“常微分方程”實驗教學(xué)方法探索

李 萍，趙 武

“常微分方程”實驗教學(xué)方法探索

李 萍1，趙 武2

(1.西南民族大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610041；2.電子科技大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，四川 成都 610054)

“常微分方程”是數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門核心基礎(chǔ)課程，也是學(xué)生解決實際問題常用的數(shù)學(xué)的工具。該文界定了“常微分方程”的教學(xué)內(nèi)容，給出了數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)涵，從 “常微分方程”教學(xué)要求和目的出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)實驗的思想和方法、融入數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化，探討了具體的實驗教學(xué)方法。

常微分方程；數(shù)學(xué)實驗；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)文化

1 常微分方程課程的基本介紹

常微分方程誕生于數(shù)學(xué)與自然科學(xué)進(jìn)行結(jié)合的16～17世紀(jì)，在生產(chǎn)實踐和數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，逐漸成為科學(xué)研究的強有力的工具。許多自然科學(xué)和社會科學(xué)問題的研究，都可以規(guī)劃為常微分方程的求解，如萬有引力定律、生態(tài)種群競爭[1]、期權(quán)定價[2]以及化學(xué)反應(yīng)過程的穩(wěn)定性都可以通過常微分方程建立數(shù)學(xué)模型，并歸結(jié)為微分方程模型解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的研究，從而解決實際問題。

常微分方程是學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)專業(yè)的一門重要的專業(yè)必修課。通過幾年來的教學(xué)實踐，在把握好常微分方程的核心內(nèi)容和特點的基礎(chǔ)上，為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，結(jié)合數(shù)學(xué)建模與計算機應(yīng)用，可以對常微分方程這門課程進(jìn)行實驗教學(xué)探索，使學(xué)生很好地理解和掌握常微分方程的主要方法和內(nèi)容。

2 常微分方程的教學(xué)內(nèi)容

計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院一直采用文獻(xiàn)[3]為教材。此版本是 “十一五”國家級規(guī)劃教材，特點是概念清晰、例題較多、習(xí)題精練，尤其是課后學(xué)習(xí)要點能起到畫龍點睛的作用。學(xué)習(xí)內(nèi)容包括一階微分方程的初等解法[4-5]、一階微分方程解的存在定理、高階微分方程、線性微分方程組等內(nèi)容。

作為綜合性民族院校，學(xué)校每年都招收一定比例的民族學(xué)生，學(xué)生層次水平不平衡，理解能力和專業(yè)水平參差不齊，因此在教學(xué)大綱的基本要求下，對一些復(fù)雜的定理講解，如解的存在唯一性定理、解對初值的連續(xù)性和可微性定理等進(jìn)行了簡化，對證明過程采取講思路的方法，這樣既有教學(xué)效果，也大大提高了授課的效率，更符合少數(shù)民族地區(qū)學(xué)生的總體水平。同時對于一些抽象概念，如向量場、積分曲線，可以通過數(shù)學(xué)實驗作圖，變抽象為具體的理解。對于重點內(nèi)容做到精講，如一階微分方程和常系數(shù)高階線性微分方程的解法，通過數(shù)學(xué)實驗，借助Matlab軟件，比較解析解和數(shù)值解，學(xué)習(xí)解的性質(zhì)，融入數(shù)學(xué)建模，聯(lián)系實際、解決問題。

3 數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)涵

在目前計算機普及應(yīng)用的環(huán)境下，Mathematica、Matlab和Maple逐漸成為數(shù)學(xué)教學(xué)和研究的有效工具。數(shù)學(xué)實驗就是在計算機系統(tǒng)的幫助下，利用常用數(shù)學(xué)軟件工具解決數(shù)學(xué)問題的一種教學(xué)手段，是將數(shù)學(xué)科學(xué)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)技術(shù)的主要途徑。它要求從問題出發(fā)，強調(diào)以學(xué)生自己動手、動腦為主，在教師的指導(dǎo)下用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)的軟件來分析解決一些應(yīng)用問題[6]。其意義不僅僅在于使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識，更重要的在于學(xué)生的獨立參與，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、獨立思考問題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

