在深度對話中讓數(shù)學(xué)概念課教學(xué)走向本真

盧娟+孫道斌

【摘 要】 概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，教好概念是教好數(shù)學(xué)的內(nèi)在要求，概念教學(xué)如果搞不好，數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的實現(xiàn)就失去了根基.為了體現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對“概念”教學(xué)的目標(biāo)要求，本文擬結(jié)合“§51定義與命題”教學(xué)實錄與點評，談?wù)勅绾芜M(jìn)行有效的概念教學(xué).

【關(guān)鍵詞】 定義；命題；教學(xué)實錄；點評

2016年11月29～30日，山東省初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀摩研討會在著名的江北水城聊城舉行.來自全省500余名數(shù)學(xué)骨干教師參加了此次活動.29日下午，由菏澤市開發(fā)區(qū)廣州路中學(xué)盧娟老師執(zhí)教的“§51定義與命題”（青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊）一課，切實根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點和初二學(xué)生的實際情況開展概念教學(xué)，注重了概念形成的針對性和有效性，很好地體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）對數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的要求，尤其是創(chuàng)新的教學(xué)設(shè)計，為概念課教學(xué)起到了引導(dǎo)、示范的作用.在聽課的基礎(chǔ)上，筆者對這節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行了實錄和點評，供老師們教學(xué)時參考.

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：分享一個故事，前兩天我把一張表格忘在家里了，下班回來，上小學(xué)三年級的兒子興奮地對我說，他幫我填了一部分內(nèi)容，我一看，笑了.同學(xué)們，大家來看看吧.

（學(xué)生發(fā)出善意的笑聲.）

師：大家發(fā)現(xiàn)問題了嗎？

生眾：他把老師的政治面貌填成圓形臉了.

師：對！如果讓大家來填“政治面貌”的話，你們會填成這樣的內(nèi)容嗎？

生眾：不會.

師：像這樣的例子，生活中很多，要避免交流上的障礙，就要對同一名稱或術(shù)語有正確的認(rèn)識.而在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，也有這樣的名稱或術(shù)語，那就是數(shù)學(xué)概念，而要規(guī)范地認(rèn)識數(shù)學(xué)概念，就要進(jìn)行下定義.這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)第五章“幾何證明初步”的第一節(jié)“定義與命題”.（板書課題）

點評 通過分享兒子的趣事，讓學(xué)生體會到人與人之間的交流必須建立在對某些名稱和術(shù)語有共同認(rèn)識的情況下才能進(jìn)行.為此，需要給出它們的定義.進(jìn)而讓學(xué)生體會到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中下定義的重要性.

二、探索新知，形成定義

師：在過去的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們學(xué)過許多數(shù)學(xué)概念，比如角、直角三角形等.回憶一下，什么叫做角？什么叫做直角三角形？

（在學(xué)生的回答中一一出示兩個定義.）

1.有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角.

2.有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

師：觀察上面兩個語句，在敘述形式上它們有什么共同特點？

（讓學(xué)生先獨立思考，然后再做小組交流.）

生眾：都有“叫做”倆字

師：對，這是這兩個語句敘述形式的共同特點.（板書：敘述形式：“……叫做……”）

師：那敘述內(nèi)容上有什么共同特點呢？

（學(xué)生面帶難色.）

師：我們以“有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角”為例來說明一下.這個語句是說明哪個概念含義的？

生眾：角.

師：通過這個語句可以看出“角”這個概念具有的本質(zhì)特征是什么？

生1：有公共端點的兩條射線所組成圖形.

師：因此，這個語句就叫做角的定義.那么第二個語句叫做誰的定義？

生2：第二個語句叫做“直角三角形”的定義.

師：從“直角三角形”的定義可以看出“直角三角形”這個概念具有的本質(zhì)特征是什么？

生3：有一個角是直角的三角形.

師：因此，這兩個語句敘述內(nèi)容上的共同特點就是都能揭示其本質(zhì)特征.

點評 讓學(xué)生通過回憶這些概念的定義，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)是如何給概念下定義的.

