中心自同構(gòu)幾乎是內(nèi)自同構(gòu)的有限p-群

張博儒,郭秀云

中心自同構(gòu)幾乎是內(nèi)自同構(gòu)的有限p-群

張博儒,郭秀云

(上海大學(xué)理學(xué)院,上海200444)

有限p-群G的中心核K(G)是G的每一中心自同構(gòu)都不變的全體元素所構(gòu)成的子群.如果G是冪零類為2的p-群,首先給出了|Autc(G):Inn(G)|與|Z(G):K(G)|相等的充分必要條件，其次研究了|Autc(G):Inn(G)|與|Z(G):K(G)|相差一個(gè)p的倍數(shù)的條件.

中心自同構(gòu);中心核;內(nèi)自同構(gòu)

本工作中所討論的群都是有限群,且p恒表示素?cái)?shù).

群G的一個(gè)自同構(gòu)α稱為G的一個(gè)中心自同構(gòu).如果α與G的每一內(nèi)自同構(gòu)可交換或等價(jià),則對(duì)于G的任意元素x都有x?1xα∈Z(G).顯然,群G的所有中心自同構(gòu)構(gòu)成G的自同構(gòu)群Aut(G)的一個(gè)正規(guī)子群,記為Autc(G).因而一個(gè)自然的問題是:什么樣的群能滿足Autc(G)=Aut(G)?實(shí)際上,這個(gè)問題已經(jīng)被許多學(xué)者關(guān)注[1-4].進(jìn)一步,Curran等[5]研究了滿足條件Autc(G)=Inn(G)的p-群,并對(duì)于p-群G給出了Autc(G)=Inn(G)的充分必要條件.這里,p-群G的冪零類為2當(dāng)且僅當(dāng)Inn(G)≤Autc(G).本工作將在Inn(G)≤Autc(G)的前提下,研究指數(shù)|Autc(G):Inn(G)|和指數(shù)|Z(G):K(G)|的關(guān)系.實(shí)際上,對(duì)于p-群G,顯然Inn(G)≤Autc(G)當(dāng)且僅當(dāng)K(G)≤Z(G),這里

稱為群G的中心核.注意到G′≤K(G),證明如下.

設(shè)G是冪零類為2的非交換p-群.|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|當(dāng)且僅當(dāng)Z(G)是循環(huán)群.

進(jìn)一步地，考慮|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p的情形.

1 預(yù)備知識(shí)

如果一個(gè)非交換群G沒有非平凡的交換的直因子,則稱G為純非交換群.顯然,一個(gè)非交換p-群G的中心Z(G)循環(huán),那么G一定是一個(gè)純非交換p-群.用Hom(G,H)表示群G到交換群H的全體同態(tài)映射所成的群,用Cm表示階為m的循環(huán)群,r(G)為群G的秩.如果G 是一個(gè)p-群,則 ?i= 〈x ∈ G|xpi=1〉,

引理1[5]設(shè)G是冪零類為2的p-群.

(1)G′≤Z(G);

(2)exp(G′)=exp(G/Z(G));

(3)如果exp(G′)=pc，則存在交換群C 使得G/Z(G)～=Cpc×Cpc×C.

引理2 設(shè)G為純非交換p-群.|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|.

證明 根據(jù)文獻(xiàn)[6]可知,對(duì)于純非交換p-群G,|Autc(G)|=|Hom(G,Z(G))|,即對(duì)于任意的σ∈Autc(G)和任意的g∈G,都存在fσ(g)=g?1σ(g)使得fσ∈Hom(G,Z(G))與σHom(G/K(G),Z(G)),故|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|.

引理3[5]設(shè)Cn,Cm和Cd分別是階為n,m和d的循環(huán)群.如果d=gcd(m,n),則

引理4[7]設(shè)A,B和C為交換群.

(1)Hom(A×B,C)?Hom(A,C)×Hom(B,C);

(2)Hom(A,B×C)?Hom(A,B)×Hom(A,C).

引理5[5]設(shè)A和B為交換p-群且C,D分別為A和B的子群(商群),則Hom(C,D)同構(gòu)于Hom(A,B)的一個(gè)子群. 更進(jìn)一步地,令 pm= min{|A|/|C|,|B|/|D|},則

引理6[5]設(shè)G=A×N,其中A為交換p-群且A/=1,N 為純非交換p-群.如果Inn(G)≤ Autc(G),則 |Autc(G):Inn(G)|＞ p2.

