基于服裝熱舒適性的紡織材料孔隙率最優(yōu)設(shè)計

，

(1.杭州醫(yī)學(xué)院通識教學(xué)部，杭州 310053；2.浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

基于服裝熱舒適性的紡織材料孔隙率最優(yōu)設(shè)計

葛美寶1，徐定華2

(1.杭州醫(yī)學(xué)院通識教學(xué)部，杭州 310053；2.浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

根據(jù)服裝熱舒適性和熱傳遞穩(wěn)態(tài)模型，提出了紡織材料孔隙率決定反問題。把最優(yōu)孔隙率的求解轉(zhuǎn)化為一個穩(wěn)定泛函的求極值問題，通過不動點定理證明了織物熱傳遞模型解的存在唯一性。將非線性常微分方程的定解問題離散后得到非線性代數(shù)方程組，通過擬牛頓法求解非線性代數(shù)方程組；通過斐波那契搜索算法求解函數(shù)極小化問題，從而得到孔隙率的最優(yōu)結(jié)果。在數(shù)據(jù)有擾動的情況下，對于不同環(huán)境、不同織物類型和不同織物厚度下的人體著裝進行數(shù)值模擬，數(shù)值結(jié)果表明孔隙率反演算法合理、可行。

反問題；孔隙率決定；擬牛頓法；數(shù)值模擬

0 引 言

基于熱傳遞特征的紡織材料設(shè)計反問題是以人體熱濕舒適性為目標(biāo)[1]，最優(yōu)決定紡織材料的結(jié)構(gòu)參數(shù)(如單層、多層、厚度和孔隙率)和其他物理參數(shù)(如熱傳導(dǎo)系數(shù)、水蒸氣擴散系數(shù))。這類問題在數(shù)學(xué)上屬于計算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，具有重要的應(yīng)用價值，本文關(guān)于紡織材料孔隙率設(shè)計問題就是其中一類反問題[2]。通過反問題的理論建模與數(shù)值結(jié)果為改性材料與復(fù)合材料的研發(fā)提供理論依據(jù)，同時預(yù)測和指導(dǎo)功能性紡織材料設(shè)計的實驗。

文獻表明織物的孔隙率或纖維體積都是影響多孔織物保暖性能的重要因素[3-5]。盡管多孔織物的其他結(jié)構(gòu)參數(shù)如織物的孔徑、纖維的半徑和熱傳導(dǎo)系數(shù)等，會影響織物的熱傳遞性能，但是織物的孔隙率分布是影響服裝保暖性能的最重要因素[6-7]。Du等[6]提出的織物保暖性能纖維材料的孔隙率最優(yōu)設(shè)計，利用有限體積法和模擬退火算法最優(yōu)決定均勻纖維材料的孔隙率分布，實驗結(jié)果表明，孔隙率與纖維輻射率和纖維的孔半徑具有顯著關(guān)系，而與邊界的溫度變化影響不大。在此基礎(chǔ)上，Du等[7]進一步研究了基于非均勻織物保暖性能的孔隙率最優(yōu)決定。

近年來，紡織材料數(shù)學(xué)建模研究人員對紡織材料中若干類穩(wěn)態(tài)和動態(tài)、常微分和偏微分方程的熱濕傳遞模型進行了系統(tǒng)研究，提出了以人體熱濕舒適性為目標(biāo)對紡織材料熱濕傳遞的厚度和熱傳導(dǎo)系數(shù)等設(shè)計的反問題，采用多種最優(yōu)化方法進行了數(shù)值求解，如Hooke-Jeeves模式搜索算法[7]、黃金分割法(0.618法)[8]、直接搜索算法[9]、粒子群算法[10]和遺傳算法[11]，數(shù)值結(jié)果驗證了紡織材料設(shè)計反問題提法的合理性和求解算法的有效性[2,8,12-16]。

由于不同的紡織材料的微觀結(jié)構(gòu)，特別是孔隙率對織物的保暖性能影響比較大，為了設(shè)計保暖的紡織材料，本文基于服裝熱舒適性的要求，研究最優(yōu)決定一類穩(wěn)態(tài)耦合熱傳遞模型的孔隙率分布，該模型與本課題之前研究的模型[8,10]不同。本文通過不動點定理證明了穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)定解問題解的存在性和唯一性；對非線性常微分方程的定解問題進行離散得到非線性代數(shù)方程組，用擬牛頓法求解非線性代數(shù)方程組，用斐波那契搜索算法求解函數(shù)極小化問題，數(shù)值模擬結(jié)果說明穩(wěn)定泛函存在最小值，并得到孔隙率的最優(yōu)結(jié)果。