師：觀察這兩個定義的語句，你能試著給定義下個定義嗎？

師生共同歸納：用來說明一個概念含義的語句叫做這個概念的定義.（教師板書定義的定義）

師：對于一個定義而言，“叫做”前面的部分是被定義項，后面部分是定義項.那么一個定義通常由幾部分組成？

生眾：定義由被定義項和定義項兩部分組成.

師：這就是定義的結(jié)構(gòu)形式.（板書：結(jié)構(gòu)形式：被定義項 定義項）

師：通過以上的學(xué)習(xí)，你能給已學(xué)過的概念下定義嗎？

生4：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

生5：不在同一直線上的三條線段首尾相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形.

生6：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.

生7：把數(shù)與表示數(shù)的字母用運算符號連接而成的式子叫做代數(shù)式.

師：由此可見，要準(zhǔn)確地給概念下定義，首先得是一個完整的語句，并且這個語句能準(zhǔn)確、清晰、簡潔地揭示出這個概念的含義即本質(zhì)特征.大家考慮一下，要想說明一個三角形是否是直角三角形，關(guān)鍵的一步是什么？

生8：看這個三角形是否有直角.若有一個角是直角，就說這個三角形是直角三角形.

師：這樣看來，直角三角形的定義除了作為一種性質(zhì)使用外，還可以作為一種判定的方法.所以，一個概念的定義一般具有兩方面的作用：①作為性質(zhì)使用，②作為判定方法.（板書：定義的作用）

點評 通過對定義的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在已有的直接經(jīng)驗的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)定義的結(jié)構(gòu)及作用，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，并為命題的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

師：同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了定義的定義，并知道了定義的敘述形式、定義的結(jié)構(gòu)形式以及定義的作用等，可以說，對定義有了一個全面的認(rèn)識，那么，你能判斷下列語句哪個屬于定義嗎？endprint

（展示問題.）

下列語句屬于定義的是（ ）.

A.花兒在春天開放.

B.同角的余角相等.

C.內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

D.使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.

生9：D選項屬于定義.

師：哪位同學(xué)來解釋一下，為什么D選項中的語句是定義？

生10：它說明了方程的解這個概念的含義，并揭示了其本質(zhì)的特征，符合定義的定義.

點評 及時檢查學(xué)生掌握情況，進(jìn)一步鞏固定義的定義.

三、再探新知，認(rèn)識命題

師：定義作為一種判別標(biāo)準(zhǔn)，可以產(chǎn)生很多判斷，比如根據(jù)對頂角的定義，我們可以得出這樣的判斷：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；如果兩個角不相等，那么它們不是對頂角.可以看出，這些結(jié)論在表述形式上都是對某件事情做出判斷的語句.

點評 通過由具體概念的定義產(chǎn)生的判斷，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)定義的必要性，也作為從定義到命題的過渡.

師：大家能對下面句子的表述形式做出選擇嗎？

（展示問題.）

比較下列句子在表述形式上哪些對事情作了判斷？哪些沒有對事情做出判斷？

（1）鳥是動物.

（2）若a2=4，求a的值.

（3）如果a2=b2，那么a=b.

（4）a、b兩條直線平行嗎？

（5）畫一個角等于已知角.

（6）033是無理數(shù).

（7）如果兩個有理數(shù)的積小于0，那么這兩個數(shù)的商也小于0.

生11：（2）、（4）、（5）沒有對事情做出判斷；（1）、（3）、（6）、（7）對事情做出了判斷.

生12：我覺得（6）是錯誤的.

師（對生12）：老師知道你的疑問了，（6）的結(jié)論確實不正確，盡管不成立，但它確實對事情做出了判斷.

生12：謝謝老師，我明白了.

師：這樣，我們就把（1）、（3）、（6）、（7）歸為一類，叫做命題.

點評 通過將上述表述分為兩類：一類是對某一個事情做出了判斷；另一類沒有對某一個事情做出判斷.引導(dǎo)學(xué)生通過這兩類具體例子的辨析，了解什么是命題，什么不是命題.

師：按照剛剛學(xué)習(xí)的下定義的方法，哪位同學(xué)能給命題下一個定義？

生12：表示判斷的語句叫做命題.

