線性代數(shù)分學(xué)院案例式教學(xué)研究

郭彥+史玉鳳

【摘 要】 線性代數(shù)是一門很重要的工科專業(yè)必修數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，隨著社會對畢業(yè)生實際操作水平和實踐能力的逐步提高以及電子計算機的迅速發(fā)展，過去注重理論教學(xué)的教學(xué)模式目前很難適應(yīng)社會發(fā)展的需求。對不同學(xué)院學(xué)生進行教學(xué)過程中，選用不同的案例滲透線性代數(shù)概念及知識，為學(xué)生進行專業(yè)課學(xué)習(xí)打下一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】 線性代數(shù)；分學(xué)院；案例式教學(xué)

【Abstract】 Linear algebra is an important basic course for Engineering Majors. Because of the high quality requirement of actual operation and the rapid development of electronic computers， the teaching mode which focused on theoretical teaching was difficult to meet the needs of social development. For different college students， concepts and knowledge of linear algebra is introduced in different cases. This method lays a certain mathematical foundation for students to study in specialized courses.

【Key Words】 linear algebra； collage-based； case teaching

【中圖分類號】 O151.2 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2017）17-00-02

一、引言

線性代數(shù)具有概念眾多，基本定義、定理多，內(nèi)容涉及多維問題使得知識點相對抽象難于理解，并且涉及到的計算都是計算量很大等特點[1]。案例教學(xué)法是一種以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)法，這一教學(xué)法能鼓勵學(xué)生積極參與討論[2]。本文討論將線性代數(shù)課程采用分學(xué)院基于背景案例教學(xué)的模式，在線性代數(shù)課程講授過程中選用具有學(xué)院特色的案例，加強學(xué)生的線性代數(shù)應(yīng)用與計算能力的培養(yǎng)。

二、計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院

1.矩陣——計算機圖形

計算機圖片可以用矩陣表示，進行圖片顏色改變時，可用到分塊矩陣知識。圖片的縮放變化用到對角矩陣和矩陣乘法知識，圖片的平移變換用到矩陣加法，圖片的旋轉(zhuǎn)變換用到矩陣乘積的知識。人體經(jīng)絡(luò)可視化需要將圖像由三維變化到二維，變化過程中也需要用到矩陣知識[3]。航空發(fā)動機葉片形狀復(fù)雜，在其上用激光加工孔洞過程中也需要用到圖形變換，與矩陣知識相關(guān)性甚大[4]。

2.向量夾角——Internet網(wǎng)絡(luò)

網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器根據(jù)文檔間的相似程度、相關(guān)程度進行分類。文檔分類可通過以下方法實現(xiàn)，將文檔關(guān)鍵詞進行數(shù)字化、歸一化，得到向量，將向量間向量夾角進行比較，向量夾角越小，文檔近似程度越高。

三、物理學(xué)院

1.空間解析幾何——加速度、受力分析、軌跡確定

加速度的確定與空間解析幾何知識相關(guān)，由于物體加速度是位移的關(guān)于時間的二階導(dǎo)數(shù)，所以將位置與時間的關(guān)系式對時間進行二次求導(dǎo)，即得物體在各方向上的加速度。

分析兩條等長的繩子掛一件物體受力，根據(jù)向量的平行四邊形法則、力的平衡及三角形知識可分析出不同夾角情況下，繩子的受力，分析出夾角與拉力之間的關(guān)系，得出何時最省力。同樣可分析成人拉小孩胳膊離地是否會拉傷，進行引體向上運動時手如何放置最佳？

輪船在河水中的運動軌跡受船行速度、方向及水流速度、方向的影響，畫出速度矢量圖，根據(jù)向量的平行四邊形法則，即可確定輪船的運動軌跡。

2.向量、矩陣、線性變換——物理電路

基爾霍夫定律可與矩陣、向量知識相結(jié)合，進行電路分析。首先根據(jù)函數(shù)關(guān)系，確定系數(shù)矩陣，再確定矩陣的特征值、特征向量和特征函數(shù)，最后通過線性組合確定電壓和時間的關(guān)系。

3.分塊矩陣——衛(wèi)星軌道

為了比較衛(wèi)星在不同時間的位置與計劃軌道進行比較，需要用到雷達數(shù)據(jù)。雷達給出的數(shù)據(jù)很大，矩陣需要在分析數(shù)據(jù)時計算出來，當雷達數(shù)據(jù)到達時，新的必須計算出來，由于數(shù)據(jù)龐大，計算負擔重，計算過程中可用到分塊矩陣的知識。

四、管理學(xué)院

1.矩陣——銷售及成本管理、成績管理、航班計算

矩陣加法及數(shù)乘等計算可進行銷售額、成本等計算及學(xué)生成績管理。例、已知上半年銷售情況和下半年銷售情況，通過矩陣加法可得全年總銷售情況。

將各學(xué)生的各項成績寫出矩陣形式，運用矩陣數(shù)乘計算，各項成績乘以相應(yīng)的比例系數(shù)，再相加，即可獲得各學(xué)生的總成績。

