2017年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題趨勢分析*

廣州市第十六中學(xué)(510100) 溫伙其

2017年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題趨勢分析*

廣州市第十六中學(xué)(510100) 溫伙其

重視數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教育是新課程實(shí)施的重要標(biāo)志,無論是數(shù)學(xué)課標(biāo)、數(shù)學(xué)教材,還是高考數(shù)學(xué)試題,無不充分體現(xiàn).迄今,涉及生產(chǎn)和生活實(shí)際的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題已經(jīng)成為每年高考數(shù)學(xué)試卷的必考內(nèi)容,旨在考核學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的基本素養(yǎng),展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和創(chuàng)新意識.因此,剖析提煉2017年各地高考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的命題特點(diǎn)與命題趨勢,有助于深化數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)實(shí)踐,提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的意識與能力.

1.2017年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題題型及內(nèi)容分布

據(jù)統(tǒng)計(jì),2017年全國高考數(shù)學(xué)試卷共14套,其中,全國I—III卷(文理),北京、山東、天津卷(文理),浙江、江蘇卷(不分文理).這些試卷涉及的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題題型、分值、知識點(diǎn)等,具體分布如

表1 2017年高考數(shù)學(xué)試卷中的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題分布

(接上表)2017年高考數(shù)學(xué)試卷中的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題分布

縱觀表1,不難發(fā)現(xiàn):

(1)從題型與分值看,無論是文理分卷、文理同卷,一般地,每份試卷設(shè)置1—2道客觀題(選擇題、填空題)和一道解答題(浙江卷只有2道填空題,江蘇卷有3道選擇題,全國I卷理科有3道客觀題,全國III卷理科有4道客觀題),每套試卷分值在8—32之間,占比5.33%—21.33%,解答題分值為12、13或 16.

(2)從數(shù)學(xué)內(nèi)容與難度看,內(nèi)容主要涉及概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)列、排列組合、線性規(guī)劃、基本不等式、平面幾何、立體幾何、函數(shù)及圖象、邏輯推理等,其中,除江蘇的立體幾何解答題外,其他解答題均為概率統(tǒng)計(jì)問題,難度處于中等偏易.

(3)從背景看,選材緊密聯(lián)系生產(chǎn)和生活實(shí)際,關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn),加強(qiáng)對應(yīng)用意識的培養(yǎng)和考查,力求解決生產(chǎn)問題.如經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域:“銷售酸奶利率”出現(xiàn)在全國理科III卷第18題,“購買貨物使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小”出現(xiàn)在江蘇卷第10題;生活領(lǐng)域:“連續(xù)劇播放時(shí)長、廣告播放時(shí)長、收視人次”出現(xiàn)在天津文科卷第16題,“汽車經(jīng)過十字路口遇到紅燈”出現(xiàn)在天津理科卷第16題;農(nóng)業(yè)領(lǐng)域:根據(jù)給定的指標(biāo),“來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度”出現(xiàn)在全國文科I卷第2題,“海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比”出現(xiàn)在全國理科II卷第18題;教育領(lǐng)域:“大學(xué)藝術(shù)專業(yè)學(xué)生參加某次測評”出現(xiàn)在北京文科卷第17題,“甲、乙、丙、丁四位同學(xué)詢問成語競賽的成績”出現(xiàn)在全國理科II卷第9題;醫(yī)療領(lǐng)域:“研究新藥的療效,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)”出現(xiàn)在北京理科卷第17題;旅游領(lǐng)域:“旅游愛好者計(jì)劃到亞洲國家和歐洲國家去旅游”出現(xiàn)在山東理科卷第10題,“為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量”出現(xiàn)在全國文科III卷第3題;科研領(lǐng)域:“在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗(yàn)的方法評價(jià)不同心理暗示對人的影響”出現(xiàn)在山東理科卷第18題,“為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關(guān)系”出現(xiàn)在山東理科卷第5題.

