一種基于相對(duì)位置約束的雙星定位方法

李正， 張海， 王偉揚(yáng)

北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院， 北京 100083

一種基于相對(duì)位置約束的雙星定位方法

李正， 張海*， 王偉揚(yáng)

北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院， 北京 100083

全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)(GNSS)需要至少4顆衛(wèi)星才能提供持續(xù)、準(zhǔn)確的定位結(jié)果。在有障礙物遮擋的城市街道、山谷或者存在壓制式干擾的戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中，往往會(huì)出現(xiàn)可見星數(shù)量降低至4顆以下的情況。針對(duì)只有2顆可見星的定位問題，提出了通過相對(duì)位置變化對(duì)絕對(duì)位置進(jìn)行解算的定位模型，證明了該模型的可行性，并研究了該模型的數(shù)值計(jì)算方法和幾何搜索方法。仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)際跑車試驗(yàn)表明，在只有2顆可見星條件下，該方法的定位精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的INS/GNSS緊組合算法，并且對(duì)初始位置的精度不具有依賴性。

全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)； 兩顆可見星； 定位； 相對(duì)位置約束； 組合導(dǎo)航

全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)(GNSS)在組合導(dǎo)航[1]、智能交通[2]、大地測(cè)量[3]、精密單點(diǎn)定位[4-5]等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)的GNSS定位算法需要4顆可見星才能有效定位[6]。但在城市街區(qū)、隧道、山谷以及壓制式干擾等困難環(huán)境中，上述條件通常不易滿足[7]。當(dāng)只有3顆可見星時(shí)，通過接收機(jī)的海拔高度輔助，以及慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(INS)與GNSS組合Kalman濾波的方法能夠獲得較好的定位結(jié)果[8]。但可見星只有2顆時(shí)，傳統(tǒng)的組合導(dǎo)航濾波器觀測(cè)信息不足，濾波結(jié)果將隨慣導(dǎo)累積誤差迅速發(fā)散[9-10]。

針對(duì)2顆星定位問題，文獻(xiàn)[11]提出了一種城市內(nèi)移動(dòng)車輛的定位算法，該算法在前一時(shí)刻位置已知的前提下，通過測(cè)量?jī)蓚€(gè)時(shí)刻車輛的直線距離，對(duì)當(dāng)前時(shí)刻的位置進(jìn)行解算。該算法雖然精度較高，但由于是遞推算法，所以對(duì)初始位置有較高的精度要求，且車輛在運(yùn)動(dòng)過程中不能有明顯的高度變化[11]。文獻(xiàn)[12]通過研究高精度銣原子鐘的誤差模型，在可見星不足的情況下對(duì)接收機(jī)鐘差進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)結(jié)合高度信息解決2顆星的定位問題。文獻(xiàn)[13-14]提出了在弱信號(hào)情況下，通過改進(jìn)數(shù)值計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)只有2顆可見星的定位方法。但是該方法只能解決單點(diǎn)定位問題，對(duì)于運(yùn)動(dòng)載體，無法滿足實(shí)時(shí)性要求。文獻(xiàn)[15-16]等通過設(shè)計(jì)新的自適應(yīng)濾波方法，降低只有2顆可見星時(shí)的定位誤差，但是在定位原理上仍沒有突破性進(jìn)展。

針對(duì)以上算法存在的不足，本文提出了根據(jù)相對(duì)位置變化對(duì)載體的絕對(duì)位置進(jìn)行解算的方法。該方法對(duì)載體的運(yùn)動(dòng)模式?jīng)]有約束，不依賴于初始位置精度，且定位誤差沒有累積效應(yīng)。文章的主要內(nèi)容包含4個(gè)方面：首先對(duì)基于相對(duì)位置約束的兩顆星定位模型進(jìn)行介紹；第二，對(duì)算法的可行性進(jìn)行了理論分析；第三，給出了定位結(jié)果的兩種數(shù)值解法；最后通過仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證算法的有效性和定位精度。

1 定位原理

1.1 基本思想

衛(wèi)星接收機(jī)獲得的偽距信息在地心地固(ECEF)坐標(biāo)系下一般表述為[17]

(1)

式中：[xyz]T為接收機(jī)的位置；[xsyszs]T為衛(wèi)星位置；δtu為接收機(jī)的鐘差。接收機(jī)位于以衛(wèi)星為球心半徑為ρ-δtu的球面上。當(dāng)有2顆可見星時(shí)，如圖1所示，兩球面相交于一空間圓，該圓為接收機(jī)位置的可行解軌道。

(2)

由此可推知，在相隔Δt的tk與tk+1兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上，可以確定如圖2所示的兩個(gè)軌道平面。

本文的核心思想在于：如果接收機(jī)在Δt時(shí)間內(nèi)的位置變化矢量rk已知，利用rk的起點(diǎn)、終點(diǎn)應(yīng)分別位于兩個(gè)可行解軌道上的約束，使用多個(gè)時(shí)刻間的位置變化矢量測(cè)量，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)載體位置的有效估計(jì)。