圖論在航班設(shè)置及選擇上的應(yīng)用十分重要。航班城市作為頂點，頂點間由有向邊、雙向邊連接，構(gòu)成有向圖和無向圖。通過航班圖信息，列出航線矩陣，可得出能夠直接到達的城市、一次轉(zhuǎn)機能到達的城市、二次轉(zhuǎn)機能到達的城市。

2.向量空間、線性變換、特征值——人口遷徙

人口遷移問題與線性代數(shù)的向量、線性變換、特征值等知識相關(guān)。已知城市、農(nóng)村的人口數(shù)量和遷移規(guī)律，將初始數(shù)據(jù)和遷移規(guī)律寫成向量形式，二者相乘，即可得后來各年各地的人口數(shù)目。人口遷移問題也可由矩陣乘法來進行，將市區(qū)與郊區(qū)的遷移規(guī)律寫出矩陣形式，通過線性變換、特征值、特征向量獲得若干年后市區(qū)和郊區(qū)的人口情況，并用數(shù)學(xué)知識分析通過人口遷移能不能實現(xiàn)人口均勻分布，為什么。

3.線性方程組、向量——交通流、公共自行車管理endprint

交通流調(diào)整、控制、管理等問題中應(yīng)用到線性代數(shù)中的線性方程組、向量等知識。首先實地記錄進出口車流量，根據(jù)交通圖及節(jié)點流量守恒等列出各節(jié)點的流量方程，根據(jù)線性方程組特點計算各路段車流量，分析哪段路車流量最大。

公共自行車的取還、停車等宏觀調(diào)控需用到線性代數(shù)中的向量知識。首先統(tǒng)計各站點的借還信息，通過向量分析各站點的歸還情況，分析比較繁忙的站點，進而對公用自行車進行管理。

五、能動學(xué)院

傳熱問題的數(shù)值計算中會用到線性方程組知識。如鋼板溫度確定問題。分析鋼板熱傳導(dǎo)物體特點，得出傳熱過程中的幾何條件、物理條件、邊界條件和初始條件，根據(jù)熱平衡方法或泰勒級數(shù)展開法建立離散方程，然后根據(jù)線性方程組求解方法即得各節(jié)點的溫度值。

六、力學(xué)與土木工程學(xué)院

1.矩陣——梁的變形

進行簡單梁受力分析過程中，根據(jù)胡克定律，可寫出力與形變之間的關(guān)系，即y=Df，其中D為柔度矩陣，其逆為剛度矩陣。根據(jù)胡克定律、矩陣、求逆、矩陣乘法等即可分析撓度、受力大小、受力方向等，可分析剛度矩陣中負值元素，出現(xiàn)負值的原因等。

2.向量、線性方程——混凝土配料

混凝土配比分析過程如下：將基本類型寫成基向量形式，待配混凝土為合成向量，根據(jù)向量空間知識分析基向量構(gòu)成的向量空間的維數(shù)，然后加入合成向量看維數(shù)是否增加？通過分析可知什么要求的混凝土可以配出，什么要求的不能配出。

七、信息與控制工程學(xué)院

1.矩陣的逆——保密編譯

根據(jù)要發(fā)的明文，寫出其矩陣，為了保證安全，需要對明文進行加密，即用密碼矩陣左乘明文矩陣，即可得到密文矩陣。獲得密文后需要對密文進行解密，即用密文矩陣左乘密碼矩陣的逆。根據(jù)矩陣及矩陣逆的知識也可進行密碼矩陣的確定。

2.向量——數(shù)字通信統(tǒng)計

在數(shù)字通信統(tǒng)計過程中會用到向量知識，如人們收看兩個電視臺節(jié)目，每逢整點插播廣告，接受一臺節(jié)目的a%的人改看二臺，b%接受二臺節(jié)目的人改看一臺，估算某一時刻各臺收看人數(shù)用向量及向量空間即可獲得。此方法在人口遷徙分析中也能用到。

八、結(jié)論

探討和研究了對分學(xué)院模式下的線性代數(shù)采用科學(xué)計算結(jié)合案例教學(xué)法進行教學(xué)。很多學(xué)院或?qū)W院中突出專業(yè)所研究的問題，都與線性代數(shù)知識相關(guān)，如計算機學(xué)院的計算機圖形、Internet網(wǎng)絡(luò)，物理學(xué)院的受力分析、軌跡確定、電路分析，化工學(xué)院的化學(xué)方程式配平，生命學(xué)院的生態(tài)問題，管理學(xué)院的成本等管理、航班計算、人口遷徙、流量分配，能動專業(yè)的熱傳導(dǎo)問題，力學(xué)與土木工程學(xué)院的梁的變形、混凝土配比，信控學(xué)院的保密編譯、通信統(tǒng)計等問題。

參考文獻：

[1]江龍，程林鳳，胡建華.線性代數(shù)[M].高等教育出版社，2012.

[2]李政輝.案例教學(xué)法探源[J].中國大學(xué)教學(xué)，2009（9）：89-92

[3]李鵬鋒，陳新.基于圖形變換的人體經(jīng)絡(luò)可視化[J].計算機應(yīng)用，2011，31（11）：3035-3037.

[4]胡忠恒，李坤.圖形變換的矩陣方法在激光加工中的應(yīng)用[J].航空制造技術(shù)，1992（4）：37-38.endprint