3T1R并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)降耦設(shè)計與運動學分析

沈惠平 張 震 楊廷力 邵國為

(常州大學現(xiàn)代機構(gòu)學研究中心，常州 213016)

3T1R并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)降耦設(shè)計與運動學分析

沈惠平 張 震 楊廷力 邵國為

(常州大學現(xiàn)代機構(gòu)學研究中心，常州 213016)

根據(jù)基于方位特征(POC)的并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計理論與方法，提出了一種結(jié)構(gòu)簡單、能實現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動的并聯(lián)機構(gòu)，拓撲結(jié)構(gòu)分析后發(fā)現(xiàn)其耦合度k較大(k=2)，其位置正解及動力學計算較復(fù)雜；為此，設(shè)計了結(jié)構(gòu)降耦后的新機型，證明其耦合度k=1，其位置正解易用一維搜索法求出，并給出了基于序單開鏈法的該機構(gòu)位置正解求解的一維搜索法及其數(shù)值解；同時，基于導(dǎo)出的機構(gòu)位置反解公式，分析了動平臺的工作空間及其轉(zhuǎn)動能力，探討了該機構(gòu)發(fā)生3種奇異位形的條件。

并聯(lián)機構(gòu)； 方位特征； 耦合度； 結(jié)構(gòu)降耦； 運動學分析； 一維搜索法

引言

國內(nèi)外對實現(xiàn)SCARA型(三平移一轉(zhuǎn)動，3T1R)輸出運動的并聯(lián)機器人進行了一些研究和應(yīng)用開發(fā)[1-5]。國內(nèi)對3T1R并聯(lián)機構(gòu)的理論研究較多，樣機研制及其應(yīng)用開發(fā)相對遲緩。2000年，趙鐵石等[6]提出了一種4-URU型三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機器人；2001年金瓊等[7]根據(jù)基于單開鏈的并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計方法，提出了一類三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機器人，并申請了一組5個具有單動平臺的三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)專利[8]，但未研制樣機；黃田等[9]于2010年開發(fā)了具有2～3個動平臺的四自由度三平移一轉(zhuǎn)動的系列Cross-IV型高速搬運機器人；2012年劉辛軍等[10]研制了具有一個動平臺的X4型并聯(lián)機構(gòu)樣機。

根據(jù)基于方位特征集(Position and orientation characteristics，POC)和序單開鏈單元(Single open chain，SOC)的并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計理論和方法[11]，作者團隊系統(tǒng)綜合了18種三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)[12-15]。

本文首先對其中之一的三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)進行POC集、自由度、耦合度3個主要拓撲結(jié)構(gòu)特征的分析，發(fā)現(xiàn)其耦合度k較大(k=2)；為此，對這一機構(gòu)進行了結(jié)構(gòu)降耦設(shè)計，使耦合度降低為1，但其基本功能(自由度和動平臺輸出運動)保持不變；采用基于序單開鏈法的位置正解求解原理，對降耦后的并聯(lián)機構(gòu)(k=1)建立一個僅含一個虛擬變量的位置約束方程，并采用一維搜索法求得其全部正解數(shù)值解；又通過求解機構(gòu)的位置反解，對該機構(gòu)進行工作空間、轉(zhuǎn)動能力及奇異性分析。

1 3T1R并聯(lián)機構(gòu)及其拓撲特性分析

1.1 機構(gòu)設(shè)計

本文提出的機構(gòu)由動平臺1、靜平臺0通過4條支鏈連接而成，如圖1所示[16]，其中，第I、III約束條支鏈包含5個轉(zhuǎn)動副，其連接方式表示為Ri1∥Ri2∥Ri3⊥Ri4∥Ri5(i=1,3)(∥表示平行，⊥表示垂直，下同)；第II、IV條為無約束支鏈，其連接方式表示為Rj1-Sj1-Sj2(j=2,4)。動平臺1上轉(zhuǎn)動副R15、R35的軸線和其法線相平行；靜平臺0上的轉(zhuǎn)動副R11、R21、R31和R41為驅(qū)動副，設(shè)轉(zhuǎn)動副R11與R31的軸線垂直，即R11⊥R31。