圖1 由2顆可見星確定的可行解 Fig.1 Feasible solution by two visible satellites

圖2 2顆可見星定位的原理圖 Fig.2 Principle diagram of positioning algorithm with two visible satellites

1.2 數(shù)學(xué)模型

(3)

(4)

式中：Re為地球長(zhǎng)半軸；μ為一個(gè)與高度測(cè)量值相關(guān)的因子，其含義與推導(dǎo)過程詳見附錄A。

非線性方程組可記為

FX=b

(5)

式中：X=[x1y1z1δtu1x2y2z2δtu2]T為被估計(jì)狀態(tài)；b=[ρ11ρ11h1ρ11ρ11h2rk,xrk,yrk,z]T為測(cè)量值?？紤]測(cè)量值存在噪聲，記b對(duì)應(yīng)的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為

(6)

式中：下標(biāo)ρ、h、r分別表示偽距、高度和位置變化。

采用加權(quán)的思想[18]，式(3)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)化問題：

(7)

2 最優(yōu)解的計(jì)算方法

根據(jù)本文提出的2顆星定位原理，針對(duì)不同情況，采用兩種最優(yōu)解的計(jì)算方法。一是基本的數(shù)值解法，二是結(jié)合幾何含義的搜索方法。

2.1 數(shù)值計(jì)算方法

Gauss-Newton迭代算法是解決式(7)所示的最優(yōu)化問題的基本方法，其迭代公式為

(8)

(9)

rm1=

rm2=

定位過程中，迭代初值通常選擇上一時(shí)刻的估計(jì)值。

2.2 幾何搜索方法

2.2.1 搜索原理

短時(shí)間內(nèi)接收機(jī)的鐘漂可近似為0，即式(3)中δtu1=δtu2。當(dāng)鐘差為固定值δtu時(shí)，可確定圖1 所示的軌道圓，記為Tk。根據(jù)高度限制，可將接收機(jī)的大致范圍Ls在Tk上標(biāo)記出來，如圖3 所示。軌道圓半徑極大，在局部區(qū)域近似為一條直線。

將rk的終點(diǎn)P在可行解區(qū)域Ls上滑動(dòng)，PL和PH分別為可行解區(qū)的左右端點(diǎn)，其起始點(diǎn)D到tk-1時(shí)刻的軌道圓Tk-1的最短距離為Δ1。因單一位置變化矢量不能消除鐘差模糊度，進(jìn)而無法實(shí)現(xiàn)位置的準(zhǔn)確求解，本文采用多時(shí)刻位置變化矢量約束的方式提高精度。

圖3 幾何搜索方法 Fig.3 Searching method by geometric relationships

搜索最優(yōu)解δtu,P，使得最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的如下代價(jià)函數(shù)最?。?/p>

(10)

圖4為Δi的計(jì)算方法：Tk-i為軌道圓，C為圓心，D點(diǎn)為位置變化矢量的起始點(diǎn)，D′為D點(diǎn)在圓軌道平面的投影，則D點(diǎn)到軌道圓的最短距離為DE。

由于C點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)可求，法向量nC由式(2)給出，故夾角θ可求。由幾何關(guān)系可得

(11)

式中：|CD|為C點(diǎn)到D點(diǎn)的線段長(zhǎng)度。

圖4 空間點(diǎn)D到軌道圓的最短距離 Fig.4 Minimum distance between point D and the orbit

2.2.2 基于黃金分割的搜索策略

鐘差的搜索區(qū)間[δtuL,δtuH]可通過經(jīng)驗(yàn)設(shè)置，也可以借鑒文獻(xiàn)[12]提供的時(shí)鐘模型進(jìn)行預(yù)測(cè)?；瑒?dòng)區(qū)間Ls則由高度h的取值范圍決定。一般情況下，將高度傳感器的測(cè)量誤差視為標(biāo)準(zhǔn)差為σh的零均值白噪聲。利用3σ準(zhǔn)則，確定高度的取值范圍為

h∈hL,hH=hm-3σh,hm+3σh

(12)

式中：hm為測(cè)量值。根據(jù)式(12)可分別求出hL和hH對(duì)應(yīng)的數(shù)值解：

(13)

由于軌道圓半徑rC極大，可認(rèn)為最優(yōu)點(diǎn)位于PL和PH的連線上。但通過遍歷PLPH線段上每一個(gè)采樣點(diǎn)尋找最優(yōu)解的方法計(jì)算量極大。本文采用黃金分割搜索的方法查找最優(yōu)解。

設(shè)第q次搜索區(qū)間為aq,bq，計(jì)算區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)試探點(diǎn)，uq,vq∈aq,bq：

(14)

式中：σ=0.618，計(jì)算兩個(gè)試探點(diǎn)對(duì)應(yīng)的代價(jià)函數(shù)ΓΔ(uq)和ΓΔ(vq)，并比較二者大小。如果ΓΔ(uq)≤ΓΔvq，則說明最優(yōu)解在aq,vq范圍內(nèi)，即

(15)

