在實(shí)驗(yàn)中感悟數(shù)學(xué)之美

謝麗麗

[摘 要] 在日常教學(xué)中，教師要積極嘗試數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，讓學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)的過程中學(xué)數(shù)學(xué)，積極發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新，發(fā)散自己的思維，感悟數(shù)學(xué)之美，以此促進(jìn)學(xué)生能力的全面發(fā)展. 初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)作為一種特殊的教學(xué)形式，正逐漸走進(jìn)課堂教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 初中；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；操作；思維

運(yùn)用有關(guān)工具（實(shí)物或計(jì)算機(jī)等）進(jìn)行操作、觀察、模仿、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種活動(dòng)，稱為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅可以激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲，還可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、發(fā)展思維、感悟數(shù)學(xué)美. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“動(dòng)手實(shí)踐”也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式.

運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生的抽象

思維能力

初中生喜歡動(dòng)手操作、小組合作，喜歡新穎性、趣味性、開放性的問題，善于從現(xiàn)實(shí)生活和操作經(jīng)驗(yàn)中獲取新知識和新技能. 因此，巧用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)新知，是開啟學(xué)生智慧之門、帶領(lǐng)學(xué)生步入數(shù)學(xué)殿堂、提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一種非常有效的辦法. 對于蘇教版七年級上冊第二章第二節(jié)“有理數(shù)與無理數(shù)”，讓學(xué)生接受、認(rèn)識、辨別無理數(shù)是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，為此，筆者專門為筆者所任教的其中一個(gè)班設(shè)計(jì)了一次“感受無理數(shù)”的實(shí)驗(yàn)，目的是通過計(jì)算、實(shí)驗(yàn)、構(gòu)造等活動(dòng)，體會(huì)無限不循環(huán)小數(shù)的存在，領(lǐng)悟無理數(shù)的特點(diǎn). 下面是實(shí)驗(yàn)過程.

1. 通過操作再認(rèn)識有理數(shù)

（2）要求學(xué)生按照上述步驟再寫幾個(gè)分?jǐn)?shù)試試，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).

（3）要求學(xué)生把整數(shù)3，6，-5，0 表示成分?jǐn)?shù)的形式，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)所有整數(shù)都可以寫成分母是1的分?jǐn)?shù)的形式.

（4）總結(jié)出有理數(shù)的概念.

2. 通過活動(dòng)與思考發(fā)現(xiàn)無理數(shù)

活動(dòng)1 兩人一組進(jìn)行擲骰子實(shí)驗(yàn)：其中一人擲骰子，另一人在小數(shù)0.7的后面寫上骰子擲出的點(diǎn)數(shù). 持續(xù)擲骰子，于是寫出一個(gè)不斷延伸的小數(shù). 若骰子不停地拋擲下去，將得到一個(gè)無限小數(shù). 學(xué)生感知到了該無限小數(shù)是不循環(huán)的.

活動(dòng)2 利用Excel軟件不斷產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)0或1，并將這些隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)0或1依次寫在0.7的后面，這樣也會(huì)得到一個(gè)無限小數(shù)，學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)這個(gè)無限小數(shù)也具有活動(dòng)1中的小數(shù)的特點(diǎn)，即不循環(huán).

活動(dòng)3 每組給出兩張同樣大小的正方形紙片（邊長視為1）、剪刀，請學(xué)生4人一組討論如何經(jīng)過裁剪拼出一個(gè)面積為2的正方形.

初一學(xué)生的思維水平在不斷提高，通過小組合作與交流，學(xué)生能夠通過裁剪兩個(gè)小正方形拼出一個(gè)面積為2的大正方形（圖1）. 在此基礎(chǔ)上，教師提出以下問題，以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與探索，發(fā)展抽象思維能力：“它的邊長是多少？”“估計(jì)邊長的值在哪兩個(gè)整數(shù)之間？”“能用分?jǐn)?shù)表示嗎？”在探索以上幾個(gè)問題的基礎(chǔ)上，學(xué)生能真切地體會(huì)到面積為2的正方形的邊長不能用有理數(shù)來表示，但它確實(shí)存在，切實(shí)感受到現(xiàn)實(shí)生活中除有理數(shù)外還有一類數(shù)，由此引出無理數(shù)的概念：無限不循環(huán)小數(shù). 同時(shí)，在動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)、計(jì)算尋找邊長和展示結(jié)果的過程中，能增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，加深對概念的理解，逐步突破難點(diǎn)，發(fā)揮實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用與魅力.

3. 通過嘗試與構(gòu)造再認(rèn)識無理數(shù)

活動(dòng)1 請學(xué)生按照每兩個(gè)8之間依次增加一個(gè)0的規(guī)律構(gòu)造一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)：7.08008000800008_______…；

活動(dòng)2 請學(xué)生自由再構(gòu)造一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).

通過這兩個(gè)活動(dòng)，能進(jìn)一步加深學(xué)生對無理數(shù)的理性認(rèn)識.

這次“感受無理數(shù)”的實(shí)驗(yàn)打破概念教學(xué)是教師給出概念、學(xué)生加以記憶的傳統(tǒng)模式. 教師引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提供大量操作、思考與交流的機(jī)會(huì)，由傳統(tǒng)的“聽”數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)椤白觥睌?shù)學(xué)，由學(xué)生自己經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流與反思等過程，在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，形成數(shù)學(xué)概念.

學(xué)生通過“做”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)荏w驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)的樂趣，能感悟到數(shù)學(xué)的美，能由數(shù)學(xué)形象思維向抽象思維過渡與發(fā)展，能夯實(shí)實(shí)踐能力，挖掘潛能與智慧.

