數(shù)學(xué)在密碼學(xué)中的應(yīng)用淺析

黃耀

摘要： 密碼學(xué)作為一門(mén)交叉學(xué)科，涉及學(xué)科廣泛，其中應(yīng)用數(shù)學(xué)占很大比例，其地位在密碼學(xué)中也越來(lái)越重要，本文簡(jiǎn)單介紹密碼學(xué)中涉及數(shù)學(xué)理論和方法計(jì)算的各種算法基本理論及應(yīng)用，并將密碼學(xué)的發(fā)展史分為現(xiàn)代密碼學(xué)和傳統(tǒng)密碼學(xué)，列舉二者具有代表性的明文加密方法，并分別對(duì)其中一種方法進(jìn)行加密思想的概括和闡述。

關(guān)鍵詞： 密碼學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué) 應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：TN918 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-5349（2017）22-0196-01

隨著信息時(shí)代的高速發(fā)展，信息的安全越來(lái)越重要，小到個(gè)人信息，大到國(guó)家安全。信息安全主要是將計(jì)算機(jī)系統(tǒng)和信息交流網(wǎng)絡(luò)中的各種信息進(jìn)行數(shù)學(xué)化的計(jì)算和處理，保護(hù)信息安全，而密碼學(xué)在其中正是處于完成這些功能的技術(shù)核心。在初期的學(xué)習(xí)當(dāng)中，高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論等都是必須要學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)學(xué)科，但是涉及密碼學(xué)的實(shí)際操作，數(shù)論和近世代數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)仍然會(huì)有不同程度的涉及和應(yīng)用，本文在這一基礎(chǔ)上，討論密碼學(xué)中一些基本理論的應(yīng)用。

一、密碼學(xué)的含義及特點(diǎn)

密碼學(xué)是由于保密通信所需從而發(fā)展起來(lái)的一門(mén)科學(xué)，其保密通訊的接受過(guò)程如下：初始發(fā)送者將原始信息（明文）進(jìn)行一定方式轉(zhuǎn)換（加密）然后發(fā)送，接受者收到加密信息，進(jìn)行還原解讀（脫密），完成保密傳輸信息的所有過(guò)程，但是由于傳輸過(guò)程是經(jīng)由有線電或無(wú)線電進(jìn)行信息傳輸，易被竊取者在信息傳輸過(guò)程中竊取加密信息，在算法未知的情況下恢復(fù)信息原文，稱(chēng)為破譯。保密信息破譯的好壞程度取決于破譯者的技術(shù)及經(jīng)驗(yàn)和加密算法的好壞。

實(shí)際運(yùn)用的保密通信由兩個(gè)重要方面構(gòu)成：第一是已知明文，對(duì)原始信息進(jìn)行加密處理，達(dá)到安全傳輸性的效果；第二是對(duì)截獲的加密信息進(jìn)行信息破譯，獲取有用信息。二者分別稱(chēng)為密碼編碼學(xué)和密碼分析學(xué)，二者互逆，互相反映，特性又有所差別。

密碼體制在密碼發(fā)展史上是指加密算法和實(shí)現(xiàn)傳輸?shù)脑O(shè)備，主要有五種典型密碼體制，分別為：文學(xué)替換密碼體制、機(jī)械密碼體制、序列密碼體制、分組密碼體制、公開(kāi)密鑰密碼體制，其中密碼學(xué)研究目前較為活躍的是上世紀(jì)70年代中期出現(xiàn)的公開(kāi)密鑰密碼體制。

二、傳統(tǒng)密碼應(yīng)用

密碼體制在1949年香農(nóng)的《保密系統(tǒng)的通信理論》發(fā)表之前，密碼傳輸主要通過(guò)簡(jiǎn)單置換和代換字符實(shí)現(xiàn)，這樣簡(jiǎn)單的加密形式一般屬于傳統(tǒng)密碼的范疇。置換密碼通過(guò)改變明文排列順序達(dá)到加密效果，而代換密碼則涉及模運(yùn)算、模逆元、歐拉函數(shù)在仿射密碼當(dāng)中的基本理論運(yùn)用。