1 穩(wěn)態(tài)耦合熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)模型

在單層人體-服裝-環(huán)境的著裝系統(tǒng)(見圖1)中，本文考慮關(guān)于一類紡織材料的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)模型孔隙率的最優(yōu)決定問題。文獻[6]從織物保暖性能角度研究了織物的最優(yōu)孔隙率分布，不同于文獻[6]，本文從服裝熱舒適性的角度，提出織物孔隙率設(shè)計的反問題，并通過構(gòu)造穩(wěn)定的目標(biāo)泛函和設(shè)計求解算法，最優(yōu)決定織物的孔隙率分布。

圖1 人體-服裝-環(huán)境著裝系統(tǒng)示意圖

對單層人體-服裝-環(huán)境的著裝系統(tǒng)給如下假設(shè)：

a) 在織物內(nèi)部材料各向同性；

b) 忽略織物熱流輻射中的散射和對流熱傳遞；

c) 織物材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)看成常數(shù)。

考慮紡織材料中溫度T(x)，熱輻射FL(x)，F(xiàn)R(x)滿足耦合穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程組[6]

(1)

與邊界條件

(2)

耦合常微分方程組的初邊值問題(1)-(2)稱為正問題(direct problem，DP)。

同時考慮常微分方程組的定解問題：

(3)

給定溫度邊界條件

(4)

和左右輻射邊界條件

(5)

其中：Rt為織物外邊界熱傳導(dǎo)阻力，K·m2/W，Ht為有效熱傳導(dǎo)系數(shù)，W·m2/K。根據(jù)定解問題(3)-(5)計算織物的左邊界溫度T(x)|

x=0=T(0)，稱為反問題(inverse problem，IP)。

2 孔隙率決定反問題的數(shù)學(xué)歸結(jié)

根據(jù)文獻[1]人體在微氣候區(qū)的舒適性指標(biāo)，可用三個指標(biāo)環(huán)境溫度、環(huán)境濕度和氣流速度的區(qū)間表示為：溫度為[31 ℃,33 ℃]，相對濕度為[40%,60%]，氣流速度為[0.10 m/s,0.40 m/s]。由于本文只考慮微氣候區(qū)熱舒適性，假設(shè)相對濕度和氣流速度兩個指標(biāo)已在最佳舒適性區(qū)間。

求解定解問題(3-5)得到了紡織材料在微氣候區(qū)的溫度T(0)，T(0)通常不屬于溫度的舒適區(qū)間[31 ℃,33 ℃]。為此引進穩(wěn)定泛函：

(6)

若ε0滿足

(7)

則稱ε0為IPTPD的數(shù)值解。

3 正問題(DP)的解耦和解的存在唯一性證明

3.1 正問題(DP)的解耦

對DP進行解耦，消去左右熱輻射FR(x),FH(x)，同時結(jié)合邊界條件(2)，得到解耦后的常微分方程初邊值問題：

(8)

其中：

3.2 正問題(DP)解的存在唯一性

定義算子U：C2[0,H]→C[0,H],

U(T(x))=T(x)+

(9)

其中r∈R為給定的常數(shù)。

為了證明存在唯一性結(jié)論，先給出一些合理的假設(shè)(s1)—(s3)：

(s1)TH≤T(x)≤T0,0≤x≤H.

(s2)T(x)∈C2[0,H],存在一個常數(shù)M>0，使得

(s3) 存在常數(shù)N1,N2,N3,使得

|β(x)|≤N1,|k(x)|≤N2,|k′(x)|≤N3,0≤x≤H.

引理1對任意的T1,T2∈C2[0,H]，有

(10)

證明引理1顯然成立。

引理2對任意的T1,T2∈C2[0,H]，有

(11)

證明對任意的T1,T2∈C2[0,H]，有

|H(T1)-H(T2)|≤

上述兩個積分可通過引理1計算得到，故引理2成立。

定理1若假設(shè)(s1-s3)成立，當(dāng)實數(shù)r滿足

(12)

則存在唯一的解T(x)∈C2[0,H],使得U(T(x))=T(x).

證對任意的T1,T2∈C2[0,H]，有

宋娟很快說服了父母，在父母的幫助下，她用很低的價格收購了那些沒人愿意要的柚子，然后請鄉(xiāng)親們加工，當(dāng)大家聽說宋娟是要把柚子皮做成菜肴原材料后，紛紛善意地勸阻她說：“你考慮仔細(xì)了沒有？又要出錢收購柚子，又要給我們開工資，萬一賣不出去，你的損失就大了?！?/p>

|r‖H(T1)-H(T2)|.