圖1 3T1R原始并聯(lián)機構(gòu)Fig.1 Original 3T1R PM

該機構(gòu)的特點是：①僅含兩條約束支鏈(Ⅰ、Ⅲ支鏈)，且為簡單支鏈；所含運動副、構(gòu)件少，制造、裝配工藝性好。②機構(gòu)僅關(guān)于靜平臺0的對角線SS對稱。

1.2 3T1R機構(gòu)的拓撲特性分析

1.2.1機構(gòu)拓撲特性分析的理論基礎(chǔ)

(1)機構(gòu)的POC集

(1)

(2)

式中Mb——支鏈末端構(gòu)件的POC集

MJi——第i個運動副(Joint)的POC集(末端構(gòu)件上的同一個基點O′)

Msj——當支鏈含有子SOC串聯(lián)時，第j個子SOC的POC集

MPa——機構(gòu)動平臺的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

(2)自由度

并聯(lián)機構(gòu)自由度公式為

(3)

其中

(4)

v=m-n+1

式中F——機構(gòu)自由度

fi——第i個運動副的自由度

m——運動副數(shù)n——構(gòu)件數(shù)

v——獨立回路數(shù)

ξLj——第j個回路的獨立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——第(j+1)條支鏈末端構(gòu)件的POC集

(3)單開鏈的約束度

第j個單開鏈(SOCj)的約束度為

(5)

式中mj——第j個SOCj的運動副數(shù)

fi——第i個運動副自由度(不含局部自由度)

Ij——第j個SOCj的驅(qū)動副數(shù)

(4)耦合度的定義

獨立回路為v的BKC(Basic kinematics chain)可分解為v個單開鏈SOC(Δj)(j=1,2,…,v)，因此，BKC的耦合度k定義為

(6)

其物理意義是：耦合度反映了機構(gòu)各獨立回路運動變量之間的關(guān)聯(lián)、依賴程度，也反映了機構(gòu)運動學、動力學問題求解的復(fù)雜性，且已證明：k越大，拓撲結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度越高；對于k=0的機構(gòu)，其每個回路的運動量都能獨立求出，最終能得到位置正向解析解；若k>0，意味著機構(gòu)每個回路的運動量不能獨立求出，而需多個回路方程聯(lián)立求解，且耦合度k恰為機構(gòu)冗余回路(Δj>0)的虛擬變量數(shù)或約束回路(Δj<0)的運動約束方程數(shù)，可用k維搜索法求得其位置正解或動力學逆解的數(shù)值解。

1.2.23T1R機構(gòu)的拓撲特性分析

1.2.2.1機構(gòu)的POC集和自由度

(1)選定動平臺1上任意一點O′為基點

(2)確定4條支鏈末端構(gòu)件的POC集

由式(1)有

(3)確定第1個獨立回路的位移方程數(shù)ξL1

① 第Ⅰ、Ⅲ條支鏈組成第1個回路，由式(4)有

② 第Ⅰ、Ⅲ條支鏈組成的子并聯(lián)機構(gòu)的DOF和POC，由式(3)有

由式(2)有

(4)確定第2個獨立回路的位移方程數(shù)ξL2

①由第1子并聯(lián)機構(gòu)及第Ⅱ條支鏈組成第2個回路，由式(4)有

②第1子并聯(lián)機構(gòu)及第Ⅱ條支鏈組成的第2個子并聯(lián)機構(gòu)DOF和POC集，由式(3)有

由式(2)有

(5)確定第3個獨立回路的位移方程數(shù)ξL3

由第2個回路及第Ⅳ條支鏈組成第3個回路，由式(4)有

(6)確定機構(gòu)自由度

由式(3)有

(7)確定機構(gòu)的POC集

由式(2)有

因此，動平臺1具有3個移動和1個繞其法線方向的轉(zhuǎn)動輸出。

1.2.2.2機構(gòu)的耦合度

由上已求得ξLi=6(i=1，2，3)，因此由式(5)分別求得其約束度為

進一步，由式(6)有

由此可知，該機構(gòu)盡管結(jié)構(gòu)簡單，但耦合度仍較大，為k=2，因此，該機構(gòu)位置正解還較復(fù)雜，但可通過結(jié)構(gòu)降耦設(shè)計，使其k降低為1，在保持機構(gòu)的基本功能——POC和DOF不變的前提下，使機構(gòu)的運動學正解和動力學分析方便求解。