師：很好，請坐.同學(xué)們想想看，命題這個概念的本質(zhì)特征是什么？

生13：命題的本質(zhì)特征就是它能對事情做出判斷.

師：非常好！我們判斷一個語句是不是命題，關(guān)鍵在于是否做出判斷，而與正確與否無關(guān).詳細(xì)說來，命題的特征有三個，即：是句子、有判斷、有對錯.再看下面的幾個例子：

（1）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線也互相平行.

（2）過直線l外一點P作l的平行線.

（3）如果a>b>c，那么b=c.

（4）什么叫做對頂角？

（學(xué)生獨立完成，然后小組內(nèi)交流.）

點評 及時檢查學(xué)生掌握情況，一方面，讓學(xué)生“學(xué)以致用”，在獲得成就感的同時激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣與信心，另一方面，也進(jìn)一步鞏固學(xué)生對命題定義的理解.

四、類比定義，深化命題

師：我們學(xué)習(xí)了命題的定義，類比定義的學(xué)習(xí)，接下來該學(xué)習(xí)命題的什么內(nèi)容呢？

生眾：命題的敘述形式和結(jié)構(gòu)形式.

師：再觀察這些語句，看看它們的敘述形式和結(jié)構(gòu)形式各有什么特點？

（1）如果a2=b2，那么a=b.

（2）如果兩個有理數(shù)的積小于0，那么這兩個數(shù)的商也小于0.

（3）如果a>b>c，那么b=c.

（4）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；

生14：命題的敘述形式是“如果……，那么……”.（教師板書：命題敘述形式）

師：命題的結(jié)構(gòu)形式呢？

生15：命題有兩部分構(gòu)成，也就是“如果”后面的內(nèi)容與“那么”后面的內(nèi)容.

師：好！請坐.我們把“如果”引出的部分，也就是已知事項，稱為條件；“那么”引出的部分，也就是由已知事項推斷出的事項，稱為結(jié)論.因此，命題的結(jié)構(gòu)形式是什么？

生16：命題由條件和結(jié)論兩部分組成.（教師板書：命題結(jié)構(gòu)形式）

師：既然大家掌握了命題的結(jié)構(gòu)特點，看大家能不能根據(jù)這種理解準(zhǔn)確地找出下面命題中的條件和結(jié)論呢？

（展示例題.）

例：請說出下列命題的條件和結(jié)論：

（1）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊分別相等，那么這兩個三角形全等.

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行.

（3）等腰三角形的兩底角相等.

（讓學(xué)生先獨立完成，然后再小組交流.）

生17：命題（1）的條件是“一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊分別相等”，結(jié)論是“這兩個三角形全等”.

師：命題（1）寫成了命題的一般敘述形式，所以能容易地區(qū)分出條件和結(jié)論.對于命題（2），哪位同學(xué)來說一說？

生18：命題（2）的條件是“同位角相等”，結(jié)論是“兩直線平行”.

師（對生18）：那“如果”前面的內(nèi)容是什么呢？

生18：也是條件.

師：能完整地說一下嗎？

生18：命題（2）的條件是“兩條直線被第三條直線所截所得的同位角相等”，結(jié)論是“兩直線平行”.

師：說得太好了！因此說，“如果……，那么……”只是命題的一般敘述形式，命題（2）是一種特殊形式，還有更特殊的形式呢，請看命題（3），它特殊在哪里？endprint

生19：沒有“如果”和“那么”.

師：對于這樣縮寫的命題，如何區(qū)分它的條件和結(jié)論呢？

生20：轉(zhuǎn)化成“如果……，那么……”的形式.

師：這個主意不錯，哪位同學(xué)來改寫一下？

生21：如果一個三角形是等腰三角形，那么它的兩個底角相等.

生22：如果兩個角是等腰三角形的兩個底角，那么這兩個角相等.

師：這兩種改寫方法都對.所以，一個命題的改寫形式并不唯一.現(xiàn)在我們一塊來看生21的改寫結(jié)果.哪位同學(xué)來說一下他的條件和結(jié)論？

生23：這個命題的條件是“一個三角形是等腰三角形”，結(jié)論是“它的兩個底角相等”.

