圓形區(qū)域變化磁場(chǎng)激發(fā)渦旋電場(chǎng)的問題剖析及案例分析

黃紹書 王金霞

(六盤水市第23中學(xué) 貴州 六盤水 553000)

圓形區(qū)域變化磁場(chǎng)激發(fā)渦旋電場(chǎng)的問題剖析及案例分析

黃紹書 王金霞

(六盤水市第23中學(xué) 貴州 六盤水 553000)

剖析渦旋電場(chǎng)的分布以及渦旋電場(chǎng)中非導(dǎo)體約束和導(dǎo)體約束條件下的電勢(shì)問題，給出在限定的圓形區(qū)域內(nèi)均勻變化磁場(chǎng)中的渦旋電場(chǎng)、感生電動(dòng)勢(shì)與電勢(shì)的分布規(guī)律，以及在這限定的圓形區(qū)域內(nèi)均勻變化的磁場(chǎng)中，非導(dǎo)體約束和導(dǎo)體約束條件下電勢(shì)的計(jì)算與比較.通過在渦旋電場(chǎng)中對(duì)電源、電勢(shì)及電壓等概念的引入， 澄清了一些在大學(xué)物理教學(xué)中涉及渦旋電場(chǎng)的容易模糊、難于理解的概念.對(duì)渦旋電場(chǎng)的一個(gè)具體案例進(jìn)行了詳細(xì)分析.

感生電動(dòng)勢(shì) 渦旋電場(chǎng) 非導(dǎo)體約束 導(dǎo)體約束 案例分析

1 引言

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和麥克斯韋電磁理論，當(dāng)某一固定回路L所圍的面積為S的區(qū)域由于磁感應(yīng)強(qiáng)度B發(fā)生變化引起其磁通量Φ變化時(shí)，將產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)(以下簡(jiǎn)稱電動(dòng)勢(shì))ε并在磁場(chǎng)區(qū)域及其周圍空間激發(fā)出渦旋電場(chǎng)E旋[1].并且，ε與E旋之間的關(guān)系為

(1)

顯然

(2)

這就表明，渦旋電場(chǎng)E旋是非保守場(chǎng)即非勢(shì)場(chǎng).正因如此，通常認(rèn)為在渦旋電場(chǎng)中引入電勢(shì)的概念勢(shì)必沒有多大的意義和價(jià)值.

但是，為了便于對(duì)問題的說明和表述，本文在對(duì)渦旋電場(chǎng)的分析與討論中，依然引入了電勢(shì)這一概念.

關(guān)于渦旋電場(chǎng)及其中的電勢(shì)分布問題，尚未有圖書文獻(xiàn)給出具體說明，因而，長(zhǎng)期以來這一問題總是教學(xué)中研討的課題.期刊文獻(xiàn)對(duì)這方面的討論是比較豐富的，截今為止，已發(fā)表的專業(yè)期刊文獻(xiàn)[2～7]已有數(shù)百篇，它們從不同的側(cè)面和角度對(duì)這一問題進(jìn)行了很有價(jià)值的研討，其中最為普遍的討論是目前存在諸多爭(zhēng)議的問題，也就是渦旋電場(chǎng)中導(dǎo)體存在與否對(duì)電勢(shì)分布的影響問題.

2 兩個(gè)問題剖析

這里先對(duì)本文中將涉及的導(dǎo)體約束和非導(dǎo)體約束兩個(gè)概念進(jìn)行界定.其中，導(dǎo)體約束是指渦旋電場(chǎng)建立在導(dǎo)體中，其電場(chǎng)和電勢(shì)分布除與限定的變化磁場(chǎng)區(qū)域分布有關(guān)外，還要受到導(dǎo)體回路的約束.而非導(dǎo)體約束是指渦旋電場(chǎng)建立在真空(空氣)中，其電場(chǎng)和電勢(shì)分布只與限定的變化磁場(chǎng)區(qū)域分布有關(guān).

2.1渦旋電場(chǎng)的分布

這里僅著重分析變化磁場(chǎng)限定在一圓形區(qū)域之內(nèi)，并且沒有導(dǎo)體回路約束的情況.

(3)

相應(yīng)回路的渦旋電場(chǎng)為

(4)

圖1 變化的磁場(chǎng)限定在一圓形區(qū)域內(nèi)

很顯然，式(3)說明，當(dāng)r

這里要說明一點(diǎn)，在有導(dǎo)體回路約束的條件下，若導(dǎo)體回路是以變化磁場(chǎng)的圓形區(qū)域中心為圓心的電阻線密度相同的均勻?qū)w回路，那么，電動(dòng)勢(shì)和渦旋電場(chǎng)的變化規(guī)律仍然分別由式(3)、式(4)確定.其余情況下導(dǎo)體回路中的電動(dòng)勢(shì)和渦旋電場(chǎng)，由式(1)根據(jù)回路所圍的磁場(chǎng)區(qū)域面積以及回路總長(zhǎng)等實(shí)際情況確定.

