基于強(qiáng)化區(qū)間線性規(guī)劃的工程項(xiàng)目模糊多目標(biāo)均衡優(yōu)化

蔣紅妍，王鑫業(yè)，布亞軍

（西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055）

基于強(qiáng)化區(qū)間線性規(guī)劃的工程項(xiàng)目模糊多目標(biāo)均衡優(yōu)化

蔣紅妍，王鑫業(yè)，布亞軍

（西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055）

文章考慮工程項(xiàng)目實(shí)施過(guò)程中的不確定因素，建立工期、成本、質(zhì)量模糊均衡優(yōu)化（FTCQP）模型；運(yùn)用分解定理、強(qiáng)化區(qū)間線性規(guī)劃（EILP）方法，求出各目標(biāo)的最優(yōu)值區(qū)間；進(jìn)一步引入模糊偏好關(guān)系，運(yùn)用模糊折衷規(guī)劃法，得到FTCQP模型的最優(yōu)模糊折衷解。最后通過(guò)案例分析驗(yàn)證了方法的合理性、有效性和可操作性。

模糊多目標(biāo)優(yōu)化；風(fēng)險(xiǎn)水平；強(qiáng)化區(qū)間線性規(guī)劃；模糊折衷規(guī)劃；模糊偏好關(guān)系

0 引言

工程項(xiàng)目的工期-成本-質(zhì)量均衡優(yōu)化問(wèn)題（time-costqualitytrade-offproblem,TCQP）是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。工程項(xiàng)目實(shí)施過(guò)程中存在諸如場(chǎng)地條件、天氣狀況、管理水平等不確定因素[1]，使工期、成本、質(zhì)量目標(biāo)具有模糊性，因此研究模糊環(huán)境下的工程項(xiàng)目工期-成本-質(zhì)量均衡優(yōu)化問(wèn)題（fuzzy time-cost-quality trade-off problem,FTCQP）更符合工程實(shí)際情況[2]。

已有研究在建立FTCQP模型的基礎(chǔ)上，部分學(xué)者運(yùn)用模糊多屬性效用相關(guān)理論[3，4]，只給出了一組最優(yōu)方案；部分學(xué)者設(shè)計(jì)了智能算法得到了Pareto解[5，6]，由于Pareto解分布范圍廣，使決策者選擇最優(yōu)解仍是一個(gè)多目標(biāo)過(guò)程，無(wú)法完成全部的決策過(guò)程[7]；還有學(xué)者運(yùn)用模糊折衷規(guī)劃法，得到模型最優(yōu)折衷解的變化范圍[8]，但解空間內(nèi)存在不可行解。不僅如此，上述研究還存在未考慮決策風(fēng)險(xiǎn)、決策者偏好等實(shí)際因素，導(dǎo)致求解結(jié)果無(wú)法為決策者提供有益信息等問(wèn)題。本文擬在建立FTCQP模型的基礎(chǔ)上，引入決策風(fēng)險(xiǎn)、模糊偏好關(guān)系，運(yùn)用強(qiáng)化區(qū)間線性規(guī)劃(enhanced interval linear programming，EILP)方法，改善FTCQP模型的求解，從而使求解結(jié)果能更好的輔助決策者決策。

1 模糊集理論

模糊數(shù)是一個(gè)連續(xù)的模糊集合，具有以下性質(zhì)：凸?fàn)顟B(tài)，即隸屬函數(shù)有一個(gè)明顯的峰；正常狀態(tài)，即保證集合中至少有一個(gè)元素隸屬度為1。這兩個(gè)性質(zhì)決定了模糊數(shù)特別適于描述不確定的數(shù)值。本文采用三角模糊數(shù)來(lái)表示項(xiàng)目中的不確定量，如工序持續(xù)時(shí)間可用N=(l,n,r)表示，其隸屬度函數(shù)見圖1，圖中l(wèi)、n、r三點(diǎn)分別代表工序在最樂(lè)觀、最可能、最悲觀情況下持續(xù)時(shí)間的取值。