2 3T1R降耦機構(gòu)的設(shè)計

根據(jù)作者提出的機構(gòu)結(jié)構(gòu)降耦方法[17-18]，將圖1中的動平臺1上的R15和R35重合，則成為如圖2所示的降耦機構(gòu)[19]，即該降耦機構(gòu)可視為由混合支鏈I及無約束支鏈Ⅱ、Ⅲ組成。

圖2 3T1R并聯(lián)機構(gòu)的降耦設(shè)計Fig.2 Coupling-reducing design of 3T1R PM

混合支鏈I: HSOC1{-R11∥R12∥R13⊥R14∥R35∥R34⊥R33∥R32∥R31-}，支鏈Ⅱ：SOC2{-R15-S22-S21-R21-}，支鏈Ⅲ：SOC3{-R41-S41-S42-}。

現(xiàn)對該機構(gòu)進行拓撲分析如下：

2.1 降耦機構(gòu)的POC集和自由度

(1) 確定支路末端構(gòu)件的POC集

(2)確定第1個獨立回路的位移方程數(shù)ξL1

① 混合支鏈I構(gòu)成第1個回路，由式(4)知

② 該子并聯(lián)機構(gòu)的DOF和POC集由式(2)、(3)有

(3)確定第2個獨立回路獨立位移方程數(shù)ξL2

①由混合支鏈Ⅰ、支鏈Ⅱ組成第2個回路，由式(4)有

② 該子并聯(lián)機構(gòu)DOF和POC集，由式(2)、(3)分別有

(4)確定第3個獨立回路的位移方程數(shù)ξL3

由式(4)有

(5)確定機構(gòu)自由度DOF

由式(3)有

(6)確定機構(gòu)的POC集

由式(2)有

可見，降耦設(shè)計后，機構(gòu)的自由度仍為F=4，動平臺輸出仍為三平移一轉(zhuǎn)動。

2.2 降耦機構(gòu)的耦合度

同理，已求得ξLi=6(i=1，2，3)，因此，由式(5)得各回路的約束度分別為

顯然，該機構(gòu)只包含一個BKC，其耦合度為

由此可知，通過動平臺1上運動副的復(fù)合，機構(gòu)的基本功能(POC和DOF)都沒變，但機構(gòu)的耦合度已降低為1，因此，機構(gòu)的位置正解可由基于序SOC的一維搜索法較易求得。

3 3T1R降耦機構(gòu)的位置分析

3.1 位置正解分析

3.1.1坐標系建立及符號標注

機構(gòu)位置分析求解模型如圖3所示, 靜平臺0為邊長2a的正方形,動平臺1為直角邊長為2m的等腰直角三角形，4個主動副R11、R21、R31、R41均位于各邊中點。靜坐標系OXYZ建立在靜平臺0的中心，且X軸平行于R31的軸線，Y軸平行于R11的軸線，Z軸由右手法則確定；而動坐標系Puvw位于動平臺1的中心點P，u軸平行于R15S42邊，v軸平行于R15S22邊，w軸同樣由右手法則確定。

圖3 3T1R降耦機構(gòu)的位置分析模型Fig.3 Position analysis model of 3T1R coupling-reducing PM

為理解方便，將圖3機構(gòu)展開為平面圖，如圖4所示，其中，直線SS為正方形靜平臺0的對角線。

圖4 3T1R降耦機構(gòu)的俯視展開圖Fig.4 Expanding top-view of 3T1R coupling-reducing PM

圖5 混合支鏈結(jié)構(gòu)Fig.5 Structure of hybrid branched chain

機構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：混合支鏈Ⅰ中，如圖5所示，hij表示2個轉(zhuǎn)動副Rij、Ri,j+1之間的桿長 (i=1,3;j=1,2,3,4)；如圖3所示，αi表示轉(zhuǎn)動副R1i的轉(zhuǎn)角(i=1,2,3)，βj表示轉(zhuǎn)動副R3j的轉(zhuǎn)角(j=1,2,3)。無約束支鏈Ⅱ、Ⅲ中(圖3)，hi1表示轉(zhuǎn)動副Ri1與球副Si1之間的桿長，hi2表示球副Si1與球副Si2之間的桿長(i=2,4)；δ1、θ1分別表示轉(zhuǎn)動副R21、R41的轉(zhuǎn)角。

