基于ARIMA模型與GM(1,1)模型的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)預(yù)測(cè)對(duì)比分析

潘 靜，張 穎，劉 璐

（北京林業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100083）

基于ARIMA模型與GM(1,1)模型的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)預(yù)測(cè)對(duì)比分析

潘 靜，張 穎，劉 璐

（北京林業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100083）

居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)反映一定時(shí)期內(nèi)我國(guó)城鄉(xiāng)居民所購(gòu)買的生活消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)格變動(dòng)趨勢(shì)和程度的相對(duì)數(shù)，是宏觀經(jīng)濟(jì)分析與決策、價(jià)格總水平監(jiān)測(cè)與調(diào)控的重要指標(biāo)，同時(shí)也是反映通貨膨脹的重要指標(biāo)。文章運(yùn)用歷史數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)學(xué)模型對(duì)CPI進(jìn)行了科學(xué)合理的預(yù)測(cè)。在此基礎(chǔ)上運(yùn)用ARIMA模型和GM(1,1)模型對(duì)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)的對(duì)比分析。

居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)；ARIMA模型；GM(1,1)模型；預(yù)測(cè)

0 引言

居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）反映一定時(shí)期內(nèi)我國(guó)城鄉(xiāng)居民所購(gòu)買的生活消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)格變動(dòng)趨勢(shì)和程度的相對(duì)數(shù)，通過(guò)CPI可以觀察和分析消費(fèi)品的零售價(jià)格和服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)格變動(dòng)對(duì)城鄉(xiāng)居民實(shí)際生活費(fèi)支出的影響程度。CPI既是宏觀經(jīng)濟(jì)分析與決策、價(jià)格總水平監(jiān)測(cè)與調(diào)控以及國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算的重要指標(biāo)，也是反映通貨膨脹的重要指標(biāo)，這一指標(biāo)影響著政府制定貨幣、財(cái)政、消費(fèi)、價(jià)格、工資、社會(huì)保障等政策，同時(shí)也與居民日常生活密切相關(guān)。因此，運(yùn)用歷史數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)學(xué)模型對(duì)CPI進(jìn)行科學(xué)合理的預(yù)測(cè)是進(jìn)行宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控的重要手段。

1 模型介紹

1．1 ARIMA模型

ARIMA模型，即自回歸積分滑動(dòng)平均模型，該模型將時(shí)間序列視為隨機(jī)過(guò)程，用一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述，當(dāng)該模型可以確定時(shí)，就可用該時(shí)間序列的過(guò)去值和現(xiàn)值來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)值。該模型考察了時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)特征、持續(xù)特征，揭示了時(shí)間序列過(guò)去與現(xiàn)在、將來(lái)與現(xiàn)在的相互關(guān)系，適用于短期時(shí)間預(yù)測(cè)。

若時(shí)間序列Yt經(jīng)過(guò)d次差分之后，生成平穩(wěn)序列μt，則ARIMA(p,d,q)模型為：

其中，c是常數(shù)，φ為自回歸模型系數(shù)，θ為移動(dòng)平均模型系數(shù)，εt為白噪聲序列。p為自回歸模型的階數(shù)，q為移動(dòng)平均階數(shù)。ARIMA模型分析分為4個(gè)階段，即序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)、模型初步識(shí)別、模型參數(shù)估計(jì)和模型診斷分析。

1．2 GM(1,1)模型

GM(1,1)模型以灰色理論為基礎(chǔ)，是灰色系統(tǒng)理論中運(yùn)用最廣泛的一種動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型，模型由一個(gè)單變量的一階微分方程構(gòu)成?；疑Ｐ偷膬?yōu)點(diǎn)是可以利用較少的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

假設(shè)原始觀測(cè)序列為x0(k)為非負(fù)序列，其中，則x1(k)為x0(k)的一次累加序列。GM(1,1)模型為：

其中，z1(k)為x1(k)的緊鄰均值，即為待定系數(shù)，分別表示發(fā)展系數(shù)和灰色作用量。根據(jù)最小二乘法可得：

2 數(shù)據(jù)來(lái)源

按照統(tǒng)計(jì)制度的相關(guān)規(guī)定，目前我國(guó)的CPI實(shí)行基期輪換制度，CPI基期輪換是一項(xiàng)國(guó)際慣例，目的是使CPI調(diào)查所涉及到的商品和服務(wù)更具有代表性，更及時(shí)準(zhǔn)確反映居民消費(fèi)結(jié)構(gòu)的新變化和物價(jià)的實(shí)際變動(dòng)。國(guó)家統(tǒng)計(jì)局從2016年1月開(kāi)始使用新一輪的對(duì)比基期，上一輪基期輪換為2010年。為保證數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)口徑上的一致性，本文以國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的2010年1月至2015年12月月度CPI同比價(jià)格為數(shù)據(jù)樣本。根據(jù)兩個(gè)模型的特點(diǎn)，2010年1月至2015年12月的數(shù)據(jù)建立ARIMA預(yù)測(cè)模型，2015年1月至2015年12月的數(shù)據(jù)建立GM(1,1)預(yù)測(cè)模型。樣本選擇同期對(duì)比數(shù)據(jù)，以上年同月價(jià)格為基期形成的數(shù)據(jù)具有連慣性、交叉性，更符合時(shí)間序列信息延伸的特征。

