FOURIER光信息處理實驗及其計算機(jī)模擬

鄭曉光++門克內(nèi)木樂++于少雪++周敏++呂嘉泰++尹趙金

摘 要：光學(xué)信息處理具有速度高、容量大等優(yōu)點。透鏡傅里葉（Fourier）變換是其最核心方法之一。本文先給出Fourier變換光信息處理原理，并實現(xiàn)了對二維光柵圖像進(jìn)行不同方向上的狹縫濾波和圓孔光闌（低通）濾波處理的實驗；再用Matlab軟件對之進(jìn)行了模擬仿真，模擬結(jié)果與實驗結(jié)果相符，證明以此方法作為計算機(jī)輔助教學(xué)實驗是可行的，不但能夠加深學(xué)生對光信息處理原理的理解，同時還可以給出實際上難以實現(xiàn)的一些實驗結(jié)果，如高通濾波、帶通濾波和雙孔濾波等。

關(guān)鍵詞：光信息處理 Fourier變換 Matlab模擬 阿貝成像原理 空間濾波

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）09（b）-0204-06

光學(xué)信息處理是近年來發(fā)展起來的一門新興學(xué)科，指的是用光學(xué)的方法實現(xiàn)對輸入信息的各種變換或處理。與其他形式的信息處理技術(shù)相比，光學(xué)信息處理具有高度并行性和大容量的特點。這一學(xué)科發(fā)展很快，現(xiàn)在已經(jīng)在許多領(lǐng)域進(jìn)入了實用階段[1-3]。

光學(xué)信息處理的內(nèi)容十分豐富。然而透鏡的傅里葉變換效應(yīng)，即阿貝二次成像理論，是光學(xué)信息處理的理論核心。1873年德國科學(xué)家阿貝（E.Abbe）提出二次成像理論[4]。阿貝本人和波特（Porter）分別于1893年、1906年用實驗驗證了阿貝成像原理，稱為阿貝一波特空間濾波實驗[5]。阿貝成像理論不僅用傅里葉變換闡述了透鏡成像的機(jī)理，更重要的是首次引入頻譜的概念，對頻譜的分析和綜合的原理做出了深刻的解釋，啟發(fā)人們用改造頻譜的手段來改造信息，直到今天在圖像處理中仍然有廣泛的應(yīng)用價值[6]。

但是傅里葉光信息處理實驗中，由于受實驗條件的制約，往往不能取得預(yù)期的效果，同時有些特殊的信息處理方法實驗很難實現(xiàn)[7]。而通過計算機(jī)模擬輔助實驗的手段，不但可以獲得更加精確的實驗效果圖，而且還可以不受實驗儀器的限制仿真一些實際很難觀測到的現(xiàn)象，同時濾波器參數(shù)的隨意替換可以讓學(xué)生更為靈活地觀察到比真實實驗更多的實驗現(xiàn)象[8]，讓學(xué)生更好的理解傅里葉光信息處理原理，提高學(xué)習(xí)興趣。

MATLAB是美國MathWorks公司于1984年推出的一套高性能和可視化軟件，像C語言一樣，是一種十分有名的計算機(jī)語言[9]。它集數(shù)值分析、矩陣運算、信號處理、建模仿真和圖形顯示等為一體，構(gòu)成了一個方便的、接口友好的用戶環(huán)境[8]。在Matlab中，有很多現(xiàn)成的函數(shù)可以直接調(diào)用，而且在計算方面，可以直接用相應(yīng)的計算符號即可，因此人們首先稱之為演算紙式語言。

本論文通過阿貝-波特空間濾波實驗，解釋了光學(xué)Fourier變換及光信息空間頻譜濾波處理的原理，并通過Matlab軟件對Fourier光信息處理過程進(jìn)行了仿真模擬，并與實驗結(jié)果進(jìn)行了比較。之前相關(guān)文章要么只有計算機(jī)模擬，要么只有實驗，我們至今沒有發(fā)現(xiàn)將實驗與模擬放在一起進(jìn)行對比的文章。

1 實驗原理、方法與結(jié)果

1.1 實驗原理

阿貝成像理論將物看成不同空間頻率信息的集合，透鏡的成像過程可以分為兩步，如圖1所示。第一步是入射光場經(jīng)物平面O發(fā)生夫瑯禾費衍射，在透鏡L1后焦面F（即空間頻譜面）上形成衍射斑陣列，稱為空間頻譜或傅立葉頻譜，這是衍射所引起的“分頻”作用；第二步是各衍射斑作為新的次波源發(fā)出球面次波（即不同空間頻率的各光束），在像面Q上疊加相干，形成物體的像，這是干涉所引起的“合成”作用。