動平臺1繞Z軸方向的轉(zhuǎn)角為γ，如圖6所示。

圖6 姿態(tài)角γ的度量Fig.6 Measurement of angle γ

該機構(gòu)位置正解可描述為：已知輸入角α1、δ1、β1、θ1，求動平臺1的位置P(x,y,z)及轉(zhuǎn)角γ。

3.1.2基于序SOC的機構(gòu)位置正解求解原理及算法

根據(jù)式(5)，單開鏈的約束度有正值、零、負值3種形式，其物理意義是：

根據(jù)上述求解原理，進一步給出該機構(gòu)基于序SOC的位置正解的求解算法，如下：

3.1.3求解Δ1>0的HSOC1上各運動副位置

由HSOC1中的分支鏈{-R11-R12-R13- R14-R35-R15-}，可依次求得點R11、R12、R13、R14、R35、R15的坐標，再由矢量方程lOP=lOR15-lPR15求出P點的坐標為

(7)

同理，由HSOC1的另一條分支鏈{-R31-R32- R33-R34-R35-R15-}，可依次求得點R31、R32、R33、R34、R35、R15的坐標，再由矢量方程lOP=lOR15-lPR15求出P點的坐標為

(8)

由式(7)、(8)可得

h12sinα2-h32sinβ2=t1

(9)

-h34sinβ3=t2+h14sinα3

(10)

-h34cosβ3=t3+h14cosα3

(11)

其中

t1=-h11sinα1-h13+h31sinβ1+h33

t2=-a-h31cosβ1-h32cosβ2
t3=a+h11cosα1+h12cosα2

從式(10)、(11)中消去β3，有

A1sinα3+B1cosα3+C1=0

令

(12)

解得

(13)

其中A1=2t2h14B1=2t3h14

因此，α3也是虛擬變量α2的函數(shù)。

3.1.4求解Δ2=0的SOC2上各運動副位置

由支鏈Ⅱ，得S21、S22的坐標分別為(0,-a+h21cosδ1,h21sinδ1)、(a+h11cosα1+h12cosα2+h14cosα3+2msinγ,h14sinα3-2mcosγ,h11sinα1+h12sinα2+h13+h15)。于是，由桿長約束條件lS21S22=h22，整理并化簡有

A2sinγ+B2cosγ+C2=0

令

(14)

解得

(15)

其中A2=4m(a+h11cosα1+h12cosα2+h14cosα3)

B2=-4m(h14sinα3+a-h21cosδ1)
C2=(h14sinα3+a-h21cosδ1)2+4m2+(a+
h11cosα1+h12cosα2+h14cosα3)2+

3.1.5建立Δ3<0的SOC3上的目標函數(shù)

由支鏈Ⅲ，得S41、S42的坐標分別為(-a+h41cosθ1,0,h41sinθ1)、(a+h11cosα1+h12cosα2+h14cosα3-2mcosγ,h14sinα3-2msinγ,h11sinα1+h12sinα2+h13+h15)。同樣，由桿長約束條件S41S42=h42，整理并化簡得

(16)

為方便理解，上述計算過程如圖7所示。

圖7 降耦機構(gòu)位置正解的流程Fig.7 Flow chart of forward position of coupling-reducing PM

3.2 位置反解分析

該機構(gòu)位置反解可描述為：已知動平臺1的位置P(x,y,z)及轉(zhuǎn)角γ，求輸入轉(zhuǎn)角α1、β1、δ1、θ1。

3.2.1求主動副R11的輸入角α1

由式(7)可知

則

(17)

由式(7)中的x、z坐標，可得

-h12cosα2=P0+h11cosα1

(18)

-h12sinα2=P1+h11sinα1

(19)

從式(18)、(19)中消去α2，有

P2sinα1+P3cosα1+P4=0

其中

令

(20)

