小學(xué)數(shù)學(xué)類比推理活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)制訂的原則研究

章穎

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的推理能力，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比推理等推斷某些結(jié)果。文章依托小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的相關(guān)案例來闡述教師在制定類比教學(xué)目標(biāo)時(shí)應(yīng)遵循的原則。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；類比；推理活動(dòng)

制定類比的教學(xué)目標(biāo)和創(chuàng)設(shè)類比活動(dòng)時(shí)存在一定主觀因素上的差異，這使得教師在制定的教學(xué)目標(biāo)時(shí)也會(huì)產(chǎn)生差異，目標(biāo)引領(lǐng)下的類比活動(dòng)不盡相同，學(xué)生獲得的類比經(jīng)驗(yàn)就會(huì)有所不同。所以，挖掘類比教學(xué)的目標(biāo)，并制定適合學(xué)生年齡特點(diǎn)的類比推理活動(dòng)，讓學(xué)生獲得類比活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，把握制定類比教學(xué)目標(biāo)的原則顯得尤為重要。

一、攫取類比對(duì)象本質(zhì)，異中求同

教師在課堂上設(shè)計(jì)豐富多樣的類比活動(dòng)幫助學(xué)生回憶舊知識(shí)，聯(lián)系新舊知識(shí)的生長點(diǎn)。類比活動(dòng)建立在學(xué)生對(duì)已知事物屬性了解的基礎(chǔ)上，教師枚舉數(shù)個(gè)同一類型的對(duì)象，讓學(xué)生在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)這些類比對(duì)象本質(zhì)規(guī)律上的相似，把它的具體形象逐步抽象，類比遷移，再總結(jié)歸納出這一類本質(zhì)規(guī)律相同的對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。這樣搭建引橋，以激發(fā)學(xué)生從已知走向未知的好奇心。以人教版一年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)加一位數(shù)、整十?dāng)?shù)”這一課為例：

1.“兩位數(shù)加一位數(shù)”算法上的相似性

如新授“25+2=？”，在學(xué)生理解兩位數(shù)加一位數(shù)算理，并掌握了算法時(shí)，進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生思考：兩位數(shù)加一位數(shù)都能用這樣的方法來計(jì)算嗎？你會(huì)計(jì)算這三個(gè)算式嗎？61+7，53+6，32+4。讓學(xué)生邊計(jì)算邊思考這三個(gè)算式與例題25+2的相同點(diǎn)，運(yùn)用算理感悟四個(gè)算式算法都相同。于是遷移類推出“兩位數(shù)加一位數(shù)”的算法：先把個(gè)位相加，然后將十位與個(gè)位合起來。

2.“兩位數(shù)加兩位數(shù)” 算法上的相似性

掌握“兩位數(shù)加一位數(shù)”的算法后，組織學(xué)生合作學(xué)習(xí)“25+20=？”?！?5+20，怎樣計(jì)算？你能和同桌一起擺一擺，算一算嗎？提出合作要求：①自己獨(dú)立擺小棒，邊擺邊算。②和同桌介紹你是怎樣擺的？說一說先算什么，再算什么？”由于學(xué)生在學(xué)習(xí)“25+2=？”時(shí)展示了多樣的計(jì)算方法，理解了5個(gè)一加2個(gè)一等于7個(gè)一，此時(shí)類推5個(gè)十加2個(gè)十等于7個(gè)十，并再次嘗試計(jì)算33+60，52+30，41+20。對(duì)比在計(jì)算兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)時(shí)，我們都是怎樣計(jì)算的呢？先把十位相加，再把十位和個(gè)位合起來。

3.“兩位數(shù)加一位數(shù)”與“兩位數(shù)加兩位數(shù)” 算法上的相似性

結(jié)束兩個(gè)例題的教學(xué)時(shí)，對(duì)比“25+2”和“25+20”的計(jì)算方法。剛才我們學(xué)會(huì)了兩位數(shù)加一位數(shù)和兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)的計(jì)算方法。它們的計(jì)算方法相同嗎？在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，“兩位數(shù)加一位數(shù)”先把個(gè)位相加，“兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)”先把十位相加，綜合兩種計(jì)算順序，像這樣個(gè)位和個(gè)位相加、十位和十位相加也就是相同數(shù)位相加。類比兩種計(jì)算方法，發(fā)現(xiàn)計(jì)算時(shí)只有數(shù)位相同時(shí)才能相加。計(jì)算時(shí)關(guān)鍵是看清加的是一位數(shù)，還是整十?dāng)?shù)。如果加數(shù)是一位數(shù)就要加在個(gè)位上，如果加數(shù)是整十?dāng)?shù)就要加在十位上。