阿貝成像理論中的成像過程的這兩步本質(zhì)上就是兩次傅立葉變換。我們通過增加一個透鏡，如圖2所示（阿貝—波特空間濾波實驗光路），可以將阿貝成像理論更加具體化。物面O置于透鏡L1的前焦面，像面I置于透鏡L2的后焦面，L1的后焦面和L2的前焦面重合，從而形成4f系統(tǒng)。L1和L2分別起分頻和合頻的作用。

在物平面上光場復(fù)振幅分布為O（x，y），L1后焦面上形成的光斑陣列復(fù)振幅為F（ξ，η），當(dāng)L1的孔徑無限大時，F(xiàn)（ξ，η）是O（x，y）的傅里葉變換，即空間頻譜，這是L1所引起的“分頻”作用：

（1）

在像平面上光場復(fù)振幅分布為I（x'，y'）。同樣，當(dāng)L2的孔徑無限大時，I（x'，y'）是F（ξ，η）的傅里葉逆變換，這是L2所引起的“合頻”作用：

（2）

如果在光學(xué)系統(tǒng)的頻譜平面F上放置空間濾波屏，并設(shè)其復(fù)振幅透射函數(shù)為T（ξ，η），則透過屏的光場復(fù)振幅分布為：

（3）

經(jīng)過透鏡L2后，在像平面上便得到經(jīng)過濾波屏調(diào)制后的輸出圖像的光場復(fù)振幅分布：

（4）

在光學(xué)系統(tǒng)頻譜面F上放置各種空間濾波器，對光學(xué)圖像信號進(jìn)行濾波，提取或加強(qiáng)所需的圖像（信號），濾掉或抑制不需要的圖像（噪聲），并進(jìn)行透鏡傅里葉逆變換輸出處理后的圖像。這就是光學(xué)信息處理的基本原理。

1.2 實驗方法

我們的傅里葉光信息處理實驗光路如圖3所示。實驗中用的光源為氦氖激光器，由擴(kuò)束準(zhǔn)直器BE擴(kuò)束后照射到物O上。物O為二維網(wǎng)格狀光柵，物O、CCD光敏面以及透鏡L1和L2之間形成4f系統(tǒng)，空間濾波器（狹縫或光闌）A置于頻譜面上。此時，CCD光敏面上可以拍攝到輸出的處理后圖像。如果將L2用透鏡L3（f2=2f3）更換掉，在CCD光敏面上可以拍攝到對應(yīng)的功率譜（頻譜面上光強(qiáng)分布）等大像。

1.3 實驗結(jié)果

實驗結(jié)果如圖4所示，圖4（a1～g1）都是頻譜面上的功率譜圖（傅里葉變換圖，放置透鏡L3時拍攝到的），圖4（a2～g2）是對應(yīng)的計算機(jī)模擬圖，圖4（a3～g3）是（a1～g1）不同空間頻率的各光束疊加相干成的像（反傅里葉變換，處理后圖像，放置透鏡L2時拍攝到的），圖4（a4～g4）是對應(yīng)的計算機(jī)模擬圖。

去掉光闌，拍攝到的功率譜和成像如圖4-a1和4-a3所示。如果信息在傅里葉變換過程中沒有損失，則像平面所得的像和物完全相似，如計算結(jié)果圖4-a4所示。但是實驗成像結(jié)果如圖4-a3所示，方格邊界較模糊，這是由于透鏡的孔徑是有限的，有一部分衍射角度較大的高頻信息不能進(jìn)入物鏡L1而被丟棄了，所以物所包含的超過一定空間頻率的信息就無法反應(yīng)到像上。這是顯微鏡分辨率受到限制的根本原因。endprint

調(diào)整光闌為豎直狹縫，使只有豎直的光譜的每一級都通過光闌，如圖4-b1所示。此時反傅里葉變換像為一些水平條紋（上下兩束光疊加后的干涉條紋），如圖4-b3所示。

同理我們可以調(diào)整狹縫光闌使只有水平、向左傾斜45°、向右傾斜45°的光譜的每一級都通過，如圖4-c1、4-d1、4-e1中所示。此時，對應(yīng)的反傅里葉變換像為一些豎直條紋、向右傾斜45°條紋和向左傾斜45°條紋，如圖4-c3、4-d3、4-e3所示。