解得

(21)

這樣，由式(20)、(21)可直接求出輸入角α1。

3.2.2求主動副R31的輸入角β1

由式(8)可知

即

(22)

由式(8)中的y、z坐標，可得

h32cosβ2=P5-h31cosβ1

(23)

h32sinβ2=P6-h31sinβ1

(24)

從式(23)、(24)中消去β2，有

P7sinβ1+P8cosβ1+P9=0

令

(25)

解得

(26)

這樣，由式(25)、(26)，可直接求出輸入角β1。

3.2.3求主動副R21的輸入角δ1

由桿長約束條件lS21S22=h22，整理并化簡可得

Q1sinδ1+Q2cosδ1+Q3=0

(27)

其中

Q1=-2zh21

令

(28)

解得

(29)

根據(jù)式(28)、(29)，可直接求出輸入角δ1。

3.2.4求主動副R41的輸入角θ1

由桿長約束條件lS41S42=h42，并整理可得

Q4sinθ1+Q5cosθ1+Q6=0

(30)

其中

Q4=-2zh41

令

(31)

解得

(32)

因此，根據(jù)式(31)、(32)，可直接求出輸入角θ1。

由上可知，該機構(gòu)存在24=16組反解。

3.3 位置正反解實例驗算

3.3.1正解算例

設(shè)該并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為(單位:cm)：h11=20;h12=30;h13=5;h14=10;h15=5;h21=20;h22=40;h41=20;h42=40;h31=20;h32=30;h33=5;h34=10;a=30;m=10。

設(shè)4個主動輸入角為：α1=116.927 6°;β1=86.151 4°;δ1=99.326 8°;θ1=89.844 6°。

表1 機構(gòu)位姿正解數(shù)值Tab.1 Numerical forward solutions of PM

3.3.2逆解算例

將表1中正解第2組數(shù)據(jù)結(jié)果，代入式(20)、(21)、(25)、(26)、(28)、(29)、(31)、(32)，可得16組實數(shù)反解，其中，一組反解為:α′1=116.926 4°;β′1=86.156 4°;δ′1=99.326 4°;θ′1=90.005 1°。

可見，與給定的4個輸入角一致，從而驗證了其正反解的正確性。

4 降耦機構(gòu)的工作空間和轉(zhuǎn)動能力分析

4.1 工作空間分析

工作空間是衡量并聯(lián)機器人性能的一個重要指標，本文采用極限搜索法對該3T1R降耦機構(gòu)的工作空間進行分析，即先設(shè)定該工作空間的搜索范圍，基于導(dǎo)出的運動學逆解，查找該工作空間內(nèi)所有滿足桿長約束、運動副轉(zhuǎn)角約束、連桿干涉約束的點；若其中的任一值超出了其允許值，則對應(yīng)的點在工作空間外，表示機構(gòu)此時的位姿達不到；反之，該點位于工作空間的邊界。這些點所構(gòu)成的三維立體圖，即為該機構(gòu)能夠達到的工作空間。

機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，已在3.3節(jié)中給出。為了找到空間中滿足要求的點，先確定空間三維搜索范圍：0≤z≤50，-π≤θ≤π, 0≤ρ≤50(θ、ρ分別為柱坐標系中搜索角度和搜索半徑)；約束條件：-π≤α1(β1,δ1,θ1)≤π；于是，通過Matlab軟件編程，得到該并聯(lián)機構(gòu)工作空間的三維立體圖及各截面圖，分別如圖8、圖9所示。

圖8 降耦機構(gòu)的三維工作空間Fig.8 Three-dimensional workspace of coupling-reducing PM

圖9 工作空間的X-Y截面圖Fig.9 X-Y cross-sectional views of workspace

從圖9可看出：①該并聯(lián)機構(gòu)的工作空間連續(xù)，且對稱于靜平臺0的對角線SS。②隨著Z的增加，機構(gòu)工作空間X-Y截面圖形的面積逐漸減小，但圖形更加規(guī)則。