引理7 設(shè)G是冪零類為2的純非交換p-群且G/Z(G),G′,K(G),Z(G)的秩分別為t,d,s,z,則

證明 引理7的(1),(2)可從文獻(xiàn)[5]得到.由于exp(G/Z(G))=exp(G′)≤exp(K(G)),又由 r(K(G))=s,r(G/Z(G))=t,得 |Hom(G/Z(G),K(G))|≥ |G/Z(G)|pr(s?1).(4)可由引理5得.(5),(6)可由(2),(3),(4)得.

引理8[5]設(shè)A,B分別為交換p-群和循環(huán)p-群.如果exp(A)≤exp(B),則Hom(A,B)?A.

引理 9[5]設(shè)G是冪零類為2的p-群.如果Z(G)循環(huán),則 |Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):G′|.

引理10 設(shè)A,B分別是階為pt和ps的循環(huán)群.

式中,

證明 為方便設(shè)A=〈a〉,B=〈b〉.如果t＞s,則存在A到B的同態(tài)映射進(jìn)而ker(f)= 〈aps〉,故 ker(Hom(A,B))≤ 〈aps〉. 又對(duì)于任意 σ ∈ Hom(A,B),顯然有 A/ker(σ)～=σ(A)≤ B,故 pt?s=|A|/|B|≤ |A|/|σ(A)|=|ker(σ)|. 又由于循環(huán)群 A 有唯一的 pt?s階子群 〈aps〉,故 〈aps〉≤ ker(σ). 進(jìn)而 〈aps〉≤ ker(Hom(A,B)),故 ker(Hom(A,B))= 〈aps〉. 如果t≤s,則存在A 到B 的同態(tài)映射易得ker(f)=1,故ker(Hom(A,B))=1.

引理11 如果A,B,C為交換群,則

(1)ker(Hom(A×B,C))≥ker(Hom(A,C))×ker(Hom(B,C));

(2)ker(Hom(A,B×C))=ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C)).

證明 (a)設(shè)g=(a,b)∈ker(Hom(A,C))×ker(Hom(B,C)).根據(jù)引理4中的(1),對(duì)于任意α ∈ Hom(A×B,C),都存在 α1∈ Hom(A,C),α2∈ Hom(B,C)使得(a,b)α=aα1bα2,故 gα=(a,b)α=aα1bα2=1.所以 (1)成立.

(b)設(shè)a∈ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C)).根據(jù)引理4中的(2),對(duì)于任意α∈Hom(A,B ×C),都存在 α1∈ Hom(A,B), α2∈ Hom(A,C),使得 aα=(aα1,aα2).因此aα=(aα1,aα2)=(1,1),從而 ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C))≤ ker(Hom(A,B ×C)).反之,對(duì)任意a∈ker(Hom(A,B×C)),根據(jù)引理4中的(2),對(duì)任意α1∈Hom(A,B),α2∈Hom(A,C),都存在 α ∈ Hom(A,B ×C)使得 (aα1,aα2)=aα.因此 (aα1,aα2)=aα=(1,1),從而ker(Hom(A,B×C))≤ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C)),ker(Hom(A,B×C))=ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C)).

由于

故由情形1,2知,|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|≥p2.

證明 根據(jù)文獻(xiàn)[10]可得.

引理15 設(shè)G是冪零類為2的純非交換p-群,K(G)為pt階循環(huán)群且r(Z(G))=z.|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|≥ pz?1.

證明 由于cl(G)=2,故Inn(G)≤Autc(G),于是K(G)≤Z(G).可設(shè)Z(G)?Cpt+e1×Cpe2×···×Cpez.又由于G是純非交換p-群,則根據(jù)引理2與4可知,

|Hom(G/K(G),Cpt+e1)|≥|Hom(G/S(G),Cpt+e1)|=|G/S(G)|=|G/Z(G)|pe1=pt+e1.又由于r(G/K(G))≥r(G/Z(G))≥2,則對(duì)于任意2≤i≤z,|Hom(G/K(G),Cpei)|≥pei+1.故 |Hom(G/K(G),Z(G))|≥ |G/Z(G)|pe1+e2+···+ez+z?1, 從而 |Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|≥ pz?1.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)G是冪零類為2的非交換p-群,則|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|當(dāng)且僅當(dāng)Z(G)是循環(huán)群.