由于黃金分割點(diǎn)的特殊性，uq變?yōu)樾聟^(qū)間的黃金分割點(diǎn)，即vq+1=uq，所以對(duì)于區(qū)間aq+1,bq+1只需要計(jì)算新的uq+1即可。同理，如果ΓΔuq>ΓΔvq，則

(16)

反復(fù)搜索，直到區(qū)間長(zhǎng)度小于某閾值ε。

用同樣的搜索原理對(duì)鐘差進(jìn)行搜索，即可獲得最終解。雖然嵌套兩層搜索，但是由于鐘漂的穩(wěn)定性，可根據(jù)上一時(shí)刻的搜索結(jié)果對(duì)下一時(shí)刻的鐘差取值范圍進(jìn)行有效約束，從而減少搜索次數(shù)。

圖5 本文所提方法流程圖 Fig.5 Flow chart of proposed method

3 對(duì)位置變化矢量rk的理論分析

由圖5可知，本文的定位原理依賴于對(duì)偽距、高度和位置變化矢量rk的有效測(cè)量。偽距和高度信息可由接收機(jī)和高度傳感器直接獲得，但rk則無法直接測(cè)量。一般情況下，需要通過對(duì)速度進(jìn)行積分獲得。需要指出的是，雖然當(dāng)速度可測(cè)時(shí)，可以通過積分計(jì)算位置，但積分過程有誤差累計(jì)效應(yīng)，如果tk時(shí)刻的位置不準(zhǔn)確，tk+1時(shí)刻的位置也會(huì)隨之發(fā)散。此時(shí)傳統(tǒng)的積分算法，比如慣導(dǎo)，并不能實(shí)現(xiàn)自校正。本節(jié)主要證明，即便tk時(shí)刻的位置有很大誤差，rk也能獲得較高精度的測(cè)量，進(jìn)而確保本文的算法能夠正常執(zhí)行，最終將定位精度收斂到合理范圍，防止進(jìn)一步發(fā)散。

3.1 rk的基本計(jì)算方法

rk的3個(gè)分量是在ECEF坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，需要通過對(duì)地速進(jìn)行積分，獲得運(yùn)動(dòng)載體地理位置(經(jīng)度λ、緯度L、高度h)的變化，再將地理位置的變化轉(zhuǎn)化為ECEF坐標(biāo)的變化。載體在運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)度、緯度、高度的計(jì)算公式為[19]

(17)

式中：λk、Lk、hk分別為tk時(shí)刻接收機(jī)的經(jīng)度、緯度、高度；VE、VN、VU分別為載體的東-北-天三向速度；RN、RE分別為子午面曲率半徑和橫向曲率半徑，其計(jì)算公式為[20]

(18)

式中：e為地球的偏心率；Re為地球長(zhǎng)半軸，地理位置向ECEF坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式為[21]

(19)

則

(20)

3.2 初始位置未知時(shí)rk的計(jì)算方法

(21)

根據(jù)3顆星定位原理[17]，可用牛頓迭代法計(jì)算出精度較高的數(shù)值解。同時(shí)注意到，μ的取值與1近似，且μ=1時(shí)式(21)可變形為首一多項(xiàng)式，存在解析解?？蓪ⅵ?1時(shí)的解析解作為牛頓迭代的初值，迭代多次獲得準(zhǔn)確的數(shù)值解。

GΔX=ν

(22)

(23)

(24)

ΔX=G-1ν

(25)

定位誤差為

(26)

記

(27)

其中：pij為ei與ej的內(nèi)積，表達(dá)式為

(28)

因μ>1(見附錄A)，所以1

(29)

從而有

(30)

(31)

文獻(xiàn)[22]指出，對(duì)于典型的天線，信號(hào)增益隨信號(hào)入射角的增大而降低。在有遮擋的環(huán)境下，信號(hào)入射角一般小于60°。從而限定e1、e2與e3的夾角大于120°，進(jìn)而有

-1≤p13,p23≤-0.5

(32)

而e1與e2的夾角過小時(shí)會(huì)導(dǎo)致2顆星可辨性差，通常大于15°，結(jié)合天線增益的角度限制，易知

-0.5≤p12≤0.966

(33)

根據(jù)p13、p23、p33以及p12的取值范圍，可得

(34)

若鐘差為1 000 m，高度測(cè)量誤差為10 m，則

(35)

由線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)知，G為以e1、e2和e3為棱的平行六面體的體積，當(dāng)體積的數(shù)量級(jí)為100～10-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的誤差上限為2～20 km?？梢娪墒?21)計(jì)算的初始位置，在G較小的情況下將包含較大誤差。但由此計(jì)算的rk和最終的定位結(jié)果仍可以獲得較好的精度，4.2節(jié)對(duì)此進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證。

3.3 位置變化矢量rk的精度分析

假設(shè)1載體的運(yùn)動(dòng)范圍為中低緯度地區(qū)，即南北緯60° 范圍內(nèi)。

假設(shè)2Δtk時(shí)間內(nèi)，載體的海拔高度、航向、速度等可測(cè)，高度測(cè)量的噪聲方差最大為200 m2，在航向誤差與速度誤差的綜合作用下，東-北-天三向速度有10-1m/s數(shù)量級(jí)的穩(wěn)態(tài)誤差。