兩個(gè)例題的學(xué)習(xí)分別在教師引導(dǎo)學(xué)生操作、學(xué)生進(jìn)行不同類型類比活動(dòng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行。教師時(shí)時(shí)監(jiān)控類比的方式，如“你會(huì)計(jì)算這三個(gè)算式嗎？61+7，53+6、32+4”“25+20怎樣計(jì)算？你能和同桌一起擺一擺，算一算嗎？”“回顧比較兩種類型計(jì)算25+2和25+20的計(jì)算方法”等，使之與學(xué)習(xí)活動(dòng)相互促進(jìn)，逐步呈現(xiàn)類比經(jīng)驗(yàn)的過程性目標(biāo)要求。在本質(zhì)相似的對(duì)象中找相同的屬性，在相同的屬性中尋找差異，并趨近于結(jié)果性目標(biāo)，逐步將學(xué)生已經(jīng)積累的基本類比經(jīng)驗(yàn)遷移到當(dāng)下、后續(xù)的學(xué)習(xí)中去，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移，使繁復(fù)的知識(shí)系統(tǒng)構(gòu)建清晰的脈絡(luò)。

二、豐富類比活動(dòng)形式，明晰差異

兩個(gè)類比對(duì)象之間的相似度很高，學(xué)生在觀察、比較這類形式相近的事物時(shí)，往往會(huì)將陌生對(duì)象與已認(rèn)知的相近的類比對(duì)象進(jìn)行假設(shè)，聯(lián)想、遷移這類相近的事物屬性來探索未知對(duì)象具有的屬性。這種以對(duì)象之間的相似度為基礎(chǔ)的類比，即使在形式上相似度很高，但本質(zhì)上存在一定的差異。從相同的屬性中找到差異，并探索類比對(duì)象之間的聯(lián)系，就能順利地探索出不熟悉的類比對(duì)象的屬性。

人教版二年級(jí)下冊(cè)“表內(nèi)除法（一）解決問題”一課教材使用相似度極高的兩道題目作為例題。這是學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)除法，初步建立平均分的概念，能比較熟練地用2～6的乘法口訣求商后，進(jìn)一步理解平均分的含義，用除法的運(yùn)算解決簡單的實(shí)際問題。

課前選取6道學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的除法練習(xí)分類，學(xué)生根據(jù)以往知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、搜索認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析，初步感知類比問題，這樣能為進(jìn)一步幫助學(xué)生掌握類比方法提供媒介。新授時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生閱讀審題，感知兩種平均分類型的差異，繼而畫圖分析差異，然后列式抽象想法，最后用語言敘述歸納總結(jié)，用不同的方式表征問題結(jié)構(gòu)、分析數(shù)量關(guān)系，明晰平均分的兩種類型的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別。學(xué)生運(yùn)用類比對(duì)象的相似性，帶著解決類比類型問題的思考，對(duì)除法的兩種類型題目進(jìn)行分析、研究，進(jìn)一步豐富和提升類比推理的經(jīng)驗(yàn)。

三、經(jīng)歷類比學(xué)習(xí)過程，建立模型

1. 創(chuàng)設(shè)情境，搭設(shè)橋梁

教師引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)與未知知識(shí)之間搭設(shè)橋梁，首先要求學(xué)生對(duì)已有知識(shí)掌握嫻熟，這樣他們發(fā)現(xiàn)類比對(duì)象之間可能存在某種關(guān)聯(lián)。類比對(duì)象之間既有相似又存在不同，往往可以通過這樣的對(duì)比，探索新對(duì)象與已知對(duì)象的共同之處，又可以發(fā)現(xiàn)它們的獨(dú)特個(gè)性，這樣的教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律。endprint

人教版三年級(jí)上冊(cè)教學(xué)“認(rèn)識(shí)幾分之一”一課，學(xué)生在認(rèn)識(shí)實(shí)物模型的—后，類比推理認(rèn)識(shí)其他的幾分之一。聯(lián)系前面學(xué)習(xí)的例子，教師帶來不同類型的直觀圖，讓學(xué)生思考下列圖形的陰影部分是否可以用幾分之一來表示，如果可以，讓學(xué)生和同桌說說這個(gè)分?jǐn)?shù)表示的意思。借助面積模型、線段模型使學(xué)生認(rèn)識(shí)幾分之一，體會(huì)分?jǐn)?shù)的含義，明確幾分之一都表示把一個(gè)物體或者圖形平均分成幾份，取這樣的一份。

這種借助生活情境中熟悉直觀圖的推理方式，學(xué)生在已經(jīng)形成實(shí)物模型的—的概念后，獲得兩個(gè)相對(duì)量的抽象理解，建立幾分之一這樣一種類型數(shù)的概念，從一到多，推己及彼，是對(duì)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的一個(gè)飛躍，分散了對(duì)抽象數(shù)的理解難度。

