淺談中學(xué)物理圖像中的斜率

楊清源

摘 要：物理圖像既是研究物理的重要方法，也是歷年全國各卷高考的重點(diǎn)，尤其是圖像的斜率問題，既是熱點(diǎn)也是易錯點(diǎn)。本文從斜率的定義出發(fā)，探討了物理圖像中切線斜率和割線斜率的含義，并進(jìn)行分類討論，理清了不同情況下斜率的區(qū)別和聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：物理圖像；切線；割線；斜率

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2017）10-0041-4

物理圖像在中學(xué)物理中占有很重要的位置，物理圖像可以直觀、形象地描述相關(guān)物理量之間的關(guān)系。物理圖像包含的信息很多，其中正確理解圖像中圖線的斜率是正確理解和應(yīng)用物理圖像的重要環(huán)節(jié)。

1 圖像中斜率的定義

1.1 數(shù)學(xué)圖像中斜率的定義

在人教版《數(shù)學(xué)必修2》中寫到“在直角坐標(biāo)系中，我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k=tanα”。結(jié)合正切三角函數(shù)的定義，我們可知，直線斜率也為k=（此處x和y分別是自變量和因變量）。如果函數(shù)圖線為曲線，則曲線上某點(diǎn)的斜率是指過該點(diǎn)的切線的斜率，k==tanα。如圖1，其中α是切線和x軸正向夾角，取值范圍是0°到180°，斜率有正負(fù)之分。斜率k=其實就是當(dāng)Δx趨近于0的時候y對x的變化率，也就是y對x的導(dǎo)數(shù)。按照中學(xué)物理的教學(xué)習(xí)慣，我們還是用表述。

在數(shù)學(xué)中，圖線上某點(diǎn)割線斜率，定義為該點(diǎn)P（x，y）和坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，割線斜率大小為k==tanβ，如圖1。

結(jié)合圖1，比較切線斜率和割線斜率的定義，可知切線斜率和割線斜率明顯不同。

1.2 物理圖像中斜率的定義

物理圖像中的斜率定義和數(shù)學(xué)圖像中的斜率定義大體相同，也定義為k=（此處x和y是兩個不同的物理量）。其實，斜率就是物理量y對另一物理量x的導(dǎo)數(shù)，它與物理量y的函數(shù)對物理量x的求導(dǎo)結(jié)果是一樣的。但物理圖像和數(shù)學(xué)圖像又有明顯區(qū)別：物理圖像中，由于橫縱坐標(biāo)相應(yīng)物理量的單位長度不同，甚至無關(guān)，因而物理圖線斜率通常只寫成k=，而不寫成k=tanα，即斜率不再與具體角度數(shù)值對應(yīng)。

同理，物理圖像中的割線斜率大小為k=，即圖線上某點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，物理圖像中的割線斜率同樣不涉及角度。

由于切線斜率和割線斜率形式相似，而含義不同，在物理學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常將兩者混淆。

2 物理圖像中切線斜率的物理意義

物理圖像中，圖線都有斜率（在沒有特別說明的情況下，通常將圖線的切線斜率簡稱為圖線斜率或斜率），但斜率不一定有物理意義。如果斜率有物理意義，則斜率的正負(fù)通常也有相應(yīng)的物理意義。在中學(xué)物理中，圖線斜率有意義的通常有下面兩種情況。

2.1 斜率反映物理量對時間的變化率

中學(xué)物理有很多物理量反映的是另一些物理量A對時間t的變化快慢，也稱之為A對時間的變化率，常用比值法定義，形式為，如速度、加速度、功率、感應(yīng)電動勢等。這些物理量有瞬時值和平均值之分，在相應(yīng)的A-t圖像中，斜率有物理意義，與圖線是直線或是曲線無關(guān)。通常物理量A是時間t的連續(xù)函數(shù)A=f（t），斜率即為A對t的導(dǎo)數(shù)。

例如，加速度是反映速度變化快慢的物理量，其定義是速度的變化量Δv和相應(yīng)時間Δt的比值，即a=。Δv是過程量，當(dāng)Δt為某段時間的時候，a是平均加速度；當(dāng)Δt趨近于0的時候，a就是瞬時加速度。做直線運(yùn)動的物體，在其速度隨時間變化的v-t圖中，斜率反映的正是瞬時加速度，斜率的絕對值為加速度的大小，斜率的正負(fù)反映加速度的方向。

