現(xiàn)為矛盾方程組，可采用最小二乘法求解，進(jìn)而確定氣動力模型的待定系數(shù)。下面以旋轉(zhuǎn)彈的氣動力建模為對象，具體介紹自回歸滑動平均模型的辨識方法。

在旋轉(zhuǎn)彈的氣動力建模問題中，選取阻力Fxa、側(cè)向力Fya、法向力Fza、滾轉(zhuǎn)力矩 Mx、偏航力矩My和俯仰力矩Mz作為輸出參數(shù)，模型系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)可以是彈體的運(yùn)動速度和姿態(tài)角等狀態(tài)量。但由于彈體在運(yùn)動時本身具有強(qiáng)烈的角速度，這種運(yùn)動狀態(tài)會給彈體帶來額外的氣動力，因此，本文工作選用的輸入?yún)?shù)還包含角速度。令Fn表示任一輸出參數(shù)，Sn＝［unvnwnψn數(shù)，這里上標(biāo)n為時間域上的樣本編號，ωbx、ωby和ωbz分別為彈體繞體軸系x軸、y軸和z軸的旋轉(zhuǎn)角速度。數(shù)值試驗(yàn)表明，旋轉(zhuǎn)彈的模型系統(tǒng)中取延遲階數(shù)na＝nb＝3時較為合適，于是式（6）可寫為方程式（7）可以寫為以下的矩陣形式：

當(dāng)樣本數(shù)目n＞30時，式（8）中未知參數(shù)數(shù)量少于方程總數(shù)。對矛盾方程組式（8）用最小二乘算法求解獲得Ai和Bi，并代入式（7）即可確定ARMA氣動力模型表達(dá)式。

建立好旋轉(zhuǎn)彈的ARMA氣動力模型后，利用其代替非定常CFD計(jì)算模塊與剛體六自由度方程按圖1所示的流程進(jìn)行耦合，即可實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)彈的飛行軌跡仿真。

2 應(yīng)用算例

選取美國陸軍實(shí)驗(yàn)室超聲速尾翼旋轉(zhuǎn)彈自由飛行試驗(yàn)?zāi)Ｐ涂疾毂疚臄?shù)值方法的正確性。該旋轉(zhuǎn)彈模型由拱形－圓柱－尾翼3部分組成，尾翼呈十字型。圖2給出了該模型的幾何尺寸、質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量等參數(shù)，cg代表重心位置。由于彈體外形軸對稱，因此Ixy＝Ixz＝Iyz＝0。自由飛行試驗(yàn)過程中，旋轉(zhuǎn)彈模型由炮筒打出，初期伴隨著高速旋轉(zhuǎn)［5］，但十字型尾翼的存在使得彈體在飛行時轉(zhuǎn)速急劇下降。由于旋轉(zhuǎn)彈在飛離炮筒的短時間內(nèi)非定常效應(yīng)顯著，因此本文工作集中于精確捕捉彈體在這一時段伴隨轉(zhuǎn)速快速下降的姿態(tài)與飛行軌跡。

CFD計(jì)算采用如圖3所示的非結(jié)構(gòu)混合網(wǎng)格，附面層網(wǎng)格使用三棱柱型單元，其他區(qū)域采用四面體型單元。全套網(wǎng)格包含20 816個三角形表面網(wǎng)格單元、348 609個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)和811 923個體網(wǎng)格單元。依據(jù)文獻(xiàn)［3］公布的自由飛行試驗(yàn)狀態(tài)，設(shè)定旋轉(zhuǎn)彈模型飛行的初始條件如表1所示，其對應(yīng)的初始飛行馬赫數(shù)為3．0，雷諾數(shù)為7．08×107／m，初始迎角為5°，彈體初始轉(zhuǎn)速為2 518．39rad／s。

依據(jù)上述旋轉(zhuǎn)彈初始發(fā)射條件，按圖1中給出的軌跡仿真流程，對彈體飛行軌跡進(jìn)行CFD／RBD耦合計(jì)算，獲取旋轉(zhuǎn)彈飛行過程中的非定常氣動力（矩）參數(shù)和飛行狀態(tài)參量，形成氣動力建模的樣本空間。