在以上假設(shè)下，本文給出兩個(gè)便于工程應(yīng)用的定性結(jié)論，并在附錄B和附錄C中進(jìn)行詳細(xì)證明。

結(jié)論1Δtk時(shí)間內(nèi)，經(jīng)度、緯度、高度的變化在數(shù)值上與真值近似，即

(36)

以上分析的是rk的計(jì)算精度，其對(duì)定位結(jié)果的影響較為復(fù)雜。但通過大量實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證，當(dāng)tk時(shí)刻與tk+1時(shí)刻發(fā)生換星時(shí)，本文定位誤差遠(yuǎn)小于rk的計(jì)算誤差；如果沒有換星，定位誤差較大，但仍小于rk的計(jì)算誤差。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文首先通過仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)提出的方法進(jìn)行原理性驗(yàn)證，然后通過實(shí)際跑車實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步證明其正確性和有效性。

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)由3部分組成，首先驗(yàn)證位置變化矢量rk的精度，其次通過實(shí)例驗(yàn)證無先驗(yàn)知識(shí)的rk計(jì)算方法的有效性，最后通過與標(biāo)準(zhǔn)的INS/GNSS緊組合算法作對(duì)比，驗(yàn)證定位方法的有效性。

4.1.1 位置變化矢量與初始位置誤差的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)1飛行器的真實(shí)起點(diǎn)為北緯40°，東經(jīng)116°，高度恒為10 000 m，速度大小恒為400 m/s，航向?yàn)楸逼珫|45°，如此飛行60 s，計(jì)算對(duì)應(yīng)的位置變化矢量。測(cè)速系統(tǒng)存在0.1 m/s的穩(wěn)態(tài)誤差，測(cè)速噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為2 m/s，航向測(cè)量噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為0.5°，高度測(cè)量噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為20 m，采樣頻率為10 Hz。

假設(shè)參與計(jì)算的起點(diǎn)的經(jīng)度、緯度同時(shí)有Δs的誤差，Δs的取值范圍為[-50,50] km。用蒙特卡羅法仿真1 000次，計(jì)算誤差的均值，結(jié)果如圖6 所示。從圖中可以看出，位置變化矢量具有將初始位置的大誤差縮小的功能。尤其是在導(dǎo)航過程中，定位誤差一般都在10 km范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)的位置變化矢量誤差很小，完全能夠滿足2顆星的定位要求。

實(shí)驗(yàn)2與實(shí)驗(yàn)1同樣的運(yùn)動(dòng)方式，飛行器真實(shí)起點(diǎn)的經(jīng)度不變，緯度從北緯1°遍歷到北緯90°，參與計(jì)算的起點(diǎn)的經(jīng)度、緯度有固定的10 km 誤差，觀察這固定的10 km誤差在不同緯度造成的位置變化矢量的誤差。用蒙特卡羅法仿真1 000次，計(jì)算誤差的均值。圖7(a)反映了低緯度地區(qū)的誤差情況。圖7(b)反映了高緯度地區(qū)的情況，可以看出，在極地附近，位置變化矢量誤差急速增加。其主要原因在于：根據(jù)附錄B中的式(B1)和式(B2)，誤差在經(jīng)度方向上的分量與緯度的正割值成正比。在極地附近，緯度的正割趨于無窮大，所以經(jīng)度變化的誤差極大，反映在位置變化矢量上，即3個(gè)軸的誤差分量很大。由此也可以發(fā)現(xiàn)，本文提供的方法，在極地附近可行性較差。

圖6 位置變化矢量誤差與初始位置誤差的關(guān)系 Fig.6 Vector error derived from initial position error

圖7 固定的初始位置誤差導(dǎo)致的位置變化矢量誤差 Fig.7 Vector error derived from a fixed initial position error

4.1.2 初始位置未知時(shí)rk的計(jì)算方法驗(yàn)證

本文3.2節(jié)中提到，初始位置未知時(shí)，忽略接收機(jī)鐘差，可對(duì)初始位置進(jìn)行近似計(jì)算。此處給出一個(gè)計(jì)算范例。

tk時(shí)刻，衛(wèi)星1與衛(wèi)星2的空間位置分別為(9 316 492，16 106 224，18 954 148)、(-14 639 082，14 650 041，16 629 515)，對(duì)應(yīng)的偽距分別為22 230 740.0、20 819 416.7，tk+1時(shí)刻，衛(wèi)星1與衛(wèi)星2的空間位置分別為(9 315 716，16 108 506，18 952 588)、(-14 641 190，14 650 256，16 627 468)，對(duì)應(yīng)的偽距分別為22 233 593.8，20 807 742.9；tk與tk+1間隔60 s。飛行器初始地理位置為(30°,110°,1 000 m)，飛行過程中高度不變，東向與北向速度恒為300 m/s。高度測(cè)量噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為20 m，測(cè)速系統(tǒng)存在0.1 m/s的穩(wěn)態(tài)誤差，測(cè)速噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為2 m/s。鐘差的取值范圍為[0,30] km，以1 000 m為采樣間隔。對(duì)每一個(gè)采樣點(diǎn)用蒙特卡羅法計(jì)算1 000次位置變化矢量，并與真實(shí)的位置變化矢量做差，計(jì)算3個(gè)分量上的均方根誤差。