證明 充分性.由于Z(G)循環(huán),故G是純非交換p-群.由于cl(G)=2,故Inn(G)≤Autc(G),進(jìn)而 K(G)≤ Z(G),由引理 1得,exp(G/Z(G))=exp(G′)|Z(G)/K(G)|≤exp(K(G))|Z(G)/K(G)|=exp(Z(G)).于是由引理2與8可知,|Autc(G)|=|Hom(G/K(G):Z(G))|=|G/K(G)|,故|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|.

必要性.令|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|.根據(jù)引理13可知,G為純非交換p-群.于是由引理7中的(5)可知,r(K(G))=1,即K(G)為循環(huán)群,故根據(jù)引理15可知,Z(G)是循環(huán)群.

推論1 設(shè)G是冪零類為2的非交換p-群.若Z(G)循環(huán),則K(G)=G′.

證明 由引理9和定理1可知,|Z(G):K(G)|=|Z(G):G′|.又G′≤ K(G),故G′=K(G).

推論2 設(shè)G是非交換p-群.Autc(G)=Inn(G)當(dāng)且僅當(dāng)Z(G)=G′且Z(G)循環(huán).

證明 充分性.由定理1充分性顯然.

必要性.由于Autc(G)=Inn(G),根據(jù)引理6得,G是純非交換p-群.又由引理7中的(6)知,Z(G)循環(huán).由定理1和推論1可知,Z(G)=G′.

定理 2 設(shè)G是冪零類為2的非交換p-群,|Z(G):K(G)|=pe,則|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p當(dāng)且僅當(dāng)G滿足下列條件之一.

(1)K(G)=G′是階為pc的循環(huán)群,Z(G)?Cpc+e?1×Cp,G/K(G)?Cpc+e×Cpc;

(2)K(G)=G′是階為p的循環(huán)群,Z(G)?Cp1+e1×Cpe2,G/K(G)?Cp1+e×Cp(e1+e2=e,e2≥2).

證明 必要性.由于|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p,故由引理13和引理7中的(5)知,G為純非交換p-群且K(G)為循環(huán)群.不妨令K(G)?Cpt.根據(jù)引理15和定理1可知,r(Z(G))=2.又K(G)≤Z(G),故可設(shè)Z(G)?Cpt+e1×Cpe2.于是

充分性.首先證G為純非交換p-群.若否,則不妨設(shè)G=A×B,其中A為交換p-群且A/=1,B 為純非交換 p-群.由于 K(G)=G′=B′,故 G/K(G)=G/G′=AB′/B′×B/B′.又因?yàn)閞(B/B′)≥2且r(G/K(G))=2,所以AB′/B′=1.于是A=1,與假設(shè)矛盾,故G是純非交換p-群.

再證|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p.如果Z(G)? Cpc+e?1×Cp,G/K(G)?Cpc+e×Cpc,則根據(jù)引理3和4可知,|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|=|Hom(Cpc+e×Cpc,Z(G))|=p2c+e+1.又由于|Z(G):K(G)|=pe,|G/Z(G)|=p2c,則|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p.如果Z(G)?Cp1+e1×Cpe2,G/K(G)?Cp1+e×Cp(e1+e2=e,e2≥2),則根據(jù)引理3和4可知,|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|=|Hom(Cp1+e×Cp,Cp1+e1×Cpe2)|=pe+3.又由于|Z(G):K(G)|=pe,|G/Z(G)|=p2,故|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p.

推論3 設(shè)G為非交換p-群.如果|Autc(G):Inn(G)|=p2,則群G具體如下.

(1)如果|Z(G):K(G)|=p2,則 Z(G)是循環(huán)群;

(2)如果|Z(G):K(G)|=p,則 Z(G)不循環(huán),K(G)循環(huán)且G/K(G),Z(G)的秩為2;

(3)如果Z(G)=K(G),則K(G)不循環(huán).

證明 由引理7、定理1和2易得.

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Finite p-groups with central automorphism almost being inner automorphism

ZHANG Boru,GUO Xiuyun
(College of Sciences,Shanghai University,Shanghai 200444,China)

Let G be a f i nite p-group and let K(G)be a subgroup of G consisting of all elements in G f i xed by every central automorphism in G.A necessary and sufficient condition is given on|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|for a f i nite p-group G of class 2.The condition for|Autc(G):Inn(G)|=p|Z(G):K(G)|is also studied.

central automorphism;central kernel;inner automorphism

O 152.1

A

1007-2861(2017)05-0714-08

10.12066/j.issn.1007-2861.1744

2016-01-06

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371237)

郭秀云(1956—),男,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)橛邢奕赫?E-mail:xyguo@staf f.shu.edu.cn