師：很好，請坐.由此可知，命題的改寫一定要找準(zhǔn)條件，那條件如何去找呢，我們可以來分析一下句子成分，關(guān)注謂語前后，一般定語是條件，謂語或者賓語后面是結(jié)論.大家再結(jié)合命題（3），看是不是這樣？

生眾：是.

點評 通過對命題敘述形式和結(jié)構(gòu)形式的探究，意在讓學(xué)生體會命題的條件與結(jié)論之間存在的因果以及假設(shè)關(guān)系.對于條件和結(jié)論不明顯的，可以將這個命題改寫成“如果……，那么……”的形式，然后再寫出條件和結(jié)論.

五、了解真假，掌握反例

師：通過探究，我們知道了命題通常由條件和結(jié)論兩部分組成，基于條件推斷出的結(jié)論是不是都正確的呢？大家來看下面的問題：

想一想，在這些命題中，有沒有條件成立時，結(jié)論卻不正確的命題.如果有，請指出來.

（1）如果一個三角形的兩邊及一角與另一個三角形的兩邊及一角分別相等，那么這兩個三角形全等.

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行.

（3）等腰三角形的兩底角相等.

（獨立思考，合作交流，代表展示.）

生24：命題（1）的結(jié)論不正確.

師：像（1）這樣，當(dāng)命題的條件成立時，不能保證命題的結(jié)論總是成立的命題叫做假命題.像（2）（3）這樣，當(dāng)命題的條件成立時，結(jié)論也一定成立的命題叫做真命題.哪位同學(xué)能說一下你是如何發(fā)現(xiàn)這個命題是假命題的？

（學(xué)生思考并討論，因為不好說明，舉手的同學(xué)很少.）

師：看樣大家遇到了困難，哪位同學(xué)能給我們指點迷津？

生25：可以通過舉一個反例來推翻這個結(jié)論.

生26：老師，什么樣的例子是反例？

師：所謂的反例就是具備命題的條件，而不符合命題的結(jié)論的例子.大家是否掌握了這種方法，請看下面的一個問題：

請判斷命題“如果a>b，a>c，那么b=c”是真命題還是假命題？如果是假命題，請舉出一個反例.

生27：這個命題是假命題，比如：a=5，b=2，c=1，雖然滿足a>b，a>c，但b≠c.

師：很好，舉的例子具備命題的條件，而不符合命題的結(jié)論，這一個反例就足以說明該命題是假命題了.

點評 通過對真假命題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生初步掌握了判斷假命題的方法，并使學(xué)生進(jìn)一步明白一個命題是假命題，只要舉一個“反例”就可以了，而要說明一個命題是真命題，無論驗證多少例子都無法保證它的正確性，從而說明了證明的重要性，為后續(xù)學(xué)習(xí)做了鋪墊.

六、歸納小結(jié)，反思提高

師：快下課了，能不能說一下你們這節(jié)課學(xué)到了什么？

生28：我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了定義和命題的這兩個概念，并且知道了它們的敘述形式和結(jié)構(gòu)形式以及如何區(qū)分命題的條件和結(jié)論.

生29：還有真假命題以及判斷假命題的方法，也就是舉反例.

師：定義和命題這兩個概念之間有什么內(nèi)在聯(lián)系嗎？定義是命題嗎？

生30：定義是命題，而且是真命題.

師：命題是定義嗎？

生31：命題不一定是定義.

師：這幾位同學(xué)都是從知識的層面談了自己的收獲，哪位同學(xué)能從技能的層面來談?wù)劊?/p>

生32：學(xué)習(xí)命題時，我們是仿照著定義的相關(guān)內(nèi)容來學(xué)習(xí)的，這樣，通過這個內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我掌握了類比的思想.

生33：通過小組合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)了我與其他同學(xué)之間的合作意識，不但掌握了知識，還學(xué)會了與他人交流，提高了自己的能力.