2.類比猜想，探索思路

將新知識(shí)與已有知識(shí)的相似屬性進(jìn)行類比，摸索解決問題的策略，可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)與方法的正遷移，使教學(xué)活動(dòng)起到事半功倍的效果。同一個(gè)類比活動(dòng)可能常常蘊(yùn)含著多種類比教學(xué)的方式，有時(shí)也會(huì)相互交叉，學(xué)生在類比活動(dòng)中通過關(guān)系相似猜想結(jié)果，從已經(jīng)形成的經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)嘗試推理出另一個(gè)新知識(shí)的相似屬性，理解概念，抽象出數(shù)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，正是教師從不同的角度提高學(xué)生數(shù)學(xué)類比活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的表現(xiàn)。

在上述一課里，自主探索認(rèn)識(shí)—是學(xué)生感受分?jǐn)?shù)整體和部分關(guān)系的關(guān)鍵。

首次類比，辨析整體不變，部分相同。教師給每位學(xué)生準(zhǔn)備了一張同樣大小的正方形紙，學(xué)生通過折一折、畫一畫，用陰影部分表示出正方形的—。如圖所示：

它們都可以表示這個(gè)正方形的—嗎？為什么陰影部分形狀不同，卻都能用—來表示呢？引導(dǎo)學(xué)生類比小結(jié)歸納：它們都是把同樣大的正方形平均分成4份，取一份也就是它的—。強(qiáng)調(diào)整體不變，平均分的份數(shù)不變，都取一份，部分也不變。

再次類比，辨析整體改變，部分改變。大正方形是否也可以用—來表示？如圖所示：

引導(dǎo)學(xué)生從分?jǐn)?shù)的意義類比，小正方形的—指的是把小正方形平均分成4份，取一份。大正方形的—指的是把大正方形平均分成4份，取一份。小正方形和大正方形的陰影部分都能用—來表示，但是它們的大小卻不同。強(qiáng)調(diào)整體不同，平均分的份數(shù)不變，都取一份，部分卻會(huì)發(fā)生變化。

第三次類比，部分不變，整體改變。課件出示小正方形拼出的各種圖形，除第一個(gè)圖形外，在拼接時(shí)逐一出現(xiàn)每一個(gè)圖形的小正方形，讓學(xué)生比比誰能更快說出陰影部分表示的分?jǐn)?shù)。如右上圖所示：

第一個(gè)圖形學(xué)生說出分?jǐn)?shù)很輕松，從第二幅圖開始由于拼組所使用的小正方形逐一出現(xiàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每出現(xiàn)一個(gè)小正方形分?jǐn)?shù)就會(huì)發(fā)生變化，到第三個(gè)圖形的小正方形不斷變化的時(shí)候，學(xué)生不再受教師引誘說出分?jǐn)?shù)，而表示不知道整個(gè)圖形的大小所以不能確定分?jǐn)?shù)。借鑒之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)幾分之一的理解更加深刻，歸納總結(jié)出：陰影部分相同，當(dāng)整體發(fā)生變化，分?jǐn)?shù)就會(huì)發(fā)生變化。有趣的類比活動(dòng)重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的觀察力，激發(fā)學(xué)生已有的分?jǐn)?shù)模型，深入理解分?jǐn)?shù)，抽象分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義。

3.發(fā)現(xiàn)結(jié)論，拓展延伸

能用幾分之一表示的分?jǐn)?shù)有無窮個(gè)，教師提供給每個(gè)學(xué)生一樣大小的長方形，學(xué)生嘗試遷移分?jǐn)?shù)，創(chuàng)造自己喜歡的分?jǐn)?shù)。不同大小的分?jǐn)?shù)在學(xué)生手里紛紛呈現(xiàn)：—，—，—，—，—，— ……直覺聯(lián)想，遷移創(chuàng)造，對(duì)比觀察，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：當(dāng)整體不變時(shí)，平均分的份數(shù)變化了，分?jǐn)?shù)就會(huì)發(fā)生變化。

有些學(xué)生取的分?jǐn)?shù)不同，還有呈現(xiàn)幾分之幾：—，—，—……再次觀察，得出結(jié)論：當(dāng)整體不變時(shí)，平均分的分?jǐn)?shù)也不變，但取的份數(shù)變化了，分?jǐn)?shù)也會(huì)發(fā)生變化。這樣數(shù)學(xué)課堂便把類比的作用發(fā)揮得淋漓盡致，將某一類事物的知識(shí)推廣到另一類事物上，對(duì)構(gòu)建自我的知識(shí)系統(tǒng)具有重大意義。

類比活動(dòng)的條件和結(jié)構(gòu)之間有這樣相似或相異的形態(tài)，制訂教學(xué)目標(biāo)時(shí)，教師因需置宜類比對(duì)象之間的聯(lián)系，判斷這樣的類比教學(xué)是否存在本質(zhì)特性、活動(dòng)形式、教學(xué)實(shí)施方面的相似性，再引導(dǎo)學(xué)生去類推猜想，并不斷地修正和完善類比推理結(jié)論，學(xué)生在不斷探索的過程中體驗(yàn)、積淀推理活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，從而把類比推理能力引向更為廣泛的領(lǐng)域，引申出更有價(jià)值的問題。

參考文獻(xiàn)：

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