呈現(xiàn)出題脈絡(luò)破解思維難題

駱金　何娜

摘 要：為減輕學(xué)生的解題負(fù)擔(dān)，教師可以從研究題目的編制規(guī)律入手，揭示解題的基本思想和方法，并且讓學(xué)生共同參與編題與解題的全過(guò)程，有助于學(xué)生打開(kāi)思維的脈絡(luò)，體味主動(dòng)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，變“要我解”為“我要解”.

關(guān)鍵詞：脈絡(luò)；思維；生題

在各地的數(shù)學(xué)中考試卷中，函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合題頻繁出現(xiàn).這類題是考查學(xué)生靈活運(yùn)用初中階段所學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決問(wèn)題的一個(gè)重要手段和方法.但對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)難度頗高，它不僅要求學(xué)生溝通題目中自變量、函數(shù)在幾何圖形中所表示的量之間的關(guān)系，而且要求學(xué)生會(huì)運(yùn)用“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”等數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題.在以往的教學(xué)中教師往往要求學(xué)生解大量此類題目，以期達(dá)到理解掌握的目的.但學(xué)生解完后還是一臉疑惑，不知道來(lái)龍去脈.能否從破解題目編制的奧秘入手，讓學(xué)生通曉并掌握解決此類問(wèn)題的基本思想和方法？為此，本文將重點(diǎn)探索此類題目的編制脈絡(luò)，并從三個(gè)方向，即“順向”“逆向”和“縱向”展開(kāi)研究，繪制出題目“生長(zhǎng)”的線路圖（如圖1所示）.

一、順向“生題”

順向“生題”，就是已知函數(shù)的解析式，求內(nèi)接幾何圖形與函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，繼而可求內(nèi)接圖形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積等.

因?yàn)楹瘮?shù)的解析式已知，也就是函數(shù)圖象

上一點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之間的一個(gè)等量關(guān)系已知，所以只要再另添一個(gè)橫縱坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，就可求得該點(diǎn)的坐標(biāo).而添加的這個(gè)關(guān)系可以直接用“數(shù)”（方程）的形式給出，也可以利用“形”（幾何圖形中隱含著線段之間的數(shù)量關(guān)系）間接獲取.以下舉例說(shuō)明.

如：已知函數(shù)[y=-33x+433]的圖象l，若要求圖象上一點(diǎn)A的坐標(biāo)，需要再增加什么條件？

此時(shí)增加最直接的條件是已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，但間接地只要已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的等量關(guān)系.而這個(gè)關(guān)系可以借助函數(shù)的內(nèi)接幾何圖形給出.所以點(diǎn)A是連接函數(shù)與其內(nèi)接幾何圖形的媒介.

如圖2，我們可以放入等邊三角形OAB，其中點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A在l上.此時(shí)若設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則其縱坐標(biāo)就為[3m]，因?yàn)辄c(diǎn)A在函數(shù)[y=-33x+433]的圖象上，所以[3m=-33m+433]，解得m=1，所以點(diǎn)[A （1，3 ）].繼而可求得△OAB的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積等.

（一）換圖

（二）換線

我們還可以改變函數(shù)的類型，將一次函數(shù)改換成反比例函數(shù)（圖4）和二次函數(shù)（圖5）等.

（三）增加個(gè)數(shù)

內(nèi)接圖形的個(gè)數(shù)也可以從一個(gè)變成多個(gè).如圖6、圖7.

（四）圖形運(yùn)動(dòng)

我們可以對(duì)給定的幾何圖形（或其一部分）施行平移、翻折和旋轉(zhuǎn)的位置變化，然后分析新的圖形與函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

如對(duì)于前述的一次函數(shù)和內(nèi)接等邊三角形OAB，我們可以作如下的運(yùn)動(dòng)變換：

①如圖8，將△OAB沿y軸平移到△[O'A'B']，使點(diǎn)[B']在直線[l]上，問(wèn)平移的距離是多少？

此時(shí)因?yàn)閇B'（2，233）]，所以需平移[233]個(gè)單位.

②如圖2，求△OAB關(guān)于直線[l]的對(duì)稱三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo).

解決此類問(wèn)題只需將圖形變換帶來(lái)的“不變”特征定量地反映到點(diǎn)的坐標(biāo)上.