結(jié)果如圖8(a)和圖8(b)所示。其中圖8(a)為在不同鐘差情況下通過式(21)計(jì)算的初始位置的均方根誤差(RMSE)。從圖中可以看出，初始位置誤差隨鐘差的增加而增大，且數(shù)值較大，單位為km。圖8(b)為在圖8(a)的初始位置誤差基礎(chǔ)上，對(duì)位置變化矢量進(jìn)行計(jì)算的誤差結(jié)果。從圖中可以看出，雖然位置變化矢量誤差也隨鐘差的增加而增大，但是單位為m，明顯小于初始位置誤差。該試驗(yàn)表明，2.2節(jié)中對(duì)沒有先驗(yàn)知識(shí)的位置變化矢量的計(jì)算方法是有效的。

圖8 不同鐘差導(dǎo)致的位置變化矢量的均方根誤差以及相應(yīng)的位置變化矢量的誤差 Fig.8 RMSE of initial position error and vector error derived from different clock error

取鐘差5 000 m的情況，用本文提出的2顆星定位算法，求取接收機(jī)位置。由于此時(shí)誤差很大，需要反復(fù)迭代，不斷更新初始位置，進(jìn)而逐漸提高定位精度。圖9為迭代8次過程中的定位誤差，從圖中可以看出，定位方法具有一定的收斂性。

圖9 定位誤差與求解次數(shù) Fig.9 Converging positioning error and iteration times

4.1.3 與緊組合的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

與標(biāo)準(zhǔn)的緊組合算法進(jìn)行對(duì)比，飛行器的運(yùn)動(dòng)軌跡及傳感器數(shù)據(jù)由軌跡發(fā)生器生成，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示。

慣導(dǎo)系統(tǒng)中，陀螺的零偏為1 (°)/h，隨機(jī)噪聲為20 (°)/h，加速度計(jì)零偏為1 mg，隨機(jī)噪聲為20 mg，人為設(shè)置可觀測(cè)星的數(shù)量始終為2。對(duì)于本文提出的2顆星定位方法，直接用緊組合的速度輸出作為輔助測(cè)速系統(tǒng)，從而計(jì)算出位置變化矢量，位置變化矢量的計(jì)算時(shí)間間隔為60 s。即飛行器飛行60 s以后開始進(jìn)行解算，前60 s用緊組合的結(jié)果代替。

圖10 飛行器運(yùn)動(dòng)軌跡 Fig.10 Trajectory of aircraft

根據(jù)條件數(shù)的變化，本文在條件數(shù)較小時(shí)直接采用數(shù)值解法，當(dāng)條件數(shù)跳變時(shí)采用幾何搜索方法。最終的定位誤差如圖12所示。

圖11 條件數(shù) Fig.11 Condition number

圖12 定位誤差 Fig.12 Positioning error

4.2 跑車試驗(yàn)

為了進(jìn)一步證明本文所提出方法的正確性和有效性，課題組進(jìn)行了實(shí)際跑車試驗(yàn)。

4.2.1 試驗(yàn)條件

試驗(yàn)采用的硬件平臺(tái)為北京航空航天大學(xué)和航天恒星科技有限公司聯(lián)合研制的ISS/GNSS緊組合原理樣機(jī)。其中接收機(jī)為載波相位雙頻差分接收機(jī)，其單點(diǎn)定位誤差為5 m，速度誤差為0.1 m/s。慣性器件選用美國Crossbow公司生產(chǎn)的IMU440，其主要性能指標(biāo)如表1 所示。氣壓計(jì)設(shè)備選用的是MEAS公司生產(chǎn)的數(shù)字壓力傳感器MS5803-02BA，該款氣壓計(jì)的分辨率高達(dá)10 cm、體積小(6.2 mm×6.4 mm)、穩(wěn)定性高。同時(shí)，選用精度更高的組合導(dǎo)航系統(tǒng)IMU-ISA-100C計(jì)算跑車試驗(yàn)的參照值，該系統(tǒng)由NovAtel公司研制，其定位精度可達(dá)厘米級(jí)。

表1 IMU440 主要性能Table 1 Performance of IMU440

為了實(shí)現(xiàn)可見星不足4顆的試驗(yàn)條件，跑車環(huán)境選在建筑物較多的街區(qū)。此外，當(dāng)可見星有3顆時(shí)，將信噪比最低的一顆剔除，進(jìn)而對(duì)本文方法進(jìn)行更有針對(duì)性的驗(yàn)證。

4.2.2 試驗(yàn)結(jié)果

跑車試驗(yàn)在天津進(jìn)行，將IMU-ISA-100C系統(tǒng)的輸出作為標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行對(duì)比，行車軌跡如圖13所示。當(dāng)可見星足夠多時(shí)，用傳統(tǒng)的緊組合算法結(jié)果作為輸出；當(dāng)可見星只有2顆時(shí)，切換到本文算法。