由引理1和2，得到

m2|·‖T1-T2‖C[0,H]+

當(dāng)實數(shù)r滿足(12)時，有

|U(T1)-U(T2)|≤‖T1-T2‖C[0,H]+

‖T1-T2‖C2[0,H].

4 反問題(IP)的算法設(shè)計思想和求解步驟

IP可轉(zhuǎn)化為非線性常微分方程的邊值問題：

(13)

用有限差分和數(shù)值積分離散(13)，用擬牛頓迭代法對離散后的非線性方程組進行求解[17]，求解步驟如下。

Step 1：將厚度區(qū)間[0,H]進行n+1等分，步長為h=H/(n+1)。

Step 2：數(shù)值微分與積分。令

T′(x)|

x=xi≈

k′(x)|

用矩形數(shù)值積分公式離散積分，對c2中的積分項進行離散，得到

對(9)中方程右端的部分項進行離散，得

對(13)中的方程離散，

(14)

邊界條件離散為

Step 3：通過離散把定解問題(13)轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于溫度T(x)非線性方程組。

對中的方程離散后進行變形，令

(15)

再令

Y=[T0,T1,…,Tn-1]T∈Rn，

從而(13)轉(zhuǎn)化為

F(Y)=0

(16)

Step 4：用擬牛頓迭代法求解非線性方程組(16)，得到紡織材料的溫度分布T(x)，可得T(x)|

x=0=T(0)的數(shù)值解。

5 孔隙率決定反問題(IPTPD)的斐波那契算法

5.1 斐波那契算法

5.2 數(shù)值模擬

情形1：當(dāng)環(huán)境溫度Te∈[0 ℃,15 ℃]。

情形2：當(dāng)環(huán)境溫度Te∈[-15 ℃,0 ℃]。

圖2 兩種情形下厚度H1的泛函曲線

圖3 兩種情形下厚度H2的泛函圖形

圖4 兩種情形下厚度H3的泛函圖形

表1 羊毛平均孔隙率的近似值

表2 滌綸平均孔隙率的近似值

6 結(jié) 論

基于人體服裝的熱舒適性，本文提出了一類穩(wěn)態(tài)紡織材料熱傳遞模型的孔隙率最優(yōu)設(shè)計問題，根據(jù)數(shù)值算例的模擬結(jié)果，說明孔隙率設(shè)計反問題的提法合理、可行，進一步為改性材料設(shè)計提供理論支持與數(shù)值結(jié)果參考。下一步主要研究多層織物材料和孔隙率作為函數(shù)的反演問題，以及數(shù)學(xué)建模的算法優(yōu)化和紡織材料設(shè)計軟件的開發(fā)。

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OptimalDeterminationofPorosityforTextileMaterialsBasedonThermalComfort

GEMeibao1，XUDinghua2

(1.Department of General Education, Hangzhou Medical College, Hangzhou 310053, China;2.School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

According to the thermal comfort and heat transfer steady-state modal of clothing, an inverse problem of textile material porosity determination(IPTPD) was put forward. The problem of solving the optimal porosity was transformed into a problem of solving extreme value of a stable extensive function, and the existence and uniqueness of solution to the heat transfer model of fabric were proved via the fixed point theorem. A set of nonlinear algebraic equations were obtained by discretizing the problem for determining solution to nonlinear ordinary differential equations, and the equations were solved with quasi-newton method and minimized with the Fibonacci search algorithm, to obtain the optimal porosity. Numerical simulation of clothing of human body was conducted under different environments and with fabric of different types and thicknesses, which indicates that the inverse algorithm of porosity is reasonable and feasible.

inverse problem; porosity determination; quasi-newton method; numerical simulation

10.3969/j.issn.1673-3851.2017.11.003

2017-04-27 網(wǎng)絡(luò)出版日期： 2017-10-10

國家自然科學(xué)基金項目(11471287)；浙江省教育廳科研項目(Y201534157)；浙江醫(yī)學(xué)高等專科學(xué)校項目(2014XZA001)

葛美寶(1981-)，男，江西南昌人，碩士，主要從事數(shù)學(xué)物理方程反問題和紡織材料設(shè)計的數(shù)理分析方面的研究。

TS 101.1

A

1673- 3851 (2017) 06- 0765- 06

(責(zé)任編輯：唐志榮)