2.2渦旋電場(chǎng)中的電勢(shì)

在如圖1所示的模型中，任意回路中每一部分都相當(dāng)于一個(gè)電動(dòng)勢(shì)很小的電源.若將某一回路分為弧長(zhǎng)相等的n等分，各等分的電動(dòng)勢(shì)分別為ε1,ε2,ε3,…εn，那么，該回路的電動(dòng)勢(shì)可表是為

ε=ε1+ε2+…+εn

(5)

現(xiàn)分兩類情況來說明渦旋電場(chǎng)中的電勢(shì)問題.

2.2.1 非導(dǎo)體約束

這里將沒有導(dǎo)體約束即非導(dǎo)體約束條件下的渦旋電場(chǎng)回路稱為非約束回路，每個(gè)非約束回路都是以變化磁場(chǎng)中心為圓心的圓形回路，如圖2所示.這時(shí)，式(5)中各等分電動(dòng)勢(shì)相等，即

(6)

圖2 非約束回路

因此，同一非約束回路上的各點(diǎn)電勢(shì)相等.如果以變化磁場(chǎng)中心的電勢(shì)為零，那么，各非約束回路的電勢(shì)可表示為

(7)

即各非約束回路的電勢(shì)就等于相應(yīng)回路的電動(dòng)勢(shì).

2.2.2 導(dǎo)體約束

同理，將有導(dǎo)體約束條件下的渦旋電場(chǎng)回路稱為約束回路.事實(shí)上，約束回路就是渦旋電流回路.

先考慮約束回路是以變化磁場(chǎng)的圓形區(qū)域中心為圓心的圓形回路情形.仍然將某一回路分為電動(dòng)勢(shì)相等的n等分，即各等分的電動(dòng)勢(shì)仍符合式(6)的關(guān)系.這時(shí)，若回路電阻密度不盡相同，那么在沿著渦旋電流的方向，每個(gè)等分的電阻電壓降與相應(yīng)的小電源電動(dòng)勢(shì)就不盡相等，因此，每個(gè)等分前后兩端的電勢(shì)就可能不相等.為了便于說明問題，設(shè)在如圖3所示的模型中，某一回路上除P與Q之間的部分外，其余各部分的電阻線密度都相等，令P,Q之間的電阻為Ri,電壓降為ΔUi,電動(dòng)勢(shì)為εi，其余各部分的電阻均為R，那么

(8)

其中

(9)

圖3 約束回路

當(dāng)Ri=R時(shí)，ΔUi=εi,φP=φQ的情況，同一回路上的各點(diǎn)電勢(shì)相等，不同回路的電勢(shì)仍然由式(7)確定.

當(dāng)約束回路處于以變化磁場(chǎng)的圓形區(qū)域中心為圓心的兩個(gè)圓周上時(shí)，可將約束回路簡(jiǎn)化成如圖4所示的模型，即一部分在L1圓周上，一部分在L2圓周上.設(shè)兩部分的電動(dòng)勢(shì)和電阻分別為ε1和R1及ε2和R2，那么，由式(1)或式(3)可得

(10)

(11)

式(10)、(11)中，k1和k2分別是約束回路在L1上的弧長(zhǎng)與L1的周長(zhǎng)之比及約束回路在L2上的弧長(zhǎng)與L2的周長(zhǎng)之比，r1和r2分別是L1和L2的圓周半徑.

圖4 約束回路簡(jiǎn)化模型

圖4中C,D兩點(diǎn)的電勢(shì)關(guān)系由R1,R2的電壓降ΔU1,ΔU2以及約束回路的兩部分電動(dòng)勢(shì)ε1,ε2共同確定.不難看出

φC=φD+ε1-ΔU1

或

φD=φC+ε2-ΔU2

(12)

因此，仿照前述圖3模型的分析方法，容易得出

(13)

(14)

3 一個(gè)案例分析

電子感應(yīng)加速器是渦旋電場(chǎng)在非導(dǎo)體約束條件下的典型應(yīng)用.在近期和過去的較長(zhǎng)時(shí)間，好幾個(gè)物理Q群都熱議一道關(guān)于電子感應(yīng)加速器的應(yīng)用題，但未得出合理的結(jié)果.

(1)求環(huán)形軌道上的感應(yīng)電場(chǎng)在軌道切線方向上作用在電子上的力；

圖5 題圖

分析與解：電子感應(yīng)加速器工作過程中，環(huán)形軌道上的變化磁場(chǎng)對(duì)電子的洛倫茲力指向軌道中心，提供電子做變速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.而環(huán)形軌道上及環(huán)形軌道內(nèi)的感應(yīng)渦旋電場(chǎng)對(duì)電子的作用力都沿環(huán)形軌道的切線方向，因此，對(duì)電子起到加速作用.