跑車試驗(yàn)持續(xù)2 500 s，在[1 944,2 030] s區(qū)間段(對(duì)應(yīng)圖13中的時(shí)間段1)和[2 217,2 369] s區(qū)間段(對(duì)應(yīng)圖13中的時(shí)間段2)，接收機(jī)受建筑物遮擋，可見星數(shù)量較少，大部分少于4顆。為了對(duì)本文算法進(jìn)行充分驗(yàn)證，強(qiáng)制將這兩個(gè)時(shí)間段的可見星數(shù)量設(shè)置為2。此外，計(jì)算位置矢量的時(shí)間設(shè)置為30 s，跑車剛進(jìn)入這兩個(gè)時(shí)間段時(shí)，前30 s仍采用標(biāo)準(zhǔn)的緊組合算法，之后切換到本文方法。

圖13 跑車軌跡 Fig.13 Vehicle trajectory

圖14為2顆星下本文方法與標(biāo)準(zhǔn)緊組合算法的對(duì)比結(jié)果，其中圖14(a)、圖14(b)分別為時(shí)間段1和時(shí)間段2的軌跡，圖14(c)為經(jīng)緯度誤差。從圖中可以看出：本文方法計(jì)算的軌跡更接近標(biāo)準(zhǔn)軌跡；本文方法的定位誤差誤差整體上要小于傳統(tǒng)算法，雖波動(dòng)性較強(qiáng)，但沒有明顯的誤差累計(jì)效應(yīng)。

圖14 對(duì)比結(jié)果 Fig.14 Comparison results

5 結(jié) 論

本文根據(jù)相對(duì)位置的約束關(guān)系，提出了一種新的雙星定位方法。該方法通過測(cè)量接收機(jī)在空間中的相對(duì)位置變化矢量，在高度信息輔助下實(shí)現(xiàn)僅有2顆可見星環(huán)境下的較高精度定位。該方法的主要特點(diǎn)包括：

1) 對(duì)運(yùn)動(dòng)載體的運(yùn)動(dòng)形式?jīng)]有要求，既可以測(cè)量高速運(yùn)動(dòng)的飛行器，也可以進(jìn)行單點(diǎn)測(cè)量，應(yīng)用較為廣泛。

2) 誤差沒有累積效應(yīng)，適合與慣導(dǎo)等其他定位系統(tǒng)進(jìn)行組合。

3) 不需要初始位置對(duì)準(zhǔn)，具有較強(qiáng)的靈活性。

4) 只有兩顆低軌道通信衛(wèi)星，在能獲得偽距和衛(wèi)星位置的前提下也能實(shí)現(xiàn)定位，具有較好的擴(kuò)展性。

[1] 劉百奇, 房建成. 一種基于可觀測(cè)度分析的SINS/GPS自適應(yīng)反饋校正濾波新方法[J]. 航空學(xué)報(bào), 2008, 29(2): 430-436.

LIU B Q, FANG J C. A new adaptive feedback Kalman filter based on observability analysis for SINS/GPS[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2008, 29(2): 430-436 (in Chinese).

[2] CHEN W, LI X, SONG X, et al. A novel fusion methodology to bridge GPS outages for land vehicle positioning[J]. Measurement Science and Technology, 2015, 26(7): 075001.

[3] 程鵬飛, 文漢江, 孫羅慶, 等. 中國大陸 GPS 速度場(chǎng)的球面小波模型及多尺度特征分析[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2015, 44(10): 1063-1070.

CHENG P F, WEN H J, SUN L Q, et al. The spherical wavelet model and multiscale analysis of characteristics of GPS velocity fields in mainl and china[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2015, 44(10): 1063-1070 (in Chinese).

[4] 劉經(jīng)南, 葉世榕. GPS非差相位精密單點(diǎn)定位技術(shù)探討[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào): 信息科學(xué)版, 2002, 27(3): 234-240.

LIU J N, YE S R. GPS precise point positioning using undifferenced phase observation[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2002, 27(3): 234-240 (in Chinese).

[5] PAN S, CHEN W, JIN X, et al. Real-time PPP based on the coupling estimation of clock bias and orbit error with broadcast ephemeris[J]. Sensors, 2015, 15(7): 17808-17826.

[6] CORPORATION A. NAVSTAR GPS space segment/navigation user interfaces[J]. European Journal of Theology, 1991, 24(5): 272.

[7] NOURELDIN A, KARAMAT T B, GEORGY J. Fundamentals of inertial navigation, satellite-based positioning and their integration[M]. Berlin: Springer Science & Business Media, 2012.

[10] CHEN L, FANG J. A hybrid prediction method for bridging GPS outages in high-precision POS application[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2014, 63(6): 1656-1665.

[11] HATANO H, KITANI T, FUJII M, et al. Positioning method by two GNSS satellites and distance sensor in urban area[J]. IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, 2015, 98(1): 275-283.