再如，感應(yīng)電動勢反映的是磁通量的變化快慢，也叫磁通變化率，對于單匝閉合線圈，其定義式是E=。磁通變化量ΔΦ是過程量，當(dāng)Δt為某段時間的時候，E=是平均感應(yīng)電動勢；當(dāng)Δt趨近于0的時候，E=就成了瞬時電動勢。在單匝閉合線圈的磁通量隨時間變化的Φ-t圖中，斜率是瞬時感應(yīng)電動勢，斜率絕對值為電動勢的大小，斜率的正負(fù)符合楞次定律，反映感應(yīng)電流的方向。假如磁通量是復(fù)雜的時間函數(shù)，通過求導(dǎo)，可知電動勢的變化情況，其導(dǎo)數(shù)與圖線的斜率對應(yīng)。

2.2 斜率反映物理量對空間的變化率

也有一些物理量反映的是另一些物理量A對空間x的變化快慢，形式為，在相應(yīng)的A-x圖像中，斜率有物理意義，與圖線是直線或是曲線無關(guān)。通常物理量A是空間量x的連續(xù)函數(shù)A=f（x），斜率即為A對x的導(dǎo)數(shù)。

在勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度可以表示為E=，其中d是沿電場方向某兩點(diǎn)間的距離，U是這兩點(diǎn)間的電勢差，亦即Δφ；如果不是勻強(qiáng)電場，則E=反映的是平均電場強(qiáng)度。在空間沿電場線方向，電勢隨空間位置變化的φ-x圖中，當(dāng)Δx趨近于0的時候，斜率就是該點(diǎn)的電場強(qiáng)度，因為電場強(qiáng)度反映的是電勢隨位置的變化快慢，其可以定義為，斜率正負(fù)反映電場強(qiáng)度的方向。

例如，真空存在兩個靜止的等量同種正點(diǎn)電荷，相隔一定距離，沿它們的中垂線建立坐標(biāo)系Ox，坐標(biāo)原點(diǎn)為兩個點(diǎn)電荷連線中點(diǎn)，設(shè)無窮遠(yuǎn)電勢為0，則電勢φ沿x軸的變化規(guī)律如圖2所示。

由圖2可知，B位置圖線斜率比C位置圖線斜率絕對值大，即kBx>kCx，說明B位置電場強(qiáng)度比C位置強(qiáng)；兩斜率正負(fù)符號相反，表明B、C兩點(diǎn)電場強(qiáng)度方向相反。同理，而O點(diǎn)圖線斜率為零，表明兩電荷連線中點(diǎn)電場為0。

3 物理圖像中割線斜率的物理意義

某些物理量雖由其他兩個物理量x和y定義，但不是按照斜率的形式定義，而只是的形式，故在y-x圖中斜率沒有物理意義，只有割線斜率有意義。

例如，在小燈泡的伏安特性曲線中，如圖3所示，圖線上任一點(diǎn)的切線斜率沒有意義，而割線斜率才有意義，因為電阻的定義為R=，而不是R=。圖3中，燈泡在P狀態(tài)的電阻值為R===14 Ω，而不是R===35 Ω（本文不討論動態(tài)電阻）。endprint

4 物理圖像中的特殊情況

4.1 比值法定義的不變物理量

某些物理量的定義雖不是，而是（包括變形式），但由于在特定條件下其數(shù)值并不變化，圖線為過原點(diǎn)的直線，如圖4，圖中割線斜率與切線斜率在數(shù)值上相等，此時物理量的大小等于，也等于圖線的斜率。值得注意的是，盡管兩者數(shù)值相等，但含義不同，有物理意義，但無物理意義，僅僅是數(shù)值相等。

例如，彈簧在彈性限度以內(nèi)，根據(jù)胡克定律F=kx（x為相對彈簧原長的形變量），在彈簧彈力和形變量的F-x圖中，k==。其他類似的還有電容器電量和板間電壓Q-U圖中，電容C==；電場中空間某點(diǎn)檢驗電荷受到的電場力大小和檢驗電荷電量F-q圖中，電場強(qiáng)度E==，等等。

4.2 物理規(guī)律中的物理常量

在某些物理規(guī)律相應(yīng)的物理公式中，含有某些物理常量，雖然它不是按照斜率的形式定義，但由于其不變的特點(diǎn)，如果視物理公式為數(shù)學(xué)函數(shù)，也可以在相應(yīng)物理圖像中按照斜率處理。

例如，根據(jù)光電效應(yīng)方程可以得到EK=hν-W，在光電子最大初動能和入射光頻率的EK-ν圖中，斜率為普朗克常量h，如圖5。

中學(xué)定量處理的物理圖像以直線居多，即線性函數(shù)。但在很多物理規(guī)律中，相關(guān)物理量之間并不是線性關(guān)系，如果將公式中某部分作為一個整體并當(dāng)成新的變量，那么就可以將非線性函數(shù)變成線性函數(shù)，也就將物理圖像由曲線變成了直線（不一定過原點(diǎn)）。此時圖線斜率是定值，斜率與一個或幾個不變的物理量或物理常數(shù)相關(guān)，借助斜率就可以處理某些物理問題了。這種處理后的直線斜率有算術(shù)意義，在量值上等于某些不變物理量與常數(shù)的運(yùn)算結(jié)果，而斜率的正負(fù)通常沒有物理意義。