圖1 工序持續(xù)時(shí)間的隸屬度函數(shù)和α截集

由分解定理知，任意模糊數(shù)的α截集為區(qū)間數(shù)。圖1中，三角模糊數(shù)N=(l,n,r)，其α截集是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)閉區(qū)間，可記為，其中α∈[0,1]，稱為風(fēng)險(xiǎn)（置信）水平，簡(jiǎn)稱水平；分別為區(qū)間的左、右邊界。

2 FTCQP模型的建立

2．1 定義與假設(shè)

工序施工一般會(huì)采用正常模式，也可能采用壓縮模式。本文建立的FTCQP模型基于以下定義與假設(shè)。

（1）僅當(dāng)施工持續(xù)時(shí)間小于正常模式施工持續(xù)時(shí)間的左邊界時(shí)，工序才以壓縮模式施工[9]。

（2）假定在壓縮模式下施工時(shí)，工作的直接成本與其持續(xù)時(shí)間成反比關(guān)系；用成本變化率（）表示單位壓縮時(shí)間對(duì)工序直接成本的影響程度，其計(jì)算公式見下頁(yè)式（1）。

（3）由于在實(shí)際施工中，很少考慮采用壓縮模式對(duì)施工間接成本的影響，本文忽略間接成本，用直接成本代替總成本。但本文方法同樣適用于考慮間接成本的情況；

（4）假定在壓縮模式下施工，工序持續(xù)時(shí)間與質(zhì)量成正比關(guān)系；用質(zhì)量變化率（）表示單位壓縮時(shí)間對(duì)工序質(zhì)量的影響程度，其計(jì)算公式見式（2）。

（5）用0～1間的連續(xù)數(shù)值表示某項(xiàng)工序的質(zhì)量，越接近1表示工序質(zhì)量越好；整個(gè)工程的質(zhì)量等于各項(xiàng)工序的質(zhì)量加權(quán)。

2．2 模型建立

基于上述定義和假設(shè)，為使工期最短、成本最低、質(zhì)量水平最高，建立如式（3）所示的FTCQP模型：

式（3）中，i為工序編號(hào)；k為工序i所有緊后工序中開始時(shí)間最早的工序，i，k=1,2,…,m，m為工序總個(gè)數(shù)；p為關(guān)鍵路徑上的工序集合；為工序i的實(shí)際持續(xù)時(shí)間；為工序i以正常模式施工的持續(xù)時(shí)間、施工成本、質(zhì)量；ωi為工序i的質(zhì)量權(quán)重；為工序i的最早開始時(shí)間;為工序i以壓縮模式施工的持續(xù)時(shí)間。

3 FTCQP模型的求解

式（3）中，目標(biāo)函數(shù)和約束條件均含模糊數(shù)，其求解實(shí)質(zhì)上是一個(gè)模糊線性規(guī)劃問(wèn)題，應(yīng)首先對(duì)其中的模糊數(shù)進(jìn)行去模糊化處理。為在優(yōu)化過(guò)程中反映出決策風(fēng)險(xiǎn)，本文選用截集法來(lái)處理模糊數(shù)；將模糊數(shù)處理為區(qū)間數(shù)后，便可運(yùn)用區(qū)間線性規(guī)劃的相關(guān)理論和方法來(lái)求解模型。

區(qū)間線性規(guī)劃是指系數(shù)含有區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃方法，其所需信息量少且求解方便，因此在不確定性優(yōu)化問(wèn)題中得到了廣泛應(yīng)用，并已證明效果良好。

本文選用區(qū)間線性規(guī)劃的EILP方法來(lái)求解模型，該方法具有計(jì)算時(shí)間短、效率高、優(yōu)化過(guò)程中能直接反映不確定性、可保證所求非極端解在最終解空間絕對(duì)可行等優(yōu)點(diǎn)[10]。但EILP方法一般用于單目標(biāo)區(qū)間優(yōu)化問(wèn)題的求解，且因優(yōu)化結(jié)果為最優(yōu)值區(qū)間，無(wú)法得到最優(yōu)值的確定值。因此，本文將在EILP優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用模糊折衷規(guī)劃來(lái)求解多目標(biāo)問(wèn)題的最優(yōu)折衷解。