4.2 轉(zhuǎn)動能力分析

動平臺轉(zhuǎn)動能力即為末端執(zhí)行器在工作區(qū)域內(nèi)的轉(zhuǎn)角范圍，是衡量并聯(lián)機構(gòu)輸出轉(zhuǎn)動靈活性能的又一個重要指標。這里同樣采用極限邊界搜索法，基于導(dǎo)出的位置反解公式，通過固定高度Z處的X-Y截面來分析該機構(gòu)動平臺的轉(zhuǎn)動能力，即通過改變搜索半徑ρ以及搜索角度θ，分別計算動平臺在此X-Y截面內(nèi)轉(zhuǎn)角的最大值(γmax)和最小值(γmin)。

現(xiàn)取高度Z=40 cm,分別計算該機構(gòu)動平臺在其X-Y截面上各點的轉(zhuǎn)角最大值(γmax)、最小值(γmin)的分布，如圖10所示。

圖10 該3T1R降耦機構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力Fig.10 Rotation ability of 3T1R coupling-reducing PM

由圖10可以看出，該并聯(lián)機構(gòu)的轉(zhuǎn)角最大值的范圍γmax∈[0°,160°]，轉(zhuǎn)角最小值的范圍γmin∈[-140°,0°]。

5 3T1R降耦機構(gòu)的奇異位形分析

3.2節(jié)已導(dǎo)出該機構(gòu)的位置反解公式，對此直接求導(dǎo)，可獲得機構(gòu)動平臺末端執(zhí)行器的輸出速度關(guān)于主動關(guān)節(jié)輸入角速度的雅可比矩陣，當雅可比矩陣奇異時，并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形出現(xiàn)。

5.1 雅可比矩陣求解

由混合支鏈Ⅰ中的左、右分支鏈，可求出點R14、R34的坐標分別為(0,a+h11cosα1+h12cosα2,h11sinα1+h12sinα2+h13)；(b+h31cosβ1+h32cosβ2,0,h31sinβ1+h32sinβ2+h33)。

①由桿長條件lR14R35=h14，可得

(33)

其中

② 由桿長條件lR34R35=h34，可得

(34)

(2)由支鏈Ⅱ，已求得S21、S22坐標(3.1.4節(jié))

由桿長條件lS21S22=h22可得

(35)

其中

(3)由支鏈Ⅲ，已求得S41、S42坐標(3.1.5節(jié))

由桿長約束lS41S42=h42可得

(36)

其中

Jpv=Jqω

(37)

其中

5.2 奇異位形分析

當雅可比矩陣行列式值為零時，機構(gòu)將出現(xiàn)奇異位形；即式(37)中，當Jp和Jq中任何1個或2個矩陣行列式為零，機構(gòu)均會出現(xiàn)奇異位形，即有：逆向運動學奇異、正向運動學奇異及組合奇異3類。

(1)逆向運動學奇異

即det(Jq)=0，可得Jq矩陣行列式解的集合D為

D=D1∪D2∪D3∪D4

其中

D1={M2sinα1-M3cosα1=0}

(38)

D2={M4sinβ1-M6cosβ1=0}

(39)

D3={N2sinδ1-N3cosδ1=0}

(40)

D4={N4sinθ1-N6cosθ1=0}

(41)

對該機構(gòu)而言，滿足式(38)～(41)中的任意一個公式即發(fā)生該類奇異。這類奇異一般是指機構(gòu)處于工作空間邊界或者位置反解數(shù)目發(fā)生變化時的位形。

當式(38)或(39)成立時，桿R11R12與R12R13或桿R31R32與R32R33被拉直或重疊共線；桿R11R12與R12R13拉直共線的情形如圖11a所示。

當式(40)或(41)成立時，桿R21S21與S21S22或桿R41S41與S41S42被拉直或重疊共線；桿R21S21與S21S22拉直共線的情形如圖11b所示。

圖11 3T1R并聯(lián)機構(gòu)的逆向運動學奇異位形Fig.11 Inverse kinematics singularity of 3T1R PM