[12] YEN S W, VAN GRAAS F, DE HAAG M U. Positioning with two satellites and known receiver clock, barometric pressure and radar elevation[J]. GPS Solutions, 2015, 101(12): 1-15.

[13] LI J Z. Two satellites positioning algorithm based on AGPS system with two clock bias[C]//2010 2nd International Conference on Computer Engineering and Technology (ICCET), 2010, 2: V2-416-V2-419.

[14] 李吉忠， 武穆清， 李筱葉. 利用Marquardt算法進(jìn)行兩顆衛(wèi)星的AGPS定位[J]. 北京郵電大學(xué)學(xué)報(bào)， 2009， 32(2)： 39-42.

LI J Z, WU M Q, LI X Y. Two satellites positioning method of AGPS with Marquardt algorithm[J]. Journal of Beijing University of Posts & Telecommunications, 2009, 32(2): 39-41.

[15] ZHOU Q, ZHANG H, LI Y, et al. An adaptive low-cost GNSS/MEMS-IMU tightly-coupled integration system with aiding measurement in a GNSS signal-challenged environment[J]. Sensors, 2015, 15(9): 23953-23982.

[16] ZHANG B Q, CHU H R, SUN T, et al. Error prediction for SINS/GPS after GPS outage based on hybrid KF-UKF[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2015(4):1-9.

[17] 孫健. GPS和高精度氣壓高度表的組合導(dǎo)航定位技術(shù)研究[D]. 南京: 南京航空航天大學(xué), 2008.

SUN J. Research on GPS and high precision baro-altimeter integrated navigation and positioning technology[D]. Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2008 (in Chinese).

[18] SIMON D. Optimal state estimation: Kalman, H infinity, and nonlinear approaches[M]. New York: John Wiley & Sons, 2006: 82.

[19] ROBERT M R. Applied mathematics in integrated navigation systems[M]. 3rd ed. Reston: AIAA, 2007: 75.

[20] DAVID H T, JOHN L W. 捷聯(lián)慣性導(dǎo)航技術(shù)[M]. 張?zhí)旃? 王秀萍, 王麗霞， 等譯. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2007: 34.

DAVID H T, JOHN L W. Strapdown inertia navigation technology[M]. ZHANG T G, WANG X P, WANG L X， et al. translated. Beijing: National Defense Industry Press, 2007: 34 (in Chinese).

[21] 謝剛. GPS原理與接收機(jī)設(shè)計(jì)[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2009: 108.

XIE G. Principles of GPS and receiver designs[M]. Beijing: Publishing House of Electronics Industry, 2009: 108 (in Chinese).

[22] PAUL D G. GNSS與慣性及多傳感器組合導(dǎo)航系統(tǒng)原理[M]. 李濤, 練軍想, 曹聚亮， 等譯. 北京： 國防工業(yè)出版社, 2011: 185.

PAUL D G. Principles of GNSS, inertia and multisenso integrated navigation systems[M]. LI T, LIAN J X, CAO J L, et al., translated. Beijing: National Defense Industry Press, 2011: 185 (in Chinese).

附錄A

當(dāng)接收機(jī)的海拔高度確定以后,其位置滿足式(A1)所示的橢球面方程[18]：

(A1)

式中：Re和Rp分別表示地球的長(zhǎng)半軸與短半軸。對(duì)式(A1)變形為

(A2)

設(shè)傳感器測(cè)量的海拔高度為hc，則

(A3)

顯然

h-hc?Re+hc,h-hc?Rp+hc

(A4)

所以

(A5)

故式(A2)可寫為

(A6)

(A7)

附錄B

將地球的長(zhǎng)半軸Re簡(jiǎn)記為R。設(shè)初始位置誤差為δs(單位為m)，其導(dǎo)致的最大的經(jīng)度和緯度誤差分別為

(B1)

因δs?RE+h,δs?RN+h,所以δL為小量。secL為關(guān)于緯度的單調(diào)遞增函數(shù)，在本文3.3節(jié)中的假設(shè)條件下,secL≤2，所以δλ亦為小量。由式(17)可知，經(jīng)、緯度的變化方程為

(B2)

式中：δVE、δVN為東向速度與北向速度的測(cè)量誤差。同時(shí)，求中RE、RN對(duì)L的導(dǎo)數(shù)為

(B3)

1) 經(jīng)度計(jì)算通道

式(B2)中Δλk計(jì)算通道的被積函數(shù)可寫為

(B4)

將其按照a/x+δx的形式進(jìn)行Taylor展開，可得

Iλ≈

(B5)

式中：

(B6)

代入式(B3)，并進(jìn)行整理，易知

Iλ≈

(B7)

而

secLr+δL≈secLr+tanLr·secLr·δL

(B8)

將式(B7)、式(B8)代入式(B2)中的經(jīng)度計(jì)算通道：

(B9)

展開可得

Δλk≈

(B10)

由式(B10)可知，經(jīng)度變化誤差由兩部分組成，一是速度測(cè)量誤差導(dǎo)致的誤差項(xiàng)，二是初始位置誤差導(dǎo)致的誤差項(xiàng)。其中，速度誤差滿足假設(shè)2 條件，所以

