構(gòu)建聯(lián)系，促進認(rèn)知結(jié)構(gòu)生長

劉賢虎

摘 要：復(fù)習(xí)課要發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生在梳理、練習(xí)活動中融合知識、方法與情感，實現(xiàn)對知識結(jié)構(gòu)的表征與內(nèi)化；要關(guān)注基本概念的意義，形成和完善具有生長活力的知識體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞：梳理；聯(lián)系；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；生長活力

教學(xué)內(nèi)容：人教版數(shù)學(xué)六年級下冊第89頁。

教學(xué)目標(biāo)：

1. 通過梳理復(fù)習(xí)，進一步理解、掌握立體圖形的表面積和體積的意義及計算方法，同時構(gòu)建直柱體之間的內(nèi)在聯(lián)系，使知識結(jié)構(gòu)化，發(fā)展學(xué)生空間觀念，培養(yǎng)類比推理的能力。

2. 在解決實際問題的過程中，體會數(shù)學(xué)知識的價值，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用知識解決實際問題的能力。

3. 在自主梳理知識的過程中，進一步培養(yǎng)學(xué)生梳理的能力，養(yǎng)成良好的復(fù)習(xí)習(xí)慣，增強合作意識，獲得積極的情感體驗。

教學(xué)重點：自主梳理，構(gòu)建立體圖形表面積、體積的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

教學(xué)難點：歸納立體圖形側(cè)面積、表面積、體積的統(tǒng)一計算方法。

教學(xué)過程：課前，教師讓學(xué)生獨立、自主完成如下學(xué)習(xí)單。

一、揭題

師：這節(jié)數(shù)學(xué)課，我們復(fù)習(xí)什么？

生：立體圖形的表面積和體積。

師：好的，我們一起來復(fù)習(xí)立體圖形表面積和體積的知識。（板書課題）

評析：復(fù)習(xí)教學(xué)不具有新授課的神秘感，學(xué)生比較熟悉，課前布置的學(xué)習(xí)任務(wù)也非常清楚地交代了本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容。因此，常用的方式是開門見山，直入主題，明確學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

二、梳理

1. 構(gòu)建側(cè)面積、表面積的聯(lián)系

師：課前，我們對立體圖形計算的知識進行了整理。現(xiàn)在看學(xué)習(xí)單的第1題，一張長方形紙可以創(chuàng)造出什么立體圖形，這張紙與立體圖形之間有什么聯(lián)系？

生1：我把這張紙卷一卷，可以卷出一個圓柱。長方形的長就是圓柱的底面周長，長方形的寬就是圓柱的高。請問還有什么需要補充嗎？

生2：我可以沿著長方形的寬，轉(zhuǎn)出一個圓柱來。長方形的寬就是圓柱的高，長方形的長變成了圓柱的底面半徑。請問還有什么需要補充嗎？

生3：我也認(rèn)為旋轉(zhuǎn)可以得到圓柱，我是沿著長方形的長，轉(zhuǎn)出一個圓柱來。那么繞長方形的長旋轉(zhuǎn)的話，長就是圓柱的高，寬就是底面半徑。

師：他們兩個人的意思就是說？

生4：如果繞著長方形的長旋轉(zhuǎn)，長就是圓柱的高，寬就是底面半徑；如果繞著長方形的寬旋轉(zhuǎn)，寬就是高，長變成了底面半徑。

（課件演示卷起和旋轉(zhuǎn)，幫助學(xué)生溝通聯(lián)系）

師：大家的發(fā)現(xiàn)真了不起！除了能創(chuàng)造出圓柱，還有別的想法嗎？

生5：我可以把長方形紙進行對折，然后圍起來就是一個長方體。

（學(xué)生操作演示）

師：同學(xué)們折出了長方體，能不能折出一個正方體呢？

生6：這張紙不能折出一個正方體。如果長方形的長是寬的4倍，就可以折出一個正方體。

師：同學(xué)們用折一折、卷一卷的方法制成了立體圖形，這張長方形紙就成了立體圖形的側(cè)面。觀察這些側(cè)面和長方形紙，你有什么發(fā)現(xiàn)？（課件出示側(cè)面展開圖）