4 常微分方程教學(xué)方法探討

4.1 應(yīng)用計算機數(shù)學(xué)軟件設(shè)計演示實驗，進(jìn)行驗證性試驗，理解常微分方程的概念、定理及性質(zhì)

對常微分方程教學(xué)而言，常系數(shù)線性齊次方程組的特征值、特征向量、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣、拉普拉斯變換等都是可用數(shù)學(xué)軟件處理的教學(xué)內(nèi)容。而文獻(xiàn)[3]中雖然不涉及計算機數(shù)學(xué)軟件，但是將應(yīng)用于常微分方程的典型例子的語言程序作為了附錄。因此，針對計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院實驗室建設(shè)和學(xué)生實際情況，鼓勵學(xué)生將三種數(shù)學(xué)軟件作為常微分方程的課后自學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)軟件作為輔助性工具，求解常見的一階微分方程的解析解，并對所求結(jié)果進(jìn)行驗證；通過編程求解初值問題進(jìn)一步掌握數(shù)值解法；作圖理解抽象概念等等。這些實驗內(nèi)容既培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，也提高了教學(xué)質(zhì)量[7]。

如在講解第二章一階微分方程的初等解法時，向量場、等傾線、積分曲線都是對于微分方程的近似解求解和微分方程幾何性質(zhì)研究非常重要卻比較抽象的概念。現(xiàn)在將數(shù)學(xué)軟件 (如Matlab)應(yīng)用于教學(xué)，畫出方程的向量場和積分曲線，定性地反映向量場和積分曲線的一些性質(zhì)，就比較形象和直觀，也便于幫助學(xué)生將難以理解的概念和難以想象的圖形形象地表示出來，變抽象為具體，使學(xué)生更加深入地理解的幾何意義。

畫出方程d y/d t＝y(tǒng)(1-y)在區(qū)域D＝ {(x，y)｜0≤x≤6，0≤y≤2} 的向量場和初值條件 y(0) ＝ 0.2 和y(0)＝ 1.8下的積分曲線，向量場用藍(lán)色表示，積分曲線用紅色表示。事實上，學(xué)生只要在Matlab窗口應(yīng)用命令meshgrid創(chuàng)建區(qū)域D的網(wǎng)格矩陣，再通過命令quiver創(chuàng)建D中的向量圖，最后利用plot命令就可以繪制向量場和積分曲線圖。如圖1所示。

圖1 d y/d t＝y(tǒng)(1-y)的向量場及積分曲線

通過實驗，學(xué)生很容易明白方程的一個解就是位于它所確定的向量場中的一條曲線，該曲線所經(jīng)過的每一點都與向量場在這一點的方向相切。從而讓學(xué)生形象地掌握解就是始終沿著向量場中的方向行進(jìn)的曲線。

另一方面，為了杜絕學(xué)生直接套用固定命令得到結(jié)論，不去掌握常微分方程的基本理論、基本知識和基本方法，目前并不提倡占用常微分方程太多課時，而只是作為輔助性分析。

4.2 融入數(shù)學(xué)建模的思想，通過案例教學(xué)，進(jìn)行應(yīng)用性試驗，解決實際問題

常微分方程有廣泛的應(yīng)用背景和現(xiàn)實需要，合理融入數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗的思想和方法，引導(dǎo)學(xué)生用常微分方程來建模解決一些實際問題，做到理論與實際相結(jié)合，既充實了課堂教學(xué)內(nèi)容，又調(diào)動了學(xué)生的積極性與主動性[8-9]。方法是在該課程的教學(xué)中采用 “提出問題—分派任務(wù)—問題分析—模型建立—模型求解—模型解釋”的教學(xué)模式向?qū)W生講清微分方程的實際背景，列出微分方程并進(jìn)行求解，再返回到實際問題中去解釋生活中的實際現(xiàn)象。下面以對工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和治理環(huán)境污染中經(jīng)常要碰到的溶液濃度問題和時間估計模型為教學(xué)案例來分析常微分方程實驗教學(xué)的具體設(shè)計。

1.問題提出:已知容器內(nèi)盛有1 000 kg的清水，若以5 kg/min的速率注入濃度為0.2的鹽水且不停地攪拌，并以同樣的速率排出攪拌后的鹽水，那么經(jīng)過多少時間能使容器內(nèi)的含鹽量達(dá)到100 kg?