如果只讓零級光譜通過，如下圖4-f1中所示，經(jīng)過反傅里葉變換的圖像則只有一個大的高斯亮斑，如圖4-f3所示。只有一束光，因此沒有干涉條紋。

如果只讓零級光譜和一級光譜通過，如下圖4-g1中所示，丟失了高頻信息，經(jīng)過反傅里葉變換的圖像則是一個模糊的網(wǎng)格圖像，如圖4-g3所示。

2 MATLAB模擬仿真方法與結(jié)論

MATLAB軟件編程簡單、易學(xué)，提供了強(qiáng)大的圖形繪制和輸出功能，可以方便地模擬傅里葉光學(xué)實驗。

2.1 模擬方法

計算機(jī)模擬傅里葉光學(xué)實驗的步驟與具體程序如下。

（1）構(gòu)建原圖像信息：直接由矩陣運算生成一幅二值物體圖像，即二維光柵，調(diào)用命令imshow（ ）顯示原物體圖像，如圖4-a4中所示。

linewidth=5；%光柵線寬，將功率譜模擬圖與實驗結(jié)果進(jìn)行比較，調(diào)節(jié)其數(shù)字

linespan=2*linewidth；%光柵間距

O=ones（105，105）；

for i=1：linewidth

O（i：linespan：end，：）=0；

end

for i=1：linewidth

O（：，i：linespan：end）=0；

end

figure（1）

imshow（O） ； %顯示原物體圖像

（2）獲得頻譜數(shù)據(jù)：利用MATLAB函數(shù)庫中的二維離散傅里葉變換函數(shù)fft2（ ）對物體圖像數(shù)據(jù)O進(jìn)行傅里葉變換，得到原圖像的頻譜。fft2函數(shù)在進(jìn)行傅里葉變換時，變換結(jié)果將0頻率分量（直流成份）放在起始的位置，fftshift函數(shù)則將fft2變換后的低頻頻譜移至頻譜的中央，這樣便于觀測。

n（1）=2^nextpow2（2*size（O，1）-1）； % 算出頻譜數(shù)據(jù)行數(shù)，取最接近2*size（O，1）-1的

2的整數(shù)次冪

n（2）=2^nextpow2（2*size（O，2）-1）； % 算出頻譜數(shù)據(jù)列數(shù)

%行數(shù)和列數(shù)為2的整數(shù)次冪，fft2函數(shù)的運行效率會大大提高。

F=fft2（O，n（1），n（2））；

SF=fftshift（F）； %

（3）顯示功率譜，仿真實驗結(jié)果：頻譜是一個復(fù)數(shù)矩陣，利用取模函數(shù)abs（ ）對該復(fù)數(shù)矩陣取模，得到振幅譜矩陣，再開平方則可以獲得光強(qiáng)分布矩陣（也稱功率譜矩陣）。這是因為CCD和人眼在線性范圍內(nèi)其輸出信號都與光強(qiáng)（功率）成正比。再用命令imshow（ ）顯示原物體圖像的功率譜圖，如圖5a中所示。由于CCD靈敏度和飽和度不同，拍攝效果與光強(qiáng)不一定成正比，為了真實仿真實驗結(jié)果（圖4-a1），顯示時光強(qiáng)放大20倍并加了背景光強(qiáng)0.3，通過與實驗結(jié)果比較可獲得這相乘系數(shù)和背景光強(qiáng)數(shù)據(jù)，如圖5b所示（同圖4-a2）。

A=abs（SF）；%振幅譜

A=A^.2；%功率譜

figure（2）

imshow（A，[min（min（A），max（max（A））]）；%直接顯示歸一化功率譜

B=（A-min（min（A）））/（max（max（A））-min（min（A）））； %歸一化

B=B*20； %功率譜放大

B=B+0.3； %加背景光

figure（3）

imshow（B）；

（4）構(gòu)建不同形狀的光闌數(shù)據(jù)H（即濾波器）。

% 不進(jìn)行濾波

H=ones（n）； %與頻譜數(shù)據(jù)行列數(shù)相同

% 狹縫濾波函數(shù)

H=zeros（n）；

dw=floor（（n（1）-linewidth*3）/2）； %取小于括號中數(shù)字的最大整數(shù)

