利用幾何直觀，助力學生理解數(shù)學

郭寶珠

“課標（2011版）”提出了“幾何直觀”這一核心概念，那么什么是“幾何直觀”？它的本意是什么？“幾何直觀”是一個組合詞組，它的內涵有兩點：一是幾何，這里是指圖形。二是直觀，直觀的本意是指用感官直接接受的、直接觀察的。這里的直觀是指根據(jù)現(xiàn)在看到以及以前看到的東西進行思考、想象。因此，我們可以把“幾何直觀”理解為依托、利用圖形對數(shù)學的研究對象進行直接感知和整體把握的能力。在教學過程中，什么情況下需要幾何直觀？如何借助幾何直觀進行教學？如何利用幾何直觀幫助學生理解數(shù)學知識的本質？下面我將結合具體例子談談個人的看法。

一、利用幾何直觀，理解運算算理

在數(shù)的運算教學中，很多時候我們只注重算法的教學，強調熟練技能，忽略了算理。其實學生計算能力的提高，不僅僅是提高學生計算的熟練程度，更重要的是引導學生據(jù)“理”而“算”。算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括，它們是相輔相成的。

如：五年級下冊《異分母分數(shù)的加減法》的教學。

1.出示學習單，請學生根據(jù)學習單的要求在小組內自主學習。

（1）想一想、算一算1/2+1/8的結果是多少？

（2）請借助圓片折一折、畫一畫，檢驗計算結果是否正確？

（3）完成后在小組內說一說你是怎樣想的？

2.全班交流算法。在交流過程中引導學生質疑：為什么要把1/2變成4/8？當學生回答把它們化成分母相同的分數(shù)，這樣就好算了！教師追問把二分之一變成八分之四僅僅只是好算嗎？想一想，誰還有更合理的解釋？你能用圖給大家解釋解釋嗎？學生通過直觀的圖形清楚、明白地解釋了異分母分數(shù)相加的計算方法與道理。利用直觀圖教師引導學生體會，分數(shù)的加法和整數(shù)、小數(shù)的加法一樣，都是相同的計數(shù)單位才能相加。

在教學中，教師抓住“為什么要先通分再相加？通分的目的是什么？”這一核心問題引導學生利用圖進行解釋，將數(shù)與形結合起來，讓學生體會只有平均分的份數(shù)相同，也就是分數(shù)單位相同，分子才能相加減的道理，在直觀感知中不僅理解了異分母分數(shù)加減法的算理，而且進一步理解了分數(shù)、整數(shù)、小數(shù)加減法的計算在本質上是一致的，即相同的計數(shù)單位才能相加減。

在人教版教材中，像這樣借助幾何直觀來幫助學生理解抽象的算理的例子還有很多，如：利用點子圖來理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，利用長方形模型來理解分數(shù)乘法的算理，利用線段圖來幫助理解分數(shù)除法的算理，利用面積模型來理解乘法分配率等。因此在教學過程中，教師應抓住數(shù)學本質設計相關的核心問題，借助幾何直觀讓學生充分的探究、質疑，充分挖掘算理背后的道理，將推理與算理建立聯(lián)系，做到明“理”而“算”，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

二、利用幾何直觀，理解數(shù)學概念

概念是數(shù)學的基本細胞，概念之間形成“網(wǎng)絡”就構成了數(shù)學的基本內容。因此概念的學習無疑被看成是數(shù)學學習十分重要的一環(huán)。但由于數(shù)學概念的高度抽象性與小學生思維的具體形象性之間的矛盾，造成了學生學習概念存在記憶或背誦概念的形式化定義的現(xiàn)象，因此在概念教學中我們應當借助幾何直觀和學生已有的經(jīng)驗，創(chuàng)設合適的教學情境，在探究活動中，把直觀形象和感覺經(jīng)驗進行合理的抽象，幫助學生理解、建立相應的數(shù)學概念。

如《平均數(shù)》的教學。在學生初步感知、理解平均數(shù)的意義后，教師利用直觀圖設計以下教學過程，讓學生進一步理解平均數(shù)的意義。

（1）（依次出示下圖）平均數(shù)會不會在這兒？為什么？利用直觀圖幫助學生建立平均數(shù)的取值范圍，它既不是一組數(shù)中最小的數(shù)，也不是最大的數(shù)，平均數(shù)一定在這組數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)之間。

（2）（依次出示下圖）猜猜C的位置？說說你是怎樣想的？

教師沒有給學生提供具體的數(shù)據(jù)，而是提供平均數(shù)的位置以及長短不一的直條，猜C的位置。學生習慣用計算的方法解決問題，但是沒有數(shù)據(jù)怎么計算？學生的思維受阻之后，必然會另辟蹊徑，利用直觀通過“移多補少”進行合情推理，得到C的位置。借助幾何直觀把抽象問題還原于直觀問題，幫助學生理解平均數(shù)是一個什么樣的數(shù)，有什么意義和作用，使原本看不見摸不著的平均數(shù)，清晰地站在學生面前。