表1 彈體六自由度運(yùn)動初始條件Table 1 Initial conditions of projectile in 6－DOF motion

2．1 氣動力模型的建立與初步驗(yàn)證

在氣動力建模時，以CFD／RBD耦合計(jì)算結(jié)果作為樣本提供Fn和Sn，通過建立和求解方程組式（7）進(jìn)行ARMA氣動力建模。旋轉(zhuǎn)彈的滾轉(zhuǎn)角與其他飛行狀態(tài)量（側(cè)滑角、俯仰角、速度、角速度）相比，在量值與變化規(guī)律上存在特殊性。在保持其他輸入?yún)⒘坎蛔兊那闆r下，本文對滾轉(zhuǎn)角采用了如圖4所示的3種不同處理方式進(jìn)行建模，并對建模效果進(jìn)行了對比驗(yàn)證，橫坐標(biāo)xg為彈體質(zhì)心在x方向的位移。為表述方便，以累積量（見圖4（a））作為模型滾轉(zhuǎn)角輸入量建立的氣動力模型稱為模型A；以介于0°～360°范圍內(nèi)變化的滾轉(zhuǎn)角（見圖4（b））建模的氣動力模型稱為模型B；以滾轉(zhuǎn)角正弦值的100倍（見圖4（c））作為滾轉(zhuǎn)角輸入量建立的氣動力模型稱為模型C。用3種ARMA氣動力模型代替非定常CFD計(jì)算模塊分別與剛體六自由度模塊耦合進(jìn)行軌跡仿真。圖5與圖6中給出了3種模型獲得的仿真結(jié)果與CFD／RBD耦合計(jì)算結(jié)果對比情況。

圖5中，CFD／RBD耦合計(jì)算仿真得到的結(jié)果能夠與試驗(yàn)值較好的吻合，說明了樣本數(shù)據(jù)具有很高的置信度。而圖5和圖6中3種氣動力模型代替CFD計(jì)算的仿真結(jié)果也都與CFD／RBD計(jì)算結(jié)果有很高的重合度，說明了這3種ARMA模型都可以很好地反映建模樣本的非定常氣動力特性。

2．2 不同初始發(fā)射條件下的軌跡仿真

在旋轉(zhuǎn)彈設(shè)計(jì)過程中，往往需要考察初始轉(zhuǎn)速或初始迎角的變化對其飛行軌跡的影響規(guī)律。因此，有必要考察先前建立的3種ARMA氣動力模型在不同初始運(yùn)動狀態(tài)之下的適用性和精度。圖7展示了利用CFD／RBD耦合的方法仿真得到的不同初始轉(zhuǎn)速和初始迎角下彈體所受側(cè)向力的變化歷程。圖中顯示：隨著初始轉(zhuǎn)速和初始迎角的變化，彈體所受側(cè)向力有明顯改變。

為此，將初始滾轉(zhuǎn)角速度ω0由2 518．39rad／s變?yōu)? 000rad／s，分別運(yùn)用先前建立的3種ARMA模型與剛體六自由度耦合模塊進(jìn)行軌跡仿真，并與CFD／RBD耦合計(jì)算進(jìn)行對比。圖8給出了計(jì)算結(jié)果的對比情況，圖中采用模型A仿真計(jì)算得到的阻力Fxa、滾轉(zhuǎn)角、俯仰角速度ωby和偏航角速度ωbz等與CFD／RBD模擬的結(jié)果相比有顯著區(qū)別，這說明該模型在變換初始滾轉(zhuǎn)速度時已不能精確反映彈體的氣動力（矩）參數(shù)。相反，對于以周期形式的滾轉(zhuǎn)角作為輸入量建立的非定常氣動力模型B與模型C，其用于軌跡仿真的結(jié)果可以保持與CFD／RBD耦合計(jì)算結(jié)果較好地吻合。除阻力存在微小偏差，其余氣動力（矩）以及六自由度狀態(tài)量都與CFD／RBD軌跡仿真的結(jié)果高度一致。這說明在改變初始轉(zhuǎn)速的情況下模型B與模型C依舊保持了良好的精度。

利用模型B和C與剛體六自由度方程耦合，將初始俯仰角由5°變?yōu)?°，再次進(jìn)行軌跡仿真并與CFD／RBD耦合計(jì)算的結(jié)果在圖9中進(jìn)行對比。圖中可見，初始俯仰角變化后，利用模型B或C與剛體六自由度方程耦合仿真依舊能得到與CFD／RBD一致度較好的結(jié)果。這再一次驗(yàn)證了本文所建立的ARMA氣動力模型比較準(zhǔn)確地反映了旋轉(zhuǎn)彈的非定常氣動特性，可以代替CFD非定常流場計(jì)算，與RBD方程耦合實(shí)現(xiàn)較高精度的飛行軌跡預(yù)測。