師：這六位同學(xué)說得真好（掌聲），成功既要有個人的努力，更需要集體的智慧，只要我們齊心協(xié)力，一定能取得更加優(yōu)異的成績.下面，老師想通過一副對聯(lián)來概括一下這節(jié)課，上聯(lián)：下定義讓我們的世界規(guī)范，和諧；下聯(lián)：提命題讓我們的社會發(fā)展，進(jìn)步；橫批：定義是命題.

點評 通過課堂小結(jié)，使學(xué)生對定義、命題等概念有更清楚的認(rèn)識，讓學(xué)生在頭腦中對本節(jié)課進(jìn)行系統(tǒng)的歸納與整理，進(jìn)一步理解定義與命題以及它們的區(qū)別和聯(lián)系，從而完成知識的內(nèi)化與升華.

七、分層作業(yè)，內(nèi)化新知

1.必做題：

習(xí)題51第1、2、3題；

2.選做題：

請查閱費爾馬數(shù)、相親數(shù)、圣經(jīng)數(shù)、回文數(shù)、正直數(shù)的定義，并談?wù)勀愕捏w會！

點評 必做題發(fā)展學(xué)生知識整合的能力，選做題讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展.

總評 盧老師展示的精彩課堂給我們留下了深刻的印象，總的說來，體現(xiàn)了如下幾個方面的特點：

1.情境的創(chuàng)設(shè)更加注重聯(lián)系實際

盧老師情境的創(chuàng)設(shè)更加注重聯(lián)系實際，符合數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展的邏輯線索，起到了很好激趣的作用.也就是說，小學(xué)生把家長的“政治面貌”填成“圓形臉”，這個看似好笑的趣事實質(zhì)上是由于小學(xué)生對某些名稱或術(shù)語缺少共識而造成的認(rèn)知沖突，進(jìn)而讓學(xué)生會到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中下定義的重要性，由此導(dǎo)入新課.

2.關(guān)注學(xué)生主體的意識有了明顯的提高

盧老師能根據(jù)學(xué)生的實際情況，注意留給學(xué)生以自主活動的空間，讓學(xué)生要么思考探究，要么實踐練習(xí)、要么合作交流，從而讓學(xué)生有表現(xiàn)自我和自主發(fā)展的機(jī)會.從課堂表現(xiàn)來看，盧老師通過自然、親切語調(diào)，循循善誘，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中得到充分的尊重，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.

3.重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)教學(xué)中注重思想性，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗數(shù)學(xué)中的理性精神，加強(qiáng)數(shù)學(xué)形式下的思考和推理訓(xùn)練，不但引導(dǎo)學(xué)生歸納知識結(jié)構(gòu)，而且要從數(shù)學(xué)思想方法的高度來進(jìn)行概括和總結(jié).盧老師在這個方面做得比較好，比如她把“命題”學(xué)習(xí)的方式方法與“定義”學(xué)習(xí)的方式方法進(jìn)行了類比，取得了良好學(xué)習(xí)效果.

4. 超強(qiáng)的課堂駕馭能力使數(shù)學(xué)課堂充滿魅力

課堂駕馭能力是一個老師組織能力的體現(xiàn)[3].這節(jié)課，盧老師顯示了超強(qiáng)的課堂駕馭能力，她通過簡潔與精煉的語言表達(dá)，有效地組織教學(xué)，使課堂魅力增色不少.在教學(xué)評價方面，盧老師通過適度的表揚調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，不時送給回答精彩的學(xué)生以陣陣掌聲，讓學(xué)生享受到成功的喜悅.

雖然亮點紛呈，但反思盧老師的課堂教學(xué)，感覺某些教學(xué)環(huán)節(jié)還是不同程度地反映出一些問題，需要我們今后去改進(jìn)，那就是：對于合作交流過程不是能完全放得開，感覺不是很到位；對于學(xué)生判斷過程中出現(xiàn)的問題應(yīng)徹底放手讓學(xué)生評析，教師不用作過多的評價，應(yīng)該相信學(xué)生能有很好的表現(xiàn).

參考文獻(xiàn)

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]方均斌.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].成都：四川大學(xué)出版社，2005.endprint