這樣，通過控制驅(qū)動副轉(zhuǎn)角，可使機構(gòu)的工作位置盡量遠離奇異位形點。

(2)正向運動學奇異

即det(Jp)=0，從數(shù)學上求解該方程，并找出所有的正向奇異位形點較為困難，但可用解析幾何法能較為直觀地找出奇異位形點。

具體為，將矩陣Jp看作4個行向量，如式(42)所示，可發(fā)現(xiàn)矩陣Jp各行向量，分別對應(yīng)從動R14R35、R34R35、S21S22、S41S42在定坐標系中的空間矢量。當發(fā)生該類奇異位形時，盡管驅(qū)動桿被鎖定，機構(gòu)的動平臺也將具有一定自由度，此時，機構(gòu)將失去剛度，無法承受任何承載。

(42)

由矢量的幾何分析可知，當e1、e2兩矢量平行，及e3、e4兩矢量平行并與動平臺1共面時，該機構(gòu)出現(xiàn)正向奇異位形，此時，從動桿R14R35與R34R35平行；從動桿S21S22與S41S42平行，并與動平臺1共面。

這種奇異位形可通過控制驅(qū)動副轉(zhuǎn)角，來避免發(fā)生。

(3)組合奇異

即det(Jp)=0且det(Jq)=0。這種奇異位形只有當上述2種奇異同時發(fā)生時才會產(chǎn)生。此時，桿R11R12與R12R13被拉直共線，從動桿R14R35與R34R35平行，從動桿S21S22與S41S42平行。當機構(gòu)處于該奇異位形時，機構(gòu)將失去自由度，從而失去原有的運動特性。

6 結(jié)論

(1)運用基于POC和SOC的并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，通過并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)降耦設(shè)計，可降低并聯(lián)機構(gòu)的耦合度，可設(shè)計基本功能(POC和DOF)不變的低耦合度并聯(lián)機構(gòu),從而使其位置正解求解大大簡化。

(2)3T1R降耦機構(gòu)，動平臺結(jié)構(gòu)更簡單，還具有較好的對稱性；采用基于序單開鏈法的位置正解求解原理，僅需建立一個含一個虛擬變量的位置約束方程，即可采用一維搜索法求得其全部正解數(shù)值解。

(3)基于位置反解，分別得到了3T1R降耦機構(gòu)的工作空間和轉(zhuǎn)動能力，表明該機構(gòu)工作空間規(guī)則連續(xù)，轉(zhuǎn)動能力大；同時還得到了該機構(gòu)發(fā)生奇異位形的條件。

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StructureCoupling-reducingDesignandKinematicsAnalysisof3T1RParallelMechanism

SHEN Huiping ZHANG Zhen YANG Tingli SHAO Guowei

(ResearchCenterforAdvancedMechanismTheory,UniversityofChangzhou,Changzhou213016,Chian)

There is a wide range of industrial applications for the 4-DOF parallel mechanism which can achieve SCARA type output motion (i.e., three translations and one rotation).However, due to the complex topological structures, the research and development of its new model are still relatively few.Firstly, according to the parallel mechanism design theory and method based on the orientation characteristic (POC), a SCARA type parallel mechanism whose structure was simple was proposed.Because the coupling degree was 2, positive solution of position and dynamics calculation of the parallel mechanism were very complex.So the new model after structure coupling-reducing (k=1) was given, its positive solutions can be easily solved by one-dimensional search method.Then the three main topological characteristics of POC set, degree of freedom and the coupling degree were respectively analyzed.The kinematics analysis of the new model whose coupling degree was one after structure coupling-reducing was given, and the solution algorithm for the forward position of this parallel mechanism was established.This method can obtain all the numerical solutions of the forward position by using one-dimensional searching method, and can verify the correctness of the forward position by the derived calculation formula of the inverse position.Finally, based on the inverse position of the mechanism, the working space of this parallel mechanism was obtained and the singularity of the mechanism was discussed, which provided a theoretical foundation for the prototype design and application of this mechanism.

parallel mechanism; orientation characteristic; coupling degree; structure coupling-reducing; kinematics analysis; one-dimensional searching method

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.10.049

TH112

A

1000-1298(2017)10-0380-10

2017-01-17

2017-02-18

國家自然科學基金項目(51475050、51375062)和江蘇省重點研發(fā)計劃項目(BE2015043)

沈惠平(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事機構(gòu)學和并聯(lián)機構(gòu)研究，E-mail：shp65@126.com