傳統(tǒng)密碼應(yīng)用以仿射密碼和Hill密碼為代表，本文由于篇幅所限，就以運(yùn)用線性代數(shù)思想對(duì)明文進(jìn)行加密處理的Hill密碼為例，簡(jiǎn)述其加密思想。

Hill 密碼，即希爾密碼，在1929年由數(shù)學(xué)家Lester Hill在雜志《American Mathematical Monthly》上發(fā)表文章首次提出，其基本的應(yīng)用思想是運(yùn)用線性代換將連續(xù)出現(xiàn)的n個(gè)明文字母替換為同等數(shù)目的密文字母，替換密鑰是變換矩陣，只需要對(duì)加密信息做一次同樣的逆變換即可。

三、現(xiàn)代密碼應(yīng)用

香農(nóng)在1949年發(fā)表的《保密系統(tǒng)的通信理論》上將密碼學(xué)的發(fā)展分為傳統(tǒng)密碼學(xué)與現(xiàn)代密碼學(xué)，這篇論文也標(biāo)志著現(xiàn)代密碼學(xué)的興起。香農(nóng)在這篇論文中首次將信息論引入密碼學(xué)的研究當(dāng)中，其中，概率統(tǒng)計(jì)和熵的概念對(duì)于信息源、密鑰源、 傳輸?shù)拿芪暮兔艽a系統(tǒng)的安全性作出數(shù)學(xué)描述和定量分析，進(jìn)而提出相關(guān)的密碼體制的應(yīng)用模型。他的論述成果為現(xiàn)代密碼學(xué)的發(fā)展及進(jìn)行信息破譯的密碼分析學(xué)奠定理論基礎(chǔ)，現(xiàn)代的對(duì)稱(chēng)密碼學(xué)以及公鑰密碼體制思想對(duì)于香農(nóng)的這一理論和數(shù)論均有不同程度的涉及。

現(xiàn)代密碼應(yīng)用的代表是以字節(jié)處理為主的AES算法、以歐拉函數(shù)為應(yīng)用基礎(chǔ)的RSA 公鑰算法以及運(yùn)用非確定性方案選擇隨機(jī)數(shù)進(jìn)行數(shù)字簽名并驗(yàn)證其有效性的ElGamal 簽名體制，本文以AES算法為例，簡(jiǎn)述現(xiàn)代密碼應(yīng)用的基本思想。

AES算法的處理單位是計(jì)算機(jī)單位字節(jié)，用128位輸入明文，然后輸入密鑰K將明文分為16字節(jié)，整體操作進(jìn)行十輪之后，第一輪到第九輪的輪函數(shù)一樣，包括字節(jié)代換、行位移、列混合和輪密鑰加四個(gè)操作，最后一輪迭代不執(zhí)行列混合。而且值得一提的是在字節(jié)代換中所運(yùn)用到的S盒置換是運(yùn)用近世代數(shù)的相關(guān)知識(shí)完成加密計(jì)算的。

四、結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)明確密碼學(xué)在不同發(fā)展階段的加密及運(yùn)作情況，然后主要介紹密碼學(xué)中數(shù)學(xué)方法及理論，包括數(shù)論、概率論的應(yīng)用理論。隨著現(xiàn)代密碼學(xué)的活躍發(fā)展，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作為信息加密工具與密碼學(xué)聯(lián)系越來(lái)越密切，密碼學(xué)實(shí)際操作的各個(gè)步驟都與數(shù)學(xué)理論聯(lián)系甚密，數(shù)學(xué)密碼已經(jīng)成為現(xiàn)代密碼學(xué)的主流學(xué)科。當(dāng)然，本文論述的數(shù)學(xué)理論與密碼學(xué)的應(yīng)用還只是二者關(guān)系皮毛，也希望看到有關(guān)專(zhuān)家對(duì)這一問(wèn)題作出更深層次的論述，以促進(jìn)應(yīng)用數(shù)學(xué)理論與密碼學(xué)發(fā)展之間更深層次的溝通與發(fā)展。

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責(zé)任編輯： 于 蕾