生7：這張長方形紙的面積就是這些立體圖形的側(cè)面積。

生8：要計算這些立體圖形的側(cè)面積，都可以用“底面周長×高”。

師：明明是長方形紙，它的面積為什么可以寫成“底面周長×高”呢？

生9：圍成圓柱時，長方形的長變成了圓柱的底面周長，長方形的寬變成了高。圍成長方體、正方體時，這個長方形的長還是底面周長，寬也一樣是高。

生10：這些立體圖形的側(cè)面都是用這張紙圍成的，所以側(cè)面積就是這個長方形的面積。

生11：是的，無論底面是圓、正方形或長方形，側(cè)面展開都是這個長方形，所以側(cè)面積都是“底面周長×高”。

（課件出示三棱柱、四棱柱）

師：怎么計算這些圖形的側(cè)面積呢？

生11：它們的側(cè)面展開都是長方形，因此側(cè)面積都是“底面周長×高”。

師：表面積指的是什么？這些立體圖形的表面積怎么計算？

生12：表面積指的是物體所有面的面積之和。這些立體圖形的表面積都是側(cè)面積加上兩個底面的面積。

教師將側(cè)面積、表面積的計算公式“S側(cè)=Ch”“S=S側(cè)+2S底”貼在黑板上。

評析：通過一張紙的操作，激發(fā)學(xué)生的思考。在折一折、卷一卷的過程中，直觀展示了長方形紙與柱體側(cè)面積的聯(lián)系。通過動手操作、深入思考，逐步找到知識的聯(lián)系和蘊藏的規(guī)律，統(tǒng)一了求側(cè)面積、表面積的方法，培養(yǎng)了學(xué)生的類比推理能力，達(dá)到將數(shù)學(xué)知識由“厚”變“薄”的目的，讓學(xué)生對柱體圖形的表面積有了更深刻的理解和認(rèn)識。

2. 構(gòu)建體積的聯(lián)系

師：在剛才的討論中，我們通過卷、折和旋轉(zhuǎn)，把這張紙變成立體圖形。實際上，我們還可以將手上的A4紙摞起來，就形成什么立體圖形了呢？

生1：A4紙摞成了長方體。

（教師出示課件動畫演示圖，如圖1）

師：（控制紙的不同張數(shù)）仔細(xì)觀察，你想說什么？

生2：紙的張數(shù)越多，長方體就越高，那么體積就越大。張數(shù)越少，長方體的高越小，那么體積就越小。

師：看來同樣是這張紙，它累積過程中形成長方體所占空間的大小與紙的高度有關(guān)。那什么樣的紙能累積成正方體、圓柱呢？

生3：正方形紙能累積成為正方體，圓形紙累積則能成為圓柱。

師：我們一起來看看。（出示課件動畫形成正方體和圓柱，圖略）

師：能不能累積成圓錐呢？

生4：我認(rèn)為圓錐累積不成，因為它上下大小不一樣。

生5：上下一樣的才能累積成，這樣的物體是柱體，不能累積成不是柱體的。endprint

師：那這些柱體的體積公式都可以怎么計算？

生6：柱體的體積等于底面積乘高。

（再次出示三棱柱、四棱柱）

師：它們的體積又可以怎么計算？

生7：它們也是柱體，也可以用“底面積×高”。所以只要是柱體，體積都等于“底面積×高”。

教師在黑板上貼出“V=Sh”。

評析：A4紙的累積，引起高的變化，在底面積不變時，體積隨著高的變化而變化。由長方體聯(lián)想到正方體、圓柱，以及這一類的柱體，學(xué)生的認(rèn)識由個及類、由淺入深，把零散的知識點串成知識線，逐步形成知識網(wǎng)。復(fù)習(xí)應(yīng)突出核心知識，循序漸進，螺旋式上升。在平面圖形教學(xué)中我們非常重視公式之間的聯(lián)系，立體圖形的復(fù)習(xí)也應(yīng)如此。從“變”中尋找“不變”，使柱體體積的公式得到了統(tǒng)一，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也逐步條理化、系統(tǒng)化。