H（dw：dw-1+linewidth*3，：）=1； %狹縫寬度為光柵線寬的三倍

angle=0； %水平方向是0，豎直時Pi/2，還有±Pi/4

H=imrotate（H，angle，'bilinear'，'crop'）； %將H旋轉(zhuǎn)angle度

% 圓孔低通濾波

H=zeros（n）；

r=0.3； %圓孔半徑所占比例

low=r*min（n）/2； % 轉(zhuǎn)換后的截止半徑

center1=floor（n（1）/2）；

center2=floor（n（2）/2）；

for i=1：n（1）

for j=1：n（2）

rr=sqrt（（i-center1）^2+（j-center2）^2）；

if rr<=low

H（i，j）=1；

end

end

end

% 圓孔高通濾波

之前的同低通濾波

H=1.-H

%圓環(huán)帶通濾波

H=zeros（n）；endprint

r1=0.1；

r2=0.3；

low=r1*min（n）/2； % 內(nèi)徑

high=r2*min（n）/2； % 外徑

center1=floor（n（1）/2）；

center2=floor（n（2）/2）；

for i=1：n（1）

for j=1：n（2）

rr=sqrt（（i-center1）^2+（j-center2）^2）；

if rr>=low & rr<=high

H（i，j）=1；

end

end

end

（5）對頻譜進(jìn)行濾波，對頻譜F與光闌H的數(shù)據(jù)乘積，并顯示其功率譜分布，如圖4（a2～g2）中所示。

HSF=H.*SF；

C=（abs（HSF））.^2；

D=（C-min（min（C）））/（max（max（C））-min（min（C）））；

D=D*20+0.3；

figure（4）

imshow（D）；

（6）進(jìn)行傅里葉逆變換，并顯示其功率分布，如圖4（a4～g4）中所示。

I=ifft2（ifftshift（HSF））；%逆位移后，再傅里葉逆變換

ri=abs（I）；

ri=（ri.^2）*20+0.3；

i=ri（1：size（O，1），1：size（O，2））；

figure（6）

imshow（i，[]）；

2.2 模擬結(jié)果

沒有濾波、狹縫濾波和低通濾波結(jié)果如圖4-a4～g4中所示。可看出，此模擬結(jié)果與圖4-a2～g2中所示實驗結(jié)果相符，證明以此方法作為計算機(jī)輔助實驗是可行的，可以加深學(xué)生對光信息處理原理的理解。同時還可以模擬出實際上難以實現(xiàn)的一些實驗結(jié)果，比如高通濾波、帶通濾波和雙圓孔濾波等，其模擬結(jié)果如圖6中所示。

圖6-a1、b1、a2和b2中給出了高通濾波實驗結(jié)果，可看出只濾出0級時，圖像整體變暗；濾出0級和1級時，可得邊緣增強(qiáng)的圖像。圖4-a3和b3中給出了帶通濾波實驗結(jié)果，可看出只讓1級通過時，二維光柵的振幅在x，y方向上都按正弦分布（只包含基頻分量）。圖4-a4和b4中給出了雙圓孔濾波實驗結(jié)果，可看出只讓上下兩個1級的光分量通過時，可獲得水平條紋（即上下兩光點的干涉條紋），且光強(qiáng)在y軸上呈正弦分布。

3 結(jié)語

以透鏡為主的Fourier光學(xué)變換系統(tǒng)具有很強(qiáng)的實用性，特別是在光信息處理中的應(yīng)用十分廣泛。Matlab軟件因為強(qiáng)大的計算模擬功能具有廣泛的應(yīng)用性。

本文實現(xiàn)了對二維光柵圖像進(jìn)行不同方向上的狹縫濾波和圓孔光闌（低通）濾波處理的實際實驗操作和Matlab軟件模擬仿真。模擬結(jié)果與實驗結(jié)果相符，證明以此方法作為計算機(jī)輔助實驗是可行的，不但能夠加深學(xué)生對光信息處理原理的理解，同時還可以給出實際上難以實現(xiàn)的高通濾波、帶通濾波和雙孔濾波等實驗的模擬結(jié)果。

傅里葉光信息處理（阿貝一波特空間濾波實驗），可以讓學(xué)生能夠直觀的了解光信息處理（圖像處理）原理，對頻譜的概念可以有直觀的認(rèn)識。

但是實驗中，由于受實驗條件的制約，往往不能取得預(yù)期的效果，同時有些特殊的信息處理方法實驗上很難實現(xiàn)。而通過計算機(jī)模擬輔助實驗的手段，不但可以獲得更加精確的實驗效果圖，而且還可以不受實驗儀器的限制，仿真一些實際很難觀測到的現(xiàn)象，同時濾波器參數(shù)的隨意替換可以讓學(xué)生更為靈活地觀察到比真實實驗更多地實驗現(xiàn)象，讓學(xué)生更好地理解傅里葉光信息處理原理和頻譜的概念，提高學(xué)習(xí)興趣。為學(xué)習(xí)信息光學(xué)、信號與系統(tǒng)及其后續(xù)相關(guān)課程起到有效的輔助作用，有助于使用者化抽象為具體，從而更好地洞察含義、理解概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，使教學(xué)達(dá)到更加滿意的效果。

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