運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生的覺察

力和分析推理能力

教師引導(dǎo)學(xué)生積極嘗試與實(shí)踐，以此代替教師說教，讓學(xué)生在“做”的過程中、在直觀的情境中，覺察問題、解決問題，積極發(fā)散自己的思維，提升自己的推理能力，在實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生分析能力和邏輯推理能力的發(fā)展.

蘇科版七年級下冊第十二章第二節(jié)“12.2 證明”第一課時(shí)的目標(biāo)是讓學(xué)生感知“直觀無法做出確定判斷”現(xiàn)象的客觀存在，初步感受說理的必要性，現(xiàn)展示其中一個(gè)環(huán)節(jié).

1. 通過拼圖判斷是非

圖2是一張8 cm×8 cm的正方形紙片，把它剪成4塊，重新拼合. 這4張紙片恰好能拼成一個(gè)長為13、寬為5的長方形嗎？（事先布置學(xué)生準(zhǔn)備好符合尺寸的紙片）

學(xué)生活動(dòng)1？搖 拼圖，初步發(fā)現(xiàn)可以拼成一個(gè)長為13、寬為5的長方形，并且有學(xué)生主動(dòng)板演拼圖作品（圖3），她的“成功”更讓班級同學(xué)對這個(gè)問題深信不疑！

2. 通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)問題

筆者故作思考狀，給出將信將疑的表情，再問：分別計(jì)算圖2、圖3的面積，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

班級一個(gè)平時(shí)做事細(xì)心且思維敏銳的學(xué)生拿出自己的拼圖作品指出：拼出的長方形中間有縫！沒有完全貼合，且若有所思地說：“不知道問題是不是出在這兒？”

筆者的點(diǎn)評“一語道破天機(jī)”，然后給出解釋：我們的拼圖在實(shí)際操作時(shí)存在一定的誤差，肉眼觀察不出來. 為了精確，在網(wǎng)格圖中重新拼圖. （給學(xué)生方格紙重新拼圖，然后教師用幾何畫板演示剪圖、拼圖的過程）

學(xué)生活動(dòng)3 交流討論，發(fā)現(xiàn)問題，氣氛活躍.endprint

學(xué)生代表發(fā)言：在較為精確的網(wǎng)格圖中，我們發(fā)現(xiàn)長方形中間有一道縫，問題就出在這里！原來的正方形拼不成一個(gè)長方形（圖4）.

教師總結(jié) 重新拼圖后，兩個(gè)直角三角形的斜邊與兩個(gè)直角梯形的斜邊組成了一個(gè)狹長的平行四邊形縫隙，它的面積正好是1，由于視覺的關(guān)系，這4條線段似乎在同一條直線上，于是一開始我們得出了一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論，但是，代數(shù)計(jì)算可以幫助我們發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤.

講授的過程中，其實(shí)教師也同時(shí)向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合思想.

3. 放大誤差，增強(qiáng)直觀感受

為了鞏固和加深學(xué)生的認(rèn)知，筆者又在這個(gè)問題的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一個(gè)活動(dòng)延伸：同樣是邊長為8的正方形，作如下分割再拼圖（圖5），能拼成一個(gè)長為14、寬為6的長方形嗎？（所用紙片也是事先布置好）

學(xué)生拼圖后，異口同聲地回答：“拼不成！中間是空的！”（圖6）

教師點(diǎn)評 中間的“空缺”很大、很明顯，再分別計(jì)算兩圖的面積分別是64和84，相差甚遠(yuǎn). （有學(xué)生在下面附和：量變引起質(zhì)變！）

學(xué)生再一次感受到了數(shù)和形的統(tǒng)一，至此，本節(jié)課走向了一個(gè)高潮.

上述實(shí)驗(yàn)，由粗至細(xì)，由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生通過代數(shù)計(jì)算發(fā)現(xiàn)問題后，在網(wǎng)格圖中拼圖，提升精確度，以幫助學(xué)生找到問題所在，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)精確操作可以幫助我們發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)習(xí)習(xí)慣，體味數(shù)學(xué)是一門細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.

通過活動(dòng)延伸，放大“誤差”，能增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受，讓學(xué)生再次對操作得到的結(jié)論有“說理”的需求. 雖然學(xué)生暫時(shí)不能解決，但這個(gè)懸念促使學(xué)生向往、追求著“說理”，也為以后三角函數(shù)的學(xué)習(xí)埋下伏筆.

在日常教學(xué)中，教師可以適時(shí)對教材的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”加以改編，設(shè)置梯度，增加追問，讓學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)的過程中自主達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo).

教師要善于挖掘數(shù)學(xué)中的實(shí)驗(yàn)素材，變“聽”數(shù)學(xué)為“做”數(shù)學(xué)，變學(xué)生以往的“被動(dòng)接受”為現(xiàn)在的“主動(dòng)探究”，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中感受發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂趣，感悟數(shù)學(xué)的美，發(fā)展數(shù)學(xué)思維和智慧；逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)知識和思想方法成螺旋式上升，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這也與學(xué)生發(fā)展六大核心素養(yǎng)中的“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”和“實(shí)踐創(chuàng)新”相呼應(yīng).

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，它不像物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)菢佑幸曈X現(xiàn)象的產(chǎn)生等那樣形象生動(dòng)，但隱藏著學(xué)生思維的實(shí)驗(yàn)，看似“平靜如水”，應(yīng)用得當(dāng)，則“波瀾壯闊”，美不勝收！endprint