3．1 FTCQP模型的去模糊化處理

采用截集法對(duì)式（3）進(jìn)行去模糊化處理，并按區(qū)間數(shù)運(yùn)算法則整理，得到如下的區(qū)間數(shù)TCQP模型，見式（4）。

3．2 EILP模型構(gòu)造及求解

EILP方法求解區(qū)間規(guī)劃的基本思路是：先利用強(qiáng)化區(qū)間不確定性定理，對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行處理，將模型分解為上限、下限兩個(gè)子模型；再求解這兩個(gè)子模型得到各目標(biāo)的最優(yōu)解區(qū)間及最優(yōu)值區(qū)間。

為不失普遍性，本文以式（5）所示的區(qū)間線性規(guī)劃模型為例，闡述EILP方法對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件處理的方法，方法的理論依據(jù)及詳細(xì)證明參見文獻(xiàn)[11-12]。

首先應(yīng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行處理。設(shè)式（5）的目標(biāo)函數(shù)中，前t個(gè)系數(shù)為正其余(J-t)個(gè)系數(shù)為負(fù)為降低EILP模型目標(biāo)函數(shù)的不確定度，引入適宜區(qū)間(AI±)替換原來(lái)的目標(biāo)函數(shù),(AI±)定義為：

用適宜區(qū)間替換式（5）中的目標(biāo)函數(shù)后，原目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為MaxAI+和MaxAI-兩個(gè)子目標(biāo)函數(shù)，分別如式（7）、式（8）所示。

為保證得到最優(yōu)決策，還應(yīng)對(duì)式（5）的約束條件進(jìn)行處理。根據(jù)EILP方法，求解MaxAI+子目標(biāo)函數(shù)時(shí)，約束條件的處理結(jié)果為式（9）：

聯(lián)立式（7）和式（9），可得到式（5）的上限子模型。求解該模型可得到最優(yōu)解以及最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)

求解MinAI-子目標(biāo)函數(shù)時(shí)，約束條件的處理結(jié)果為式（10）：

上述約束條件中的第2個(gè)約束是為保證EILP的最優(yōu)解絕對(duì)可行，在求解MinAI-時(shí)增加的額外約束條件，其中ε為式（9）約束條件中滿足：1,…,J)的約束條件的個(gè)數(shù)。

聯(lián)立式（8）和式（10）得到式（5）的下限子模型，求解該模型得到以及最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)下限，由此得到式（5）最優(yōu)解區(qū)間和最優(yōu)函數(shù)值區(qū)間。

最小化優(yōu)化問(wèn)題中目標(biāo)函數(shù)和約束條件處理方法類似，不再贅述。

對(duì)于式（4）中的問(wèn)題，先按照上述EILP方法處理該式的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，然后按照成本型目標(biāo)先求目標(biāo)函數(shù)下限、效益型目標(biāo)先求目標(biāo)函數(shù)上限的原則，建立式（4）的EILP上限子模型，如式（11）所示：

將各目標(biāo)函數(shù)當(dāng)作式（11）約束條件下的單目標(biāo)問(wèn)題求解，分別得到及及及其中，為水平α下，目標(biāo)s在約束條件下最優(yōu)解的左、右邊界。

利用上述求解結(jié)果，按照成本型目標(biāo)求目標(biāo)函數(shù)上限，效益型目標(biāo)求目標(biāo)函數(shù)下限的原則，建立式（4）的EILP下限子模型，如式（12）所示：

將各目標(biāo)當(dāng)作式（12）約束條件下的單目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行求解，分別得到及及及

3．3 FTCQP模型的最優(yōu)折衷解

由于模型中工期、成本、質(zhì)量各目標(biāo)間相互矛盾、彼此制約，幾乎不存在使每個(gè)目標(biāo)均達(dá)到最優(yōu)的解，因此需要設(shè)法求得其最優(yōu)折衷解，使所有目標(biāo)的綜合隸屬度整體評(píng)價(jià)值最大。本文采用模糊折衷規(guī)劃法來(lái)尋求多目標(biāo)問(wèn)題的最優(yōu)折衷解，其求解步驟如下。

