一類不確定單擺系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模混沌同步

王建軍，王曉東，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州 450015)

一類不確定單擺系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?；煦缤?/p>

王建軍，王曉東，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州 450015)

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論研究一類不確定單擺系統(tǒng)的滑?；煦缤娇刂茊栴}，給出切換函數(shù)和控制律的構(gòu)造，研究表明一定條件下，選取適當(dāng)?shù)幕Ｃ婧涂刂破?，不確定單擺系統(tǒng)的主從系統(tǒng)是混沌同步的，數(shù)值仿真說明該方法有效.

混沌同步；單擺系統(tǒng) ；動(dòng)力學(xué)

混沌系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為特征，近年引起人們極大的研究興趣，其在自動(dòng)化控制、化學(xué)反應(yīng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、保密通訊中有非常廣泛的應(yīng)用前景.單擺系統(tǒng)是一種常見的物理模型，在一定條件下呈現(xiàn)混沌行為，具有等時(shí)性、對(duì)稱性、周期性等豐富動(dòng)力學(xué)行為，成為機(jī)械傳動(dòng)、流體控制、儀表制造等領(lǐng)域的重要模型.朗和[1]對(duì)周期性外力作用單擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[2-3]中對(duì)于阻尼單擺的振動(dòng)性進(jìn)行了分析.文獻(xiàn)[4]中設(shè)計(jì)了電流強(qiáng)度切換器來實(shí)現(xiàn)對(duì)于電磁單擺的控制.文獻(xiàn)[5]中通過分岔圖、相圖、時(shí)域波形圖對(duì)非線性單擺系統(tǒng)多參數(shù)混沌邊緣進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[6]中對(duì)一類參激單擺非線性系統(tǒng)進(jìn)行了相圖和頻譜分析.文獻(xiàn)[7]中提出了衡量單擺混沌系統(tǒng)的指標(biāo).筆者基于Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)于含有不確定影響因素的單擺系統(tǒng)進(jìn)行滑?；煦缤窖芯?，研究表明，選取適當(dāng)?shù)目刂坡珊妥赃m應(yīng)律，不確定單擺系統(tǒng)的主從系統(tǒng)是混沌同步的.

1 主要結(jié)果

無阻尼單擺系統(tǒng)：

(1)

其中θ為擺線與鉛錘方向的夾角，g為重力加速度，l為擺線的長(zhǎng)度.

(2)

其響應(yīng)系統(tǒng)為：

(3)

其中Δfi(y)為不確定項(xiàng)，di(t)為有界的外部擾動(dòng)，ui為控制器.

(3)式減去(2)式得到誤差系統(tǒng)：

(4)

假設(shè)1：假設(shè)不確定項(xiàng)Δfi(y)以及外部擾動(dòng)di(t)均為有界變量，即存在mi,ni>0滿足：

|Δfi(y)|

假設(shè)2：其中mi,ni(i=1,2,3)未知.

假設(shè)3：Δfi(y)+di(t)=gi(t),i=1,2,3.

假設(shè)4：|gi(t)|≤ε|ei(t)|,0<ε<1.

假設(shè)5：ei(t)=0時(shí)，gi(t)=0，ei(t)≠0時(shí)，gi(t)≠0.

定義誤差：e1(t)=y1(t)-x1(t) ，e2(t)=y2(t)-x2(t).

定理1在假設(shè)1～5成立的條件下，設(shè)計(jì)滑模面s(t)=e1+e2，選取控制器：

(5)

在上述假設(shè)1-5下，則整數(shù)階單擺系統(tǒng)的主從系統(tǒng)(1)式與(2)式是滑模自適應(yīng)同步的.

定理1的證明當(dāng)系統(tǒng)沿滑模面運(yùn)動(dòng)時(shí)，

那么

s(t)=e1+e2=0

(6)

則

當(dāng)系統(tǒng)不在滑模面上時(shí)，選取Lyapunov函數(shù)，

求導(dǎo)得：

-η|s(t)|<0

以下考慮有阻尼單擺系統(tǒng)：

(7)

其中θ為擺線與鉛錘方向的夾角，γ為阻尼系數(shù)，g為重力加速度，l為擺線的長(zhǎng)度.

(7)式可轉(zhuǎn)化為

(8)

設(shè)計(jì)響應(yīng)系統(tǒng)：

(9)

其中Δfi(y)為不確定項(xiàng)，di(t)為有界的外部擾動(dòng)，ui為控制器.

定義誤差：e1(t)=y1(t)-x1(t)，e2(t)=y2(t)-x2(t).