1)將學(xué)生5～6人編為一組，每一組選取一名學(xué)生做組長，組長向組成員分配一項主要負(fù)責(zé)任務(wù)，如建立建模、模型求解、程序編寫驗證、成果展示等等，組成員之間相互協(xié)助完成任務(wù)。

2)在問題分析環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際問題做出合理的假設(shè)，讓學(xué)生參與到假設(shè)的過程中，使學(xué)生的思維從現(xiàn)實世界逐漸過渡到數(shù)學(xué)世界中。在本環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)攪拌是在瞬間完成的，即容器中液體濃度任一時刻都是均勻變化的。

3)在模型建立環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)表示重要的變量。比如用函數(shù)表示出t時刻容器內(nèi)的含鹽量、t時刻溶液濃度和含鹽量微元。若y(t)代表t時刻容器內(nèi)的含鹽量，y(0)表示初始時刻容器內(nèi)的含鹽量，那t時刻溶液濃度為:y(t)/1 000。 在[t，t＋d t]時間間隔內(nèi)，進(jìn)鹽量為0.2×5×d t，出鹽量為:0.001×y×5×d t。 指導(dǎo)學(xué)生挖掘變量之間的關(guān)系，得到含鹽量微元，嘗試寫出這些關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即 d y＝d t-0.005y d t， 化簡為d y/d t＋0.005y＝1。

4)模型求解:這是一個一階線性非齊次微分方程，易求得該方程滿足初始條件y(0)＝0的特解為y＝200(1-e-0.005t)。 將y＝100代入特解，即可求得t＝ln2/0.005≈138.62 min。即經(jīng)過約8317 s可使容器內(nèi)的含鹽量達(dá)到100 kg。

5)模型解釋:在獲得了模型的解后，讓學(xué)生代表小組闡述容器內(nèi)含鹽量y隨t的變化究竟是怎樣的規(guī)律。具體實施如下:運用插值法，讓學(xué)生用Matlab畫出容器內(nèi)含鹽量y隨t的變化曲線；讓學(xué)生分組討論曲線所反映的規(guī)律，并用文字來描述。

2.時間估計模型:在凌晨1點警察發(fā)現(xiàn)一具尸體，測得尸體溫度是29℃，當(dāng)時環(huán)境的溫度是21℃，一小時后尸體溫度下降到27℃，如果人的正常體溫是37℃。請幫助警察估計死者的死亡時間。分派任務(wù)與處理溶液濃度模型一致。

1)在問題分析環(huán)節(jié)，向?qū)W生介紹牛頓冷卻定律:將溫度為T的物體放入溫度為T0的介質(zhì)中，則該物體的溫度T的變化速率正比于該物體與周圍介質(zhì)的溫度差T-T0， 即d T/d t＝-k(T-T0)， 其中k＞0，為比例常數(shù)。

2)根據(jù)牛頓冷卻定律，即可容易得到方程。設(shè)該名死者已經(jīng)死亡t1小時，于是根據(jù)題意建立模型:

這是一階微分方程的邊值問題。

3)模型求解:學(xué)生通過分離變量法可得方程的通解為T(t)＝T0＋C e-kt。 把環(huán)境溫度T0＝21和邊界條件代入通解有C＝16， k≈0.2876，t1≈2.409。 于是可知該死者死于2.409 h前，即前一天夜晚10點35分左右。如圖2所示。

圖2 例4.2.2的積分曲線

4)模型解釋:除了指導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)軟件驗證方程的解外，引導(dǎo)學(xué)生分析模型的理想性。上述模型的建立是假設(shè)環(huán)境的溫度恒定為T0＝21℃不變，若死者的死亡時間較短，則上述模型可以很好地推算出死者的死亡時間；但是若死亡時間較長，顯然環(huán)境的溫度應(yīng)該是有變化的。從而上述模型可以改進(jìn)為非自治的情形。