3. 串線結(jié)網(wǎng)

師：在剛才的研究過程中，我們發(fā)現(xiàn)這些立體圖形的側(cè)面積、表面積和體積之間有著密切的聯(lián)系，結(jié)合這些認(rèn)識，進一步完善大家課前整理的材料，然后大家在小組內(nèi)先交流一下學(xué)習(xí)單的第2題，你梳理了什么？你怎樣梳理的？等一下我們再全班交流。

教師巡視，了解學(xué)生小組交流的情況，學(xué)生作品如圖2。

根據(jù)學(xué)生匯報，老師在黑板上逐步貼出網(wǎng)絡(luò)圖（如圖3）。

師：剛才幾位同學(xué)的梳理非常有創(chuàng)意，從不同的角度表示出這些圖形計算的聯(lián)系，通過這樣的梳理，就把一個一個的知識點聯(lián)結(jié)起來，形成知識網(wǎng)。這樣，我們再來看它們時，就不僅僅是一棵棵樹，而是一片森林。當(dāng)然，我們在梳理時，開始可能并不那么完美，就如同電腦的Windows操作系統(tǒng)，一直在更新?lián)Q代，不斷完善，最近就遭受“勒索蠕蟲”病毒的攻擊，需要下載補丁程序。所以我們的復(fù)習(xí)梳理也需要不斷地借鑒、完善，逐步提高我們梳理的水平和能力。

評析：梳理的過程需要學(xué)生課前去完成，課內(nèi)去完善。這樣處理既發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，又留有充足的時間讓學(xué)生去對話交流，達(dá)到互相啟發(fā)、相互促進的目的。教師適時地指導(dǎo)點撥，學(xué)生就能借助知識網(wǎng)絡(luò)圖、思維導(dǎo)圖等形成清晰的、系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)。長此以往，學(xué)生的梳理能力必然會提升。

三、練習(xí)

1. 填一填

你能說說下列情況涉及的數(shù)學(xué)問題嗎？

（1）易拉罐的表皮大?。?）

（2）易拉罐裝飲料多少（ ）

（3）易拉罐占空間的大小（ ）

（4）裝箱時用的紙箱表皮的大?。?）

（5）箱子能裝多少飲料（ ）

（6）箱子占空間的大?。?）

2. 解決問題

（1）媽媽進行舊物改造，想給長方體罐頭盒的四周貼上漂亮的彩紙。罐頭盒長12 cm，寬8 cm，高10 cm，至少需要多少平方厘米的彩紙？

師：要計算哪幾個面？可以怎樣計算？你想出幾種方法？

（2）如圖4，這個直角梯形的面積是多少平方厘米？如果以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形的體積是多少立方厘米？

師：旋轉(zhuǎn)得到什么？要求什么？半徑和高分別是多少？提醒大家注意什么？

3. 學(xué)生交流課前整理的“易錯題”

師：錯題是最好的學(xué)習(xí)資源，有時做錯一次比對十次起到的作用還大。大家要善于從錯誤中學(xué)習(xí)，同桌間互相交流整理復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)單的第3題。

學(xué)生展示錯題（如圖5），其余學(xué)生結(jié)合錯題思考：這道題目解答時要注意什么？這道題目還可以怎樣變化？

師：解決剛才的問題，你有哪些收獲？

評析：復(fù)習(xí)課練習(xí)的功能，一是鞏固提升，二是查漏補缺?！办柟烫嵘毙枰處熥プ∵@部分內(nèi)容的核心概念來設(shè)計練習(xí)，首先讓學(xué)生正確區(qū)別底面積、側(cè)面積、表面積、體積、容積等概念，進一步理解它們的意義；其次進一步鞏固側(cè)面積的統(tǒng)一計算方法（如計算長方體罐頭盒的側(cè)面積），以及平面圖形與其旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念?！安槁┭a缺”更應(yīng)該發(fā)揮學(xué)生的主動性，讓他們?nèi)ナ占e題，實際上收集的過程就是復(fù)習(xí)鞏固的過程。在分享錯題中，學(xué)生認(rèn)識錯誤，追究錯因，糾正錯誤，對于易錯題的印象會更加深刻。