(1)設(shè)某時(shí)刻電子做圓周運(yùn)動(dòng)的環(huán)形軌道上垂直于環(huán)形軌道平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，那么

鉆井施工過程的每一個(gè)環(huán)節(jié)都影響著鉆井工程的整體質(zhì)量和效率，為確保每個(gè)施工環(huán)節(jié)技術(shù)措施的有效執(zhí)行，制定“一環(huán)節(jié)一對(duì)策”的技術(shù)措施。對(duì)施工過程的每一個(gè)環(huán)節(jié)做施工節(jié)點(diǎn)分析，明確鉆井施工節(jié)點(diǎn)的同一性和各異性，對(duì)同一性的內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)一、量化，對(duì)各異性的部分進(jìn)行甄別處理。

(15)

即

mv=eBR

(16)

顯然，只要滿足

(17)

即電子的動(dòng)量隨磁感應(yīng)強(qiáng)度成比例增加，就可以維持電子在一定的軌道運(yùn)動(dòng).環(huán)形軌道上的感應(yīng)電場(chǎng)在軌道切線方向上作用在電子上的力為

(18)

(2)由式(1)或式(3)可得，電子運(yùn)動(dòng)的環(huán)形軌道上的感生電動(dòng)勢(shì)為

(19)

因?yàn)?，電子運(yùn)動(dòng)一周過程中，渦旋電場(chǎng)所做的功為

(20)

所以，環(huán)形軌道平面上感應(yīng)電場(chǎng)對(duì)電子的作用力為

(21)

(3)電子在加速運(yùn)動(dòng)過程中，根據(jù)牛頓第二定律，有

(22)

綜合式(19)和式(22)，得

(23)

(24)

4 結(jié)論

通過本文的上述分析，可以得出以下一些結(jié)論.當(dāng)然這些結(jié)論以及上述給出的一些算法的描述可能不是很清楚，還期待進(jìn)一步的討論.

(1)感生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力是渦旋電場(chǎng)對(duì)自由電荷的作用力，這與動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力即洛倫茲力的來源有本質(zhì)的區(qū)別.

(2)根據(jù)圖2、圖3、圖4的模型，可以這樣理解，渦旋電場(chǎng)產(chǎn)生的同時(shí)，也伴隨激發(fā)出了靜電場(chǎng).因此，渦旋電場(chǎng)與靜電場(chǎng)往往是同時(shí)并存的.

(3)在渦旋電場(chǎng)中引入電勢(shì)的概念是很有必要和極有意義的，特別在有導(dǎo)體約束回路中，由于存在電壓降，電勢(shì)概念更顯得尤為重要.

(4)渦旋電場(chǎng)中的電勢(shì)分布還與變化磁場(chǎng)區(qū)域的空間分布狀況有關(guān)，變化磁場(chǎng)區(qū)域若為非圓形分布，那么其電勢(shì)分布的計(jì)算過程要復(fù)雜得多[8].

(5)電子感應(yīng)加速器中，電子的加速動(dòng)力由式(18)和式(21)中兩個(gè)切線方向的感應(yīng)電場(chǎng)力共同提供.同時(shí)，綜合式(18)、(21)和(24)三式，不難得出環(huán)形軌道上感應(yīng)電場(chǎng)和環(huán)形軌道內(nèi)感應(yīng)電場(chǎng)對(duì)電子的作用力相等.

1 趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué).北京：高等教育出版社,2006：182～185

2 竇志國(guó)，張茂才，周進(jìn).渦旋電場(chǎng)中導(dǎo)體上的電勢(shì).工科物理,1998(6)：19～22

3 丁世榮.用類比法求解渦旋電場(chǎng).西安地質(zhì)學(xué)院學(xué)報(bào),1995(3):72～76

4 雷甫.關(guān)于渦旋電場(chǎng)的教學(xué)探討.成都大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1998(1)：58～62

5 崔艷，劉樹森.關(guān)于渦旋電場(chǎng)的幾點(diǎn)討論.西北紡織工學(xué)院學(xué)報(bào),2000(1)：106～108

6 汪鎂.用磁場(chǎng)元的疊加法求解渦旋電場(chǎng).重慶建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào),1991(3):24～29

7 江遴漢.用類比法研究渦旋電場(chǎng).大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),1998(2):5～7

8 桑芝芳.導(dǎo)體回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是如何分布的.物理通報(bào),2010(2)：8～11

IssueAnalysisandCaseAnalysisonVortexElectricFieldExcitedbyChangingMagneticFieldinCircularRegion

Huang Shaohua Wang Jinxia

(Liu Panshui No. 23 Middle School, Liu Panshui, Guizhou 553000)

In the paper, the analysis of distribution of the eddy electric field and the electric potential under the nonconductor constraints and conductor constraints in the eddy electric field.Distribution law about the eddy electric field, the induced electromotive force and the electric potential with the uniform changes in the magnetic field within the limited circular area is given,and the calculation and comparison of electric potential under the condition of non-conductor constraints and conductor constraints with the uniform changes in the magnetic field within the limited circular area. By introducing the concepts of power supply, electric potential and voltage in the vortex electric field, which clarifies some concepts involved the vortex electric field that are vague to understand in physics teaching in college.In this paper, a specific case of the vortex electric field is analyzed in detail.

induced electromotive force; eddy electric field; nonconductor constraint; conductor constraint; case analysis

2017-05-18)