小學數(shù)學教材中的許多概念，如：“分數(shù)的認識”、“小數(shù)的認識”可以借助“面積模型”、“數(shù)線模型”等來幫助學生理解、建立概念；“周長的認識”可以利用多媒體直觀演示讓學生首先“看一周”，接著“摸一周”，“描一周”，最后先估再量“一周的長”，這些直觀的感知、操作活動，使抽象的概念對于學生而言變得豐富和生動起來，而不再是一種空洞的“詞匯游戲”。

三、利用幾何直觀，分析解決問題

解決實際問題是數(shù)學教學的重要目標，也是當下培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的目標之一。在數(shù)學教學中，我們常常發(fā)現(xiàn)學生對解決實際問題，特別是具有一定難度或步驟較多的實際問題容易產(chǎn)生緊張、畏難等心理，長此以往必將影響學生的學習興趣，阻礙學生的發(fā)展。而“幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”

如，“媽媽買了2千克蘋果和5千克梨，共用去10.8元，已知買2千克梨的錢可以買1千克蘋果，每千克蘋果、梨各多少錢？”

題目中文字比較拗口，數(shù)學關系復雜，學生不容易理清數(shù)量之間的關系，但是如果將文字上的數(shù)量關系轉化為如下的線段圖表示時，數(shù)量關系就一目了然了。

人教版教材中的一些例題，如：三年級上冊“倍的認識”以及“歸一和歸總的問題”；五年級上冊的用方程解決“相遇問題”；六年級的分數(shù)、百分數(shù)應用題等，教材在編排上都借助了直觀的線段圖幫助學生理解題意，提煉題中的數(shù)量關系。

其實借助圖形解決問題，通常要把研究的對象轉化成圖形，這樣就把對象之間的聯(lián)系轉化為圖形之間的關系，再借助圖形直觀進行思考、分析并解決問題。這樣為學生分析問題、解決問題能力的發(fā)展提供了“拐杖”，發(fā)展了學生的思維能力，提升學生數(shù)學素養(yǎng)，為學生持續(xù)發(fā)展奠定扎實基礎。endprint

四、利用幾何直觀，發(fā)展思維能力

幾何直觀與邏輯、推理是不可分的。它需要依靠邏輯的支撐。幾何直觀不僅僅只是看到了什么？更重要的是通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數(shù)學非常重要而有價值的思維方式。它會把現(xiàn)在看到的與以前學到的結合起來，通過思考、想象、猜想出一些可能的結論和論證思路，這就是合情推理，它為嚴格證明結論奠定了基礎。

如《三角形的內角和》一課，我根據(jù)“觀察——猜想——驗證”環(huán)節(jié)設計了以下教學過程。

1.課件動態(tài)演示引導學生觀察

（1）課件出示一個銳角，接著連接銳角邊上的兩點形成一個銳角三角形。

（2）課件第二次出示這個銳角，旋轉它的一條邊把它變成一個直角，連接直角邊上的兩點形成一個直角三角形。

（3）課件第三次出示這個銳角，旋轉它的一條邊把它變成鈍角，連接鈍角邊上的兩點形成一個鈍角三角形。（最后如下圖）

2.觀察、猜想

（1）仔細觀察這三個三角形，你認為哪個三角形的內角和最大？說說你的想法。有的學生認為鈍角三角形的內角和最大，因為鈍角最大。有的學生認為是一樣大的，雖然鈍角三角形中鈍角最大，但是它的其他兩個角都比較小。

（2）繼續(xù)觀察，現(xiàn)在繼續(xù)旋轉鈍角三角形的一條邊，使這個鈍角不斷的變大、變大、再變大……你看到了什么？學生發(fā)現(xiàn)：鈍角三角形中鈍角越變越大，而另外兩個銳角越來越小。

（3）想象一下，如果這個鈍角繼續(xù)變大，它就越來越接近…（平角、180度），而另外兩個角的大小會怎樣？

（4）由此想來，三角形的內角和可能是多少度？

學生猜想：三角形的內角和可能是180度。

師：這是我們的猜想，那么三角形的內角和到底是不是180°呢？你有什么辦法來驗證？

我們知道猜想要有一定依據(jù)，不能憑空猜想。本環(huán)節(jié)教師創(chuàng)設了動態(tài)的直觀圖，讓學生觀察、體會三角形三個內角的變化有此消彼長的現(xiàn)象，但變化有一定的極限：就是不大于180度。這一教學環(huán)節(jié)，讓學生經(jīng)歷了觀察、猜想的過程，一方面有利于培養(yǎng)學生的觀察能力和空間想象能力，形成良好的空間知覺；另一方面為形成猜想，探索三角形的內角和奠定基礎。

“觀察——猜想——驗證”這本身就是一個幾何直觀的過程。在小學數(shù)學教材中一些公式、運算定律、探究規(guī)律等知識，均可以遵循這樣的教學過程，創(chuàng)設合理情境讓學生從觀察和猜想開始，通過自主探索、體驗和感受數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展思維能力，提升數(shù)學素養(yǎng)。endprint