首先，根據(jù)求出的各目標(biāo)最優(yōu)值上下邊界，利用式（13）、式（14）定義各目標(biāo)的相對(duì)優(yōu)屬度，以量化水平α下，第s個(gè)目標(biāo)的函數(shù)值相對(duì)該目標(biāo)最優(yōu)值的優(yōu)越程度。

然后，采用最大隸屬度偏差法，利用式（15）對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行整體評(píng)價(jià)[13]。

式（15）中，(Dq)α為水平α下，方案到負(fù)理想解的加權(quán)Minkowski距離；q為正實(shí)數(shù)；λs為目標(biāo)s的權(quán)重；φ-為負(fù)理想解的目標(biāo)優(yōu)屬度。對(duì)于式（4）中的問(wèn)題，φ-={0,0,0}。

欲得到折衷解，應(yīng)使折衷解離負(fù)理想解越遠(yuǎn)越好，即求式（16）。由此，式（3）中的模糊多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化成式（16）的模糊折衷規(guī)劃問(wèn)題。

式（16）中各目標(biāo)的權(quán)重值直接影響到優(yōu)化結(jié)果。考慮到?jīng)Q策者對(duì)各目標(biāo)的偏好程度不同，本文采用文獻(xiàn)[14]的方法，引入模糊偏好關(guān)系來(lái)計(jì)算各目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重，使優(yōu)化結(jié)果能更好地反映決策者偏好信息。表1列出了主要的模糊偏好關(guān)系。

表1 模糊偏好關(guān)系及其含義

通過(guò)上述步驟，求得FTCQP模型在水平α下的最優(yōu)折衷解；當(dāng)α取遍可行域內(nèi)所有值時(shí)，可求得FTCQP模型的全部最優(yōu)折衷解。本文FTCQP模型建立和求解的步驟如圖2所示。

圖2 FTCQP模型的建立及求解流程

4 案例分析

結(jié)合圖3所示的某項(xiàng)目單代號(hào)網(wǎng)絡(luò)圖，說(shuō)明并驗(yàn)證本文提出的方法。該網(wǎng)絡(luò)圖包含7項(xiàng)工序，首尾各有一個(gè)虛工序，各工序的基本參數(shù)如表2所示。

表2 項(xiàng)目各工序的基本參數(shù)

圖3 某項(xiàng)目單代號(hào)網(wǎng)絡(luò)圖

該項(xiàng)目決策者對(duì)各目標(biāo)的模糊偏好關(guān)系為Z2＜＜Z1，Z2＜Z3，Z3＜Z1，利用文獻(xiàn)[14]中的方法，求得該項(xiàng)目工期、成本、質(zhì)量的權(quán)重分別為0.43、0.24、0.33。取式（16）中q=1，運(yùn)用基于MATLAB2012a平臺(tái)的計(jì)算機(jī)程序得到該項(xiàng)目在不同水平α下，各目標(biāo)的最優(yōu)值區(qū)間和最優(yōu)折衷解，如表3、表4所示。

表3 不同風(fēng)險(xiǎn)水平下各目標(biāo)的最優(yōu)值區(qū)間

表4 不同風(fēng)險(xiǎn)水平下最優(yōu)折衷解及相關(guān)信息

鑒于篇幅原因，表3中只列出了部分風(fēng)險(xiǎn)水平下各目標(biāo)最優(yōu)值的變化范圍。當(dāng)α水平較低時(shí)，決策風(fēng)險(xiǎn)較高，各目標(biāo)最優(yōu)值的變化范圍較大；隨著α水平增加，決策風(fēng)險(xiǎn)降低，各目標(biāo)最優(yōu)值的變化范圍也隨之變小。從整體來(lái)看，利用本文算法求得的工期、成本最優(yōu)值區(qū)間變動(dòng)范圍較廣，質(zhì)量水平均較高，能從不同角度和風(fēng)險(xiǎn)水平下反映出工程項(xiàng)目各目標(biāo)的最好、最劣情況。