3 模型分析

3．1 ARIMA模型

ARIMA模型建模的步驟為：（1）平穩(wěn)性檢驗(yàn)；（2）模型定階；（3）模型的參數(shù)估計(jì)及檢驗(yàn)，具體如下：

（1）平穩(wěn)性檢驗(yàn)。建立預(yù)測(cè)模型前，先檢驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本的平穩(wěn)性。首先繪制時(shí)間序列圖，見(jiàn)圖1。通過(guò)觀察CPI的時(shí)間序列圖，可以發(fā)現(xiàn)CPI序列值存在較大的波動(dòng)，無(wú)明顯的隨時(shí)間變動(dòng)趨勢(shì)，結(jié)合自相關(guān)函數(shù)以及ADF檢驗(yàn)，判定其平穩(wěn)性。CPI序列的相關(guān)系數(shù)明顯落在隨機(jī)區(qū)域外，ADF檢驗(yàn)結(jié)果表明，t=-0.807，均大于1%、5%、10%顯著水平下的臨界值，同時(shí)p值大于0.5，表明CPI序列存在單位根，可認(rèn)定該序列為非平穩(wěn)序列。

圖1 CPI時(shí)間序列圖

首先考慮月度數(shù)據(jù)的季節(jié)性波動(dòng)，利用CensusX12季節(jié)調(diào)整法對(duì)CPI序列進(jìn)行季節(jié)調(diào)整，得到CPI季節(jié)調(diào)整序列，通過(guò)CPI季節(jié)調(diào)整序列的自相關(guān)圖可以看出，該序列仍非平穩(wěn)，為了消除CPI季節(jié)調(diào)整序列趨勢(shì)的影響，對(duì)其進(jìn)行一階差分，生成一階差分序列，從一階差分序列的自相關(guān)圖可以看出，一階差分后基本消除了CPI的趨勢(shì)，差分結(jié)果見(jiàn)圖2。差分處理后，進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，ADF檢驗(yàn)結(jié)果表明t=-10.402，此時(shí)1%水平的臨界值為-3,537、5%水平的臨界值為-2.908、10%水平的臨界值為-2.591，t值小于各個(gè)顯著水平下的臨界值，同時(shí)p值小于0.5，表明CPI序列不存在單位根，該序列平穩(wěn)。

圖2 一階差分后的CPI時(shí)序圖

（2）模型定階。建立ARIMA模型需要先對(duì)模型進(jìn)行識(shí)別，選擇滯后階數(shù)，然后進(jìn)行參數(shù)估計(jì)、模型檢驗(yàn)以及趨勢(shì)預(yù)測(cè)。CPI數(shù)據(jù)進(jìn)行差分后成為平穩(wěn)序列，建立ARIMA(p,d,q)模型。由于一階差分后，消除了CPI序列的趨勢(shì)，所以差分階數(shù)d=1。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征確定ARIMA模型中p、q的階數(shù)，即p=12、q=1或q=2。預(yù)選模型為ARIMA(12,1,1)和ARIMA(12,1,1)。

（3）模型的參數(shù)估計(jì)及檢驗(yàn)。利用EViews軟件，對(duì)預(yù)選模型ARIMA(12,1,1)和ARIMA(12,1,2)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，結(jié)果如下頁(yè)表1所示。

表1 ARIMA(12,1,1)模型與ARIMA(12,1,2)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

根據(jù)表1可以看出，ARIMA(12,1,1)模型的各項(xiàng)指標(biāo)均優(yōu)于ARIMA(12,1,2)模型，因此ARIMA(12,1,1)為預(yù)測(cè)的最佳模型。

對(duì)上述模型進(jìn)行檢驗(yàn)，模型的殘差序列通過(guò)白噪聲檢驗(yàn)，即表示該模型已經(jīng)提取了樣本中的所有相關(guān)信息，模型構(gòu)建合理。根據(jù)殘差序列的自相關(guān)圖進(jìn)行模型檢驗(yàn)?？梢钥闯?，Q統(tǒng)計(jì)量伴隨的p值均大于0.5，說(shuō)明ARIMA(12,1,1)模型的殘差序列滿足隨機(jī)性假設(shè)，即模型構(gòu)建合理，可以用于進(jìn)行預(yù)測(cè)。