■四、總結(jié)

師：通過這節(jié)課的復(fù)習(xí)，你對立體圖形有了哪些新的認(rèn)識？你有什么收獲？

布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)的過程實際上是人們利用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對新的知識經(jīng)驗進行加工改造并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。在學(xué)習(xí)中，新的知識經(jīng)驗不是納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（同化），就是引起原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改組（順應(yīng)），從而產(chǎn)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這個過程不是被動產(chǎn)生的，而是一種積極主動的過程。

1. 以學(xué)生為梳理主體，促進自主建構(gòu)

以往的復(fù)習(xí)課上教師主導(dǎo)梳理環(huán)節(jié)，以一問一答或解題的方式逐一梳理各個知識點，接著通過板書或課件逐步將知識間的聯(lián)系梳理出來。這樣的梳理看似是學(xué)生參與，其實是教師包辦代替。對學(xué)生而言，他們其實沒有經(jīng)歷主動建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)的過程，更多的是“被梳理”，知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)只是教師清楚。

因此，復(fù)習(xí)課的關(guān)鍵在于發(fā)揮學(xué)生的主體地位。在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生在梳理和練習(xí)中積極融合知識、方法與情感，實現(xiàn)對知識結(jié)構(gòu)的表征與內(nèi)化，“學(xué)生主體性回歸”才能真正實現(xiàn)。盡管學(xué)生的梳理結(jié)果各不相同，要給足時間讓學(xué)生對話交流，在思維的碰撞中促進認(rèn)識的提升。只有促進學(xué)生自主建構(gòu)和自覺運用，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得以提升，這樣的復(fù)習(xí)課才更具有條理性和深刻性。

2. 以基本概念為聯(lián)結(jié)點，激發(fā)生長活力

基本概念是人對客觀現(xiàn)實中數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)屬性的抽象，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)?；靖拍罾斫獾迷缴羁蹋骄哂猩?。本節(jié)課中，基本概念就是表面積、體積，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生再次回顧這兩個概念的意義，對這兩個概念的認(rèn)識越清晰，越有利于將新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗聯(lián)系起來，納入到學(xué)生已有的認(rèn)識框架之中，從而使之獲得確定的意義。

3. 以構(gòu)建聯(lián)系為目標(biāo)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

復(fù)習(xí)課不能上成新課，但又必須上出“新”意。所謂上出“新”意，就是實現(xiàn)復(fù)習(xí)課的最高目的——“再建構(gòu)”。對于系統(tǒng)性強的數(shù)學(xué)學(xué)科來說，每一個數(shù)學(xué)知識或概念自成一個小系統(tǒng)，在新課學(xué)習(xí)中要給予極大的關(guān)注；同樣，每個小系統(tǒng)之間又是相互聯(lián)系，并構(gòu)成一個大的知識系統(tǒng)，而這恰恰是復(fù)習(xí)課中需要關(guān)注的。由長方體、正方體、圓柱單個立體圖形的計算公式，同化所有直柱體表面積和體積的計算方法，認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到了擴展，有效地實現(xiàn)了所謂的“新”和“再建構(gòu)”。復(fù)習(xí)課中要進一步關(guān)注數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，也就是從整體上建立知識間的縱橫聯(lián)系和層次結(jié)構(gòu)， 構(gòu)建起具有生長活力的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識體系。

可見，復(fù)習(xí)課應(yīng)將建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)放在首要位置，認(rèn)知結(jié)構(gòu)越穩(wěn)固，越有利于吸納新的知識；要重點關(guān)注基本思想方法和基本概念的意義，越是基本的思想方法、概念，越具有生長力。正如布魯納所說，“一門課程在它的教學(xué)過程中，應(yīng)反復(fù)地回到這些基本觀念，以這些基本觀念為基礎(chǔ)，直至學(xué)生掌握了與這些觀念相適應(yīng)的完全形式的體系為止”。endprint