(9)式減去(8)式得到誤差系統(tǒng)：

(10)

定理2在假設(shè)1-5成立的條件下，設(shè)計(jì)滑模面s(t)=e1+e2，選取控制器：

(11)

在上述假設(shè)1-5下，則整數(shù)階單擺系統(tǒng)的主從系統(tǒng)(8)與(9)是滑模自適應(yīng)同步的.

那么

當(dāng)系統(tǒng)不在滑膜面上時(shí)，選取Lyapunov函數(shù)，

求導(dǎo)得：

-η|s(t)|<0.

2 數(shù)值算例

定理2中當(dāng)ε=1，γ=0.6，g=9.8,l=1.2時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài)，選取

系統(tǒng)初始值設(shè)置為：x1(0)=0.5,x2(0)=1,y1(0)=-0.5,y2(0)=-0.5.

其系統(tǒng)的誤差曲線如圖2所示.從圖中可以看出，系統(tǒng)一開始誤差相距較遠(yuǎn)，隨時(shí)間推移，系統(tǒng)誤差漸趨一致，逐漸趨近于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外對(duì)比分析圖1，2發(fā)現(xiàn)，有阻尼系統(tǒng)相對(duì)無阻尼系統(tǒng)去的同步的所需時(shí)間更長(zhǎng)，圖1中當(dāng)t>0.10 s時(shí)系統(tǒng)就會(huì)取得同步，圖2中當(dāng)t>0.15 s時(shí)系統(tǒng)才取得同步，顯然有阻尼情況下去的同步需要更長(zhǎng)時(shí)間，另外從圖中還可以看出，有阻尼的混沌系統(tǒng)相對(duì)于無阻尼的混沌系統(tǒng)所選擇的控制器，即系統(tǒng)的控制輸入更大更強(qiáng)，要維持兩系統(tǒng)取得同步需要更多的能量輸入，從而就表現(xiàn)為控制器更復(fù)雜.

圖1 無阻尼系統(tǒng)的誤差曲

圖2 有阻尼系統(tǒng)的誤差曲

3 結(jié)論

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)知識(shí)研究一類不確定單擺系統(tǒng)的滑模自適應(yīng)混沌同步問題，給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明和推理過程，得到單擺系統(tǒng)的主從系統(tǒng)取得滑模同步的充分性條件，研究表明選取適當(dāng)?shù)目刂坡上聠螖[系統(tǒng)混沌同步的，數(shù)值算說明該方法有效.

[1] 郎和. 保守單擺系統(tǒng)中的混沌運(yùn)動(dòng)[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2002,38(4)：108-110.

[2] 陳文濤，龔善初. 單擺振動(dòng)分析[J],湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào),2008,21(1):60-70.

[3] 于鳳軍. 單擺系統(tǒng)的振動(dòng)研究[J].大學(xué)物理，2009,28(9)：9-15.

[4] 謝華燕.可控?cái)[角與周期的電磁單擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J].自動(dòng)化與儀器儀表，2016,36(2):36-38.

[5] 賀尚宏，謝進(jìn)，程杰鋒，等. 非線性單擺動(dòng)力系統(tǒng)多參數(shù)混沌邊緣的研究[J].機(jī)械傳動(dòng)，2015,39(8)：1-4.

[6] 郜浩東，陳恩利，黎李陽. 參激單擺非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)：2010，23(3):77-80.

[7] 李紀(jì)強(qiáng)，周斌，丁益民.單擺混沌現(xiàn)象的研究[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，36(4)：513-517.

[8] 梅生偉，申鐵龍，劉志康.現(xiàn)代魯棒控制理論與應(yīng)用[M]. 北京，清華大學(xué)出版社,2003.

Chaossynchronizationofaclassofuncertaintysimplependulumsystems

WANG Jianjun，WANG Xiaodong，MAO Beixing

(College of Science, Zhengzhou University of Aeronautics，Zhengzhou 450015, China)

The problem of sliding mode chaos synchronization for a class of uncertainty simple pendulum systems is studied based on Lyapunov stability theory. Switching functions and control laws are given out. The conclusion was shown that master-slave systems of simple pendulum systems were sliding mode chaos synchronized under appropriate sliding mode surface and controlling law.Numerical simulations of chaotic system verify the effectiveness of the proposed method.

chaos synchronization ; simple pendulum systems; dynamics

2017-04-05

國家自然科學(xué)基金(11404291)和河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目(2013GGJS-142)資助

王建軍 (1978-)，男，講師，E-mail：wjj123789@126.com

1000-2375(2017)06-0580-05

O482.4

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.06.004

(責(zé)任編輯 趙燕)