例如，在用單擺測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葘嶒炛?，單擺做小角度擺動時候的周期公式是T=2π，變形可得L=，根據(jù)多次測量的數(shù)據(jù)，畫出L-T2圖，根據(jù)圖像可求出圖線的斜率k=，又因為斜率k=，進(jìn)而可以求得重力加速度g。

上述這種化曲為直的思想，借助斜率求解不變物理量的方法，體現(xiàn)著創(chuàng)新能力，是探究物理規(guī)律或者求解某些物理量的常見方法之一，這也是物理圖像法的優(yōu)點(diǎn)之一。

干電池短時間工作，通常內(nèi)阻可視為定值。圖6為某干電池的伏安特性曲線，圖中U為電池的路端電壓，I為通過電池的電流，借助圖像我們通常用求電池內(nèi)阻r，能這么處理的原因有以下兩個方面：一是將閉合電路歐姆定律U=E-Ir視為數(shù)學(xué)函數(shù)，電動勢E和內(nèi)阻r是定值，U-I圖線斜率絕對值數(shù)值上等于內(nèi)阻；二是根據(jù)電阻的定義和串聯(lián)電路電壓的關(guān)系，有r===。對于其他某些電源（比如光電池），其伏安特性曲線不是直線，其內(nèi)阻是變化的，此時r≠。

5 典型易錯習(xí)題

如圖7所示，某同學(xué)用輕繩通過定滑輪從靜止開始提升一重物，運(yùn)用傳感器（未在圖中畫出）測得不同時刻輕繩的拉力F和被提升重物的速度v，并描繪出了F-圖像，如圖8所示，圖中AB、BC和C點(diǎn)分別對應(yīng)連續(xù)的三個時間階段。取重力加速度g=10 m/s2，繩重及一切摩擦和阻力均可忽略不計。

在提升重物的過程中，除了重物的質(zhì)量和所受重力保持不變以外，還有一些物理量的值也保持不變，請列舉之，并求出它們的大?。铀俣惹蠼饴裕?。

常見求功率的錯誤解法：根據(jù)功率公式P=Fv（F與v夾角為0°），類比v-t圖可知，在F-圖中斜率即為功率，又因為BC段的斜率為定值，故第二過程中繩子拉力的功率是定值，即P===24 W。

其實，F(xiàn)-圖中的斜率不是功率！否則會出現(xiàn)矛盾：BC段斜率是定值，該過程繩子拉力的功率是定值，即24 W；同理，AB段斜率是0，說明該過程繩子拉力沒有功率。而實際上，AB段對應(yīng)過程中繩子拉力肯定做功，是有功率的。出現(xiàn)矛盾！

錯因分析：公式P=Fv中三個物理量都是瞬時值，在F-圖中，斜率沒有物理意義，它不是功率！不同瞬間（或不同狀態(tài)）數(shù)值上才等于功率。也就是說，在F-圖中，BC段的斜率盡管為定值，但它不是功率，沒有意義，所以它不是“該過程繩子拉力的功率是定值”的依據(jù)。功率不變的依據(jù)應(yīng)該是：BC段上的不同點(diǎn)，數(shù)值都相同，即割線斜率相同。只不過該段是過原點(diǎn)的直線，有=，恰巧等于功率。同理，在AB段中，斜率是0，但斜率不是功率！功率應(yīng)該是AB段上的不同點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)值（即圖中AB段上任一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的割線斜率）。在由A到B的加速過程中，的數(shù)值是增大的，與實際情況相吻合。

6 物理圖像中斜率含義小結(jié)

物理圖像和物理概念、物理規(guī)律密切相關(guān)，只有透徹理解物理概念，才能正確理解物理概念之間的量值關(guān)系，才能正確理解圖像中的斜率[1]：如果物理量能定義成，則圖線斜率有意義，否則無意義；如果物理量只是形式，則圖線上任一點(diǎn)的割線斜率有意義，切線斜率沒意義。特殊情況下，當(dāng)圖線為過原點(diǎn)直線的時候，切線和割線重合，物理量在數(shù)值上等于相應(yīng)的切線斜率和割線斜率，但含義不同。對于含有某些物理常數(shù)的物理規(guī)律，通過轉(zhuǎn)換變成一次函數(shù)后，圖線斜率數(shù)值上等于相關(guān)物理量的計算值。

參考文獻(xiàn)：

[1]謝立峰.圖像中的兩類“斜率”[J].物理教學(xué)探討，2015，33（5）：44.

（欄目編輯 羅琬華）endprint