二、逆向“生題”

逆向“生題”，就是已知內(nèi)接圖形的邊長(zhǎng)或半徑等，求函數(shù)解析式.

求函數(shù)的解析式也就是求解析式中的待定系數(shù)，而確定系數(shù)的條件可以直接給出圖象上點(diǎn)的坐標(biāo).但為了增加思維的含金量，我們可以嵌入內(nèi)接幾何圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合間接地求出點(diǎn)的坐標(biāo).以下舉例說(shuō)明.

如圖2，已知函數(shù)[y=-33x+m]的圖象[l]，以及邊長(zhǎng)為2的等邊三角形OAB，其中點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A在l上，求m的值.

此時(shí)可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為[ （1，3 ）]，代入函數(shù)解析式得m=[433]，這樣就變成了函數(shù)關(guān)系式已知的問(wèn)題，又可以進(jìn)行上述的“順向”生題的探索.

三、縱向“生題”

縱向“生題”，就是利用函數(shù)圖象或內(nèi)接幾何圖形中的點(diǎn)，構(gòu)造出新的圖形或圖象.

我們可以選取圖象或內(nèi)接幾何圖形中的某些點(diǎn)來(lái)構(gòu)造新的幾何圖形，如三角形、四邊形、圓等，并可進(jìn)一步求這些新幾何圖形的某些量或新舊幾何圖形之間的關(guān)系.又可以探索新圖形的存在性問(wèn)題等.還可以利用它們來(lái)構(gòu)造新的函數(shù)，如一次、二次、反比例函數(shù)等，從而創(chuàng)新生成千姿百態(tài)的函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題.以下舉例說(shuō)明.

如對(duì)于前面圖2中所述的一次函數(shù)和內(nèi)接等邊三角形OAB，我們可以“取點(diǎn)”繼續(xù)進(jìn)行編題：

（一）構(gòu)新圖

③如圖2，若以A，O，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；A，O，E三點(diǎn)坐標(biāo)可求，此時(shí)點(diǎn)Q的位置有三種可能，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)為：[（-3，3），（5，3），（3，-3）].

④如圖2，是否存在以BE為邊的等腰三角形BEM，使得點(diǎn)M在直線[l]上？若存在，試求點(diǎn)M的坐標(biāo).

BE可以作為腰，也可以是底，因而點(diǎn)M的位置有四種可能.可求得點(diǎn)M坐標(biāo)為：[（3，33），（1，3），（4-3，1），（4+3，-1）].

⑤如圖2，在直線EF上有一動(dòng)點(diǎn)M，在坐標(biāo)系內(nèi)有另外一點(diǎn)N，若以點(diǎn)O，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形，則滿足這樣的點(diǎn)N的個(gè)數(shù)為（ ）

A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)

因?yàn)榇藭r(shí)OF=FM或OM=FM，所以點(diǎn)N的位置有4種可能，選B.

⑥如圖9，過(guò)A，B，E三點(diǎn)畫(huà)圓，將此圓如何平移才能與x軸和y軸同時(shí)相切；有四種移法：向上平移[2-3]個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位；或向下平移[2+3]個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位；或向上平移[2-3]個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位；或向下平移[2+3]個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位.

⑦如圖10，過(guò)A、O、E三點(diǎn)畫(huà)拋物線，將△OAB沿直線[l]的方向平移到△[O'A'B']，使得點(diǎn)[B']在拋物線上，問(wèn)平移的距離是多少？

平移距離為[AA'=BB'=3+513]，

或平移距離[AA''=OO''=51-33].

（二）求面積

⑧在直線[l]上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積是△OAB面積的一半？

設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，則[h=123]，可求得與AB距離為h的兩條直線解析式分別為：[y=-3x+33]和[y=-3x+3]，將它們分別與[l]聯(lián)立解方程組得[P1（52，32）]，[P2（-12，332）].

⑨若點(diǎn)P是⑦中求出的拋物線AE段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），設(shè)四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值.

綜上，從研究題目的編制規(guī)律入手，讓學(xué)生參與教學(xué)的全過(guò)程，就能從根本上減輕學(xué)生的解題負(fù)擔(dān).并且在教學(xué)中我們完全可以讓學(xué)生沿著這樣的脈絡(luò)自己編題，自己解題，從而體味主動(dòng)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，變“要我解”為“我要解”.endprint