就計(jì)算效率而言，在一臺主流微型計(jì)算機(jī)上采用CFD／RBD數(shù)值方法按照圖1的耦合流程，仿真本文采用的旋轉(zhuǎn)彈在某一初始條件下的運(yùn)動軌跡大約需上百個機(jī)時。在此基礎(chǔ)上獲取ARMA氣動力模型之后，如果要考察初始飛行條件發(fā)生小范圍變化時的飛行軌跡，只需要CFD／RBD計(jì)算獲得3個初始時刻仿真信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行幾秒鐘機(jī)時的ARMA／RBD仿真即可。因此，與CFD／RBD耦合方法相比，運(yùn)用 ARMA／RBD軌跡仿真可以顯著地提升計(jì)算效率。

3 結(jié) 論

1）本文采用了一種自回歸滑動平均（ARMA）的時域氣動力建模方法對旋轉(zhuǎn)彈自由飛行的氣動力進(jìn)行建模，并成功將ARMA氣動力模型與剛體六自由度模塊耦合，實(shí)現(xiàn)了多種初始發(fā)射狀態(tài)下的彈體軌跡快速仿真?？疾炝藵L轉(zhuǎn)角的輸入?yún)?shù)形式分別為累積量和周期量時，對軌跡仿真精度的影響，發(fā)現(xiàn)累積量作為氣動力模型輸入?yún)?shù)會帶來較大的誤差，滾轉(zhuǎn)角以周期量的形式參與建模可以取得較好的模型精度。

2）算例表明：不論是在初始轉(zhuǎn)速改變還是在初始俯仰角改變情況下，采用周期形式的輸入量建立的ARMA氣動力（矩）模型與剛體動力學(xué)方程耦合都能獲得很高的軌跡仿真精度。說明了在初始條件變化不大的情況下，ARMA／RBD軌跡仿真方法可以部分替代CFD／RBD過程，從而縮短軌跡仿真時間，節(jié)省計(jì)算資源。

本文采用的ARMA時域建模本質(zhì)上是一種線性氣動力建模方法，它適合在氣動力（矩）線性變化范圍內(nèi)使用，不能對大迎角等非線性特征很顯著的氣動力問題進(jìn)行精確建模。如何進(jìn)一步擴(kuò)展氣動力模型的適用范圍，這將是作者今后研究工作的方向。

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Aerodynamic modeling and flight trajectory simulation of spinning projectile

WANG Gang＊，XING Yu，ZHU Ya’nan
School of Aeronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China

A time－domain autoregressive moving average（ARMA）method for aerodynamic modeling is adopted in the spinning projectile six－degree of freedom trajectory simulation．The computational fluid dynamics coupled with rigid body dynamics equations（CFD／RBD）simulation result is regarded as sample，and the unsteady aerodynamic model of the spinning projectile is established successfully．Different forms of the unsteady aerodynamic model combined with RBD equations are discussed considering the influence on the simulation effect．As is shown in the result，appropriate modeling form combined with RBD module can simulate the motion and attitude of the spinning projectile，and the simulation results from the new approach can fit well with CFD／RBD results under different initial conditions．This new simulation approach can be applied to the fast simulation research，which can not only guarantee the precision，but also save much time and computing resources compared with CFD／RBD simulation method．

autoregressive moving average；aerodynamic modeling；rigid－body dynamics；unsteady aerodynamic；trajectory simulation

2016－02－26；Revised：2016－05－09；Accepted：2016－05－26；Published online：2016－06－02 10：13

V212

A

1000－6893（2017）01－120169－10

http：／hkxb．buaa．edu．cn hkxb＠buaa．edu．cn

10．7527／S1000－6893．2016．0169

2016－02－26；退修日期：2016－05－09；錄用日期：2016－05－26；網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016－06－02 10：13

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160602．1013．002．html

＊通訊作者 ．E－mail：wanggang＠nwpu．edu．cn

王剛，邢宇，朱亞楠．旋轉(zhuǎn)彈氣動力建模與飛行軌跡仿真［J］．航空學(xué)報，2017，38（1）：120169．WANG G，XING Y，ZHU Y N．Aerodynamic modeling and flight trajectory simulation of spinning projectile［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2017，38（1）：120169．

（責(zé)任編輯：李明敏）

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160602．1013．002．html

＊Corresponding author．E－mail：wanggang＠nwpu．edu．cn