(B11)

此外，δL為小量，且載體的運(yùn)動(dòng)范圍在中低緯度地區(qū)，故

VE+δVEtanLr·secLr·δL?VEsecLr

(B12)

所以初始位置誤差導(dǎo)致的誤差項(xiàng)滿足：

(B13)

2) 緯度和高度計(jì)算通道

式(B2)中緯度計(jì)算通道的被積函數(shù)與式(B4)類似，即

(B14)

(B15)

此外，由于高度通道不參與積分計(jì)算，直接通過氣壓高度表等傳感器進(jìn)行測(cè)量，所以也滿足：

(B16)

附錄C

(C1)

(C2)

(C3)

考慮初始位置與真值的關(guān)系：

進(jìn)而有

(C4)

1) δr的x分量

(C5)

而

(C6)

(C7)

(C8)

故

cosLcosλ·Δh·δh

(C9)

式(C9)可簡(jiǎn)寫為

(C10)

eλ項(xiàng)：

Δλ·δλ≈-R+hcosLsinλ·

(C11)

式中:δs為初始位置誤差，假設(shè)在10 km范圍內(nèi)；Δλ表示運(yùn)動(dòng)載體在短時(shí)間內(nèi)的經(jīng)度變化，通常也在10 km范圍內(nèi)，所以

(C12)

當(dāng)h為0時(shí)，誤差最大，故有

(C13)

eL項(xiàng)：

(C14)

所以

(C15)

式中：

(C16)

其中：

(C17)

所以：

(C18)

進(jìn)而：

ΔL·δL

(C19)

飛行器的飛行高度通常在100 km以內(nèi)，所以

h<100 km≤0.016R

(C20)

同時(shí)有

(C21)

所以

(C22)

根據(jù)式(C19)～式(C22)計(jì)算的各變量取值范圍，可得

(C23)

式中：Δs為Δt時(shí)間內(nèi)載體在緯度方向上的變化，一般滿足Δs<10 km，δs為初始誤差在緯度方向上的大小，本文假設(shè)在10 km范圍內(nèi)，則

(C24)

此外，高精度的高度傳感器，其測(cè)量噪聲的方差可達(dá)200 m2，所以

(C25)

2) δr的y分量

結(jié)果同δr的x分量。

3) δr的z分量

分析方法同δr的x分量，這里給出主要分析過程。

(C26)

eL項(xiàng)：

(C27)

其中：

(C28)

(C29)

(C30)

而

(C31)

(C32)

(C33)

所以

1.010 3R+h<1.017R+h

(C34)

即

eL<1.017R+h·ΔL·δL

(C35)

結(jié)果同式(C19)。

而高精度的高度傳感器，其測(cè)量噪聲的方差在200 m2以內(nèi)，所以

(C36)

綜上所述，位置變化矢量的誤差可控制在300 m范圍內(nèi)。

(責(zé)任編輯： 蘇磊)

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170213.1146.002.html

Apositioningmethodwithtwosatellitesbyrelativepositionconstraint

LIZheng,ZHANGHai*,WANGWeiyang

SchoolofAutomationScienceandEngineering,BeihangUniversity,Beijing100083,China

Theglobalnavigationsatellitessystem(GNSS)needsatleastfourvisiblesatellitestoprovideaccurateandcontinuouspositingresult.However,underharshconditionssuchasurbancanyon,tunnelsandotherspecialenvironments,thenumberofvisiblesatellitesusuallybecomeslessthanfour,whichleadstodegradationofpositioningprecisionorinfeasibilityofthepositioningalgorithm.Thispaperpresentsanovelmethodtoprovidereliablepositionsolutionwithonlytwovisiblesatellites.TherelativepositionchangeduringashortperiodisutilizedasaconstrainconditiontoestimatetheabsolutepositionofGNSSreceiverinthispaper.Thefeasibilityoftheproposedmethodisproved.Thenumericalalgorithmandgeometricalsearchingalgorithmareproposedrespectively.Thesimulationexperimenthasbeencarriedoutandtheresultdemonstratesthattheproposedmethodiseffectiveinimprovingthepositioningperformance.TheproposedmethodhasbetterperformancethantheconventionalINS/GNSScoupledmethodandthepositioningresultsdonotrelyontheinitialposition’sprecision.

GNSS;twovisiblesatellites;positioning;relativepositionconstraint;integratednavigation

2016-06-07；Revised2016-11-09；Accepted2017-01-09；Publishedonline2017-02-131146

.E-mailzhanghai@buaa.edu.cn

2016-06-07；退修日期2016-11-09；錄用日期2017-01-08； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2017-02-131146

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170213.1146.002.html

.E-mailzhanghai@buaa.edu.cn

李正， 張海， 王偉揚(yáng)． 一種基于相對(duì)位置約束的雙星定位方法J． 航空學(xué)報(bào),2017,38(5):320503.LIZ,ZHANGH,WANGWY.ApositioningmethodwithtwosatellitesbyrelativepositionconstraintJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(5):320503.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.320503

V241.62+5

A

1000-6893(2017)05-320503-15