2.2017年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的命題特點(diǎn)

2.1 立足基礎(chǔ)知識,滲透數(shù)學(xué)文化的考查

《2017年普通高考數(shù)學(xué)考試大綱》修改部分,特別強(qiáng)調(diào)在高考中增加對數(shù)學(xué)文化的考查.今年的高考應(yīng)用題,努力挖掘我國古代數(shù)學(xué)的精髓,選取體現(xiàn)中國古代優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化,并與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合的素材編擬試題.在考查基礎(chǔ)知識、基本思想方法的同時(shí),引導(dǎo)考生深刻認(rèn)識中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深和源遠(yuǎn)流長,并予以傳承.

例1 (全國理科I卷第2題)如圖1,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖,正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( )

圖1

結(jié)合數(shù)學(xué)文化中的太極圖來考查幾何概型符合考綱新增的要求.解題過程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的對稱性,使學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展了幾何直觀能力,增強(qiáng)了運(yùn)用圖形解決問題的意識,提高了數(shù)形相結(jié)合的能力.本題不僅增加了對于數(shù)學(xué)文化的考查,還利用圖形的對稱性來分析問題,體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的直觀想象.此題綜合考查了學(xué)生的幾何直觀能力、分析能力和計(jì)算能力,是一道符合考綱的綜合性好題.

例2(全國理科II卷第3題)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

本題選自于我國明朝著名數(shù)學(xué)家程大位其名著《算法統(tǒng)宗》中記載數(shù)學(xué)問題的一首詩.學(xué)生通過閱讀材料,既能感受古詩的美,又可了解古代數(shù)學(xué)文化.并對古詩提供的信息進(jìn)行分析、判斷和整理,提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,構(gòu)造出等比數(shù)列模型,知項(xiàng)數(shù)(七層)、公比(倍加增)、前n項(xiàng)和(共燈三百八十一)求a1(問尖頭幾盞燈).

除此以外,浙江卷第11題考查了古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”估算圓周率π,北京理科卷第8題考查了圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限,這些題目都散發(fā)著濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息,隱藏著豐富的數(shù)學(xué)知識,它們的解決需要學(xué)生的閱讀能力、理解能力、運(yùn)算能力、建模能力.

2.2 概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用問題是高考數(shù)學(xué)的考查主干

再次縱觀表1,主觀題中,14套高考試卷中,除浙江卷外每套試卷的解答題中都有1道應(yīng)用問題;而13套應(yīng)用問題考查中,考查統(tǒng)計(jì)概率有12道(江蘇卷的考查為立體幾何),數(shù)量比重為92.3%;客觀題中,共考查27道應(yīng)用問題,考查統(tǒng)計(jì)概率有16道,數(shù)量比重為59.3%.概率統(tǒng)計(jì)是高考考核的重中之重,分值占應(yīng)用題比例為76.4%.符合考綱對數(shù)據(jù)處理能力的要求:主要是考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的基本方法和思想解決實(shí)際問題的能力.

2.3 突出對圖表信息等數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)的考核

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的呈現(xiàn)形式,不僅僅滿足于文字語言和符號語言,相反,現(xiàn)在以豐富多樣的各種圖形語言出現(xiàn).它要求學(xué)生識別圖表,使用圖表進(jìn)行獲取數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,這緊扣《2017年普通高考數(shù)學(xué)考試大綱》提出五種能力中的數(shù)據(jù)處理能力,即收集、整理、分析數(shù)據(jù),能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息,并作出判斷[1].如頻率分布直方圖出現(xiàn)于全國文科II卷第19題、全國理科II卷第18題、北京文科卷第18題;折線圖出現(xiàn)于全國III卷第3題(文理相同);散點(diǎn)圖出現(xiàn)于北京理科卷第14題、第17題;莖葉圖出現(xiàn)于山東文科卷第8題;四棱柱出現(xiàn)于江蘇卷第18題;同時(shí)大量的二維表格出現(xiàn)在題目中,這里不再一一列舉.對于頻率分布直方圖、折線圖、散點(diǎn)圖即為平面直角坐標(biāo)系類,應(yīng)清晰橫縱坐標(biāo)的幾何意義,變量互相之間的線性或函數(shù)關(guān)系.