除了溶液濃度模型和時間估計問題，放射性元素衰變問題、人口預(yù)測、射性廢物的處理問題[10]等，都是常見的常微分方程模型。選擇貼近學(xué)生生活現(xiàn)實的模型，教導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)的知識進(jìn)行模型求解，將課程內(nèi)容和數(shù)學(xué)建模內(nèi)容、數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容進(jìn)行有機融合，使學(xué)生在學(xué)習(xí)課堂知識的同時掌握數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗的思想，大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

4.3 滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在常微分方程教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，是指在教學(xué)過程中將數(shù)學(xué)的思想、精神、方法以及數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美等與常微分方程的相關(guān)知識有機融合，讓學(xué)生在收獲知識、提高技能的同時受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，逐漸提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[11]。“如果您的教學(xué)始終只是停留于知識與技能的層面，您就只能算是一個‘教書匠’；如果您的教學(xué)能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維，您就是一個 ‘智者’，您給學(xué)生帶來了真正的智慧；如果您的教學(xué)能給學(xué)生無形的文化熏陶，那您是一個真正的大師，您的生命也因此而充滿了真正的價值”[12]。而常微分方程其獨有的學(xué)科特點保證了在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)文化思想的可行性。比如高階線性微分方程和一階線性微分方程組的相互轉(zhuǎn)化、一階常微分方程初等解法中的變量分離法、常數(shù)變易法、高階常系數(shù)齊次線性方程的歐拉待定指數(shù)函數(shù)法，無不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想。在教學(xué)中注意將知識點融會貫通，學(xué)生就能直觀領(lǐng)悟其中蘊含的化歸等數(shù)學(xué)思想方法。另一方面，還可以結(jié)合數(shù)學(xué)史介紹引出每個階段的授課內(nèi)容，包括相關(guān)數(shù)學(xué)家的趣事和每個理論的來龍去脈、發(fā)展的經(jīng)歷等等。比如在講解歐拉方程時，就可以結(jié)合歐拉的生平和數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，最后指出歐拉雖然后期雙目失明，他還是以驚人的速度撰寫出了生平一半的著作，以此在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生頑強的毅力和孜孜不倦的治學(xué)精神。

5 結(jié)束語

總之，常微分方程的實驗教學(xué)方法需要不斷探索、不斷實踐，并且教師在教學(xué)過程中要及時與實際問題和當(dāng)下建模大賽相結(jié)合，滲透數(shù)學(xué)實驗和數(shù)學(xué)文化的思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，擴大學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，讓學(xué)生看到相關(guān)理論知識的應(yīng)用前景，努力把學(xué)生培養(yǎng)成實踐能力強的應(yīng)用型人才。

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Exploratory Research of Experimental Teaching Method of Ordinary Differential Equation

LI Ping1，ZHAO Wu2
(1.School of Computer Science and Technology， Southwest University for Nationalities， Chengdu 610041， China；2.School of Management and Economics， University of Electronic Science and Technology of China， Chengdu 610054， China)

Ordinary differential equation is a fundament curriculum for the mathematics major.It is also an important tool for students to solve the practical problems.This paper defines the teaching content of the ordinary differential equation and gives the connotation of mathematical experiment.From the objectives and the teaching requirement，combined with the ides and methods of mathematical experiments， mathematical modeling， and mathematical culture， some kinds of experimental teaching methods are explored.

ordinary differential equation； mathematical experiments； mathematical modeling； mathematical culture

G642.0

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2017.05.031

2016-12-23；修改日期:2017-03-21

電子科技大學(xué)高等教育人才培養(yǎng)質(zhì)量和教學(xué)教改項目資助 (2016-2018)；西南民族大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金項目資助 (2017NZYQN12)。

李萍 (1982-)，女，博士，講師，主要從事微分動力系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的研究。