表4列出了多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的部分最優(yōu)折衷解及其相關(guān)信息。決策者可通過(guò)比較整體評(píng)價(jià)值的大小，判斷出各風(fēng)險(xiǎn)水平下最優(yōu)折衷解的優(yōu)劣；但由于整體評(píng)價(jià)值大的方案往往風(fēng)險(xiǎn)也較高，所以決策時(shí)還應(yīng)結(jié)合表3中的計(jì)算結(jié)果，考慮不同方案的風(fēng)險(xiǎn)和不確定度，通過(guò)權(quán)衡整體評(píng)價(jià)值大小和決策風(fēng)險(xiǎn)擇優(yōu)選擇。

由此可見，采用本文提出的方法，不僅能得到多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)方案，還能為決策者提供風(fēng)險(xiǎn)大小、目標(biāo)可能的變動(dòng)范圍等更多有益信息，方便決策者科學(xué)決策；另外，本文采用枚舉所有風(fēng)險(xiǎn)水平的做法，可以考慮優(yōu)化過(guò)程中關(guān)鍵路徑的變化情況。相比其他多目標(biāo)優(yōu)化方法，本文的計(jì)算方法更簡(jiǎn)捷，求解結(jié)果更加符合工程項(xiàng)目的實(shí)際需求。

5 結(jié)論

本文針對(duì)工程項(xiàng)目管理目標(biāo)的不確定性，建立了以工序?qū)嶋H持續(xù)時(shí)間為決策變量的FTCQP模型，并創(chuàng)造性地運(yùn)用EILP方法和模糊折衷規(guī)劃法對(duì)模型進(jìn)行求解，得到了不同風(fēng)險(xiǎn)水平下各目標(biāo)最優(yōu)值的變化范圍和多目標(biāo)問(wèn)題的最優(yōu)折衷解。算法中所運(yùn)用的EILP方法，能顯著降低目標(biāo)函數(shù)的不確定度，可為后續(xù)決策提供非極端區(qū)間范圍；風(fēng)險(xiǎn)水平的考慮，使決策者在決策之初就能根據(jù)自身風(fēng)險(xiǎn)的接受程度，把握一定風(fēng)險(xiǎn)水平下各目標(biāo)的變動(dòng)范圍及多目標(biāo)的整體情況；優(yōu)化過(guò)程中枚舉所有風(fēng)險(xiǎn)水平的做法，可展示關(guān)鍵路徑隨風(fēng)險(xiǎn)水平的變化，彌補(bǔ)了已有研究中對(duì)此未有考慮的不足；基于模糊偏好關(guān)系的權(quán)重確定，能在優(yōu)化過(guò)程中充分體現(xiàn)決策者的偏好信息，可有效輔助實(shí)際決策?？傮w看來(lái)，本文提出的方法不僅考慮了決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的接受程度和其對(duì)各目標(biāo)的偏好程度，還在求解方式上更加靈活、切合實(shí)際，可以得到保證解空間絕對(duì)可行的最優(yōu)解變化范圍，為決策者提供了有力依據(jù)。

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Fuzzy Multi-objective Trade-off of Construction Project Based on Enhanced Interval Linear Programming Method

Jiang Hongyan,WangXinye,Bu Yajun

(1.School of Civil Engineering,Xi'an University of Architecture&Technology,Xi'an 710055,china)

In view of the uncertainty during construction process,this paper constructs a fuzzy trade-off model about time,cost and quality(FTCQP).Firstly,the paper works out the optimal value interval by use of the decomposition theorem and enhanced interval linear programming(EILP)method.And then the paper introduces fuzzy preference relation and employs fuzzy compromise programming to obtain the optimal compromise solution of FTCQP model.Finally a case analysis is done to verify the rationality,effectiveness and operability of the proposed method.

fuzzy multi-objective optimization;risk level;enhanced interval linear programming;fuzzy compromise programming;fuzzy preference relation

F224

A

1002-6487（2017）20-0172-05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51408459）

蔣紅妍（1974—），女，陜西富平人，副教授，研究方向：土木工程建造與管理。

王鑫業(yè)（1993—），女，四川成都人，碩士研究生，研究方向：工程經(jīng)濟(jì)與項(xiàng)目管理。

布亞軍（1992—），女，山東陽(yáng)谷人，碩士研究生，研究方向：工程經(jīng)濟(jì)與項(xiàng)目管理。

(責(zé)任編輯/易永生)