（4）預(yù)測(cè)結(jié)果

利用ARIMA(12,1,1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如表2所示。

表2 ARIMA(12,1,1)模型CPI預(yù)測(cè)值

3．2 G(1,1)模型

利用SPSS軟件對(duì)CPI序列進(jìn)行GM(1,1)模型預(yù)測(cè)分析。建模過(guò)程如下：（1）在SPSS中定義初始時(shí)間序列以及序列值；（2）建立時(shí)間序列方程；（3）建立灰色模型的一階線性微分方程，得出發(fā)展系數(shù)α、灰色作用量β的值；（4）利用上述結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)；（5）模型檢驗(yàn)。

通過(guò)分析GM(1,1)模型為：

其中，a=-0.0002,β=101.37022。對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，G(1,1)模型檢驗(yàn)主要有兩個(gè)指標(biāo)，即標(biāo)準(zhǔn)差比C和小誤差概率P。經(jīng)計(jì)算上述模型中C=S1/S2=0.51＜0.65，p=0.75＞0.7，該模型的精度等級(jí)為3級(jí)，可以用于預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表3所示。

表3 GM(1,1)模型CPI預(yù)測(cè)值

4 結(jié)論及討論

根據(jù)ARIMA(12,1,1)模型以及G(1,1)模型對(duì)CPI進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。采用平均絕對(duì)誤差率（MAD）來(lái)比較兩個(gè)模型預(yù)測(cè)的效果，MAD=平均誤差絕對(duì)值/實(shí)際值的均值，具體見(jiàn)表4。

由表4可見(jiàn)，在對(duì)CPI預(yù)測(cè)的過(guò)程中，ARIMA(12,1,1)模型的平均絕對(duì)誤差率高于GM(1,1)模型，即GM(1,1)模型對(duì)CPI的預(yù)測(cè)能力高于ARIMA模型(12,1,1)。圖3為ARIMA(12,1,1)模型以及G(1,1)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖。

表4 ARIMA(12,1,1)模型與GM(1,1)模型CPI預(yù)測(cè)對(duì)比

圖3 ARIMA(12,1,1)模型與GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖

ARIMA模型的優(yōu)點(diǎn)是可以把影響CPI變化的各個(gè)因素的綜合效應(yīng)融入時(shí)間序列變量之中，利用時(shí)間序列的季節(jié)趨勢(shì)、變化趨勢(shì)等統(tǒng)計(jì)原理進(jìn)行闡述，同時(shí)可以不斷地對(duì)模型進(jìn)行修正，直至得到滿意的模型。GM(1,1)模型的優(yōu)點(diǎn)在于可以利用較少的數(shù)據(jù)便可以對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)進(jìn)行主要變量特征值的擬合，已達(dá)到揭示這一變量隨時(shí)間增長(zhǎng)的變化規(guī)律以及發(fā)展趨勢(shì)。

CPI是宏觀經(jīng)濟(jì)中重要的指標(biāo)之一，對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)是進(jìn)行宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控的重要手段，本文運(yùn)用ARIMA模型和GM(1,1)模型對(duì)CPI預(yù)測(cè)，從預(yù)測(cè)過(guò)程、結(jié)果對(duì)比兩個(gè)角度進(jìn)行了深入研究。根據(jù)研究結(jié)果，在進(jìn)行宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控過(guò)程中，應(yīng)充分考慮CPI的季節(jié)變化趨勢(shì)，以達(dá)到更有效調(diào)控的目的。

[1]孫少巖,逯家英,王化波.基于ARIMA模型對(duì)吉林省失地人口的研究[J].人口學(xué)刊,2016,36(4).

[2]陳燦煌.我國(guó)農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格指數(shù)短期預(yù)測(cè)——基于時(shí)間序列分解的分析[J].價(jià)格理論與實(shí)踐,2011,(7).

[3]張勃,劉秀麗.基于ARIMA模型的生態(tài)足跡動(dòng)態(tài)模擬和預(yù)測(cè)——以甘肅省為例[J].生態(tài)學(xué)報(bào),2011,31(20).

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F222

A

1002-6487（2017）20-0110-03

全國(guó)統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究重大項(xiàng)目（2017LD03）

潘 靜（1988—），女，吉林白山人，博士研究生，研究方向：林業(yè)資源經(jīng)濟(jì)與環(huán)境管理。

張 穎（1964—），男，陜西梅縣人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：自然資源核算。

(責(zé)任編輯/易永生)