3.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)的若干建議

3.1 重視圖表法解高考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,條件較多,數(shù)量關(guān)系復(fù)雜,變量錯(cuò)綜變化,用一般的方法解比較繁瑣.圖表法,它既符合《2017年普通高考數(shù)學(xué)考試大綱》提出空間想象能力的要求:會(huì)用圖形與圖表等手段形象揭示問題的本質(zhì)[2];又有助于清晰解題思路,使復(fù)雜問題形象化,降低空間難度,達(dá)到去偽存真,化繁為簡,化難為易的目的.下面以線性規(guī)劃和邏輯推理來闡述列表法的操作和應(yīng)用.

例3(天津文科卷第16題)電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時(shí),需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí),連續(xù)劇播放時(shí)長、廣告播放時(shí)長、收視人次如下表所示:

連續(xù)劇播放時(shí)長(分鐘)廣告播放時(shí)長(分鐘)收視人次(萬)甲705 60乙60 5 25

已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘,廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).

(I)用x,y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;

(II)問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使總收視人次最多?

分析 由題意列表如下

連續(xù)劇播放時(shí)長(分鐘)廣告播放時(shí)長(分鐘)收視人次(萬)甲x 70x 5x 60x乙y 60y 5y 25y約束條件≤600≥30

則約束條件為:

該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域如圖2:

圖2

設(shè)總收視人次為z萬,則目標(biāo)函數(shù)為z=60x+25y變形為畫圖2所以由圖2可知,當(dāng)直線z=60x+25y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí),截距最大,即z最大.解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3).所以電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多.

一般地,線性規(guī)劃問題的特點(diǎn)有兩個(gè)變量,為了避免混淆,通過列出二維表格,方便理清各個(gè)量之間關(guān)系.題目每一個(gè)條件對應(yīng)二維表格中的一行(一列),對應(yīng)就是一個(gè)不等式,把所有不等式綜合一起則為約束條件(不等式組),不等符號隱藏于“不多于”“不少于”等文字語言.而對目標(biāo)函數(shù)的處理,先寫出函數(shù)解析式,再轉(zhuǎn)化為帶幾何意義的三種模型:截距型y=kx+z、截斜率型和距離型最后做出約束條件和目標(biāo)函數(shù)的圖象即可直觀發(fā)現(xiàn)最值.

例4(全國理科II卷第7題)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則( )

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C. 乙、丁可以知道對方的成績

D. 乙、丁可以知道自己的成績

分析 只要掌握關(guān)鍵:四人所知只有自己看到、老師所說及最后甲說話,題目即轉(zhuǎn)化為以下四個(gè)事件

步驟事件原因結(jié)論事件1老師的回答你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好四人中有2位優(yōu)秀,2位良好事件2甲看乙、丙的成績四人中有2位優(yōu),2位良,且甲不知道自己成績1.乙、丙的成績:1優(yōu)1良;2.甲、丁的成績:1優(yōu)1良事件3乙看丙的成績乙、丙的成績:1優(yōu)1良.乙知道自己成績事件4丁看甲的成績甲、丁的成績:1優(yōu)1良.丁知道自己成績

故選D.

波利亞的《怎樣解題》表提到“第一步:你必須弄清問題,未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)是什么?條件是什么?畫張圖,引入適當(dāng)?shù)姆?第二步:找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系.”[3]列表法非常直觀體現(xiàn)已知和未知,尋找量與量之間的聯(lián)系;它還有利于把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,甚至可向圖形語言邁進(jìn).本題考查邏輯推理,題干內(nèi)容幾乎都是文字語言.在推理過程中,每一步驟包含一個(gè)事件(數(shù)據(jù)),就是一行,隱藏一個(gè)原因(條件已知),可以推導(dǎo)一個(gè)結(jié)論(未知).

3.2 重視非統(tǒng)計(jì)概率型數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)

熟練解決應(yīng)用問題的一般方法,優(yōu)化解題的閱讀、建模、解模、檢驗(yàn)四個(gè)環(huán)節(jié).把平時(shí)的課堂教學(xué)的重點(diǎn)放在如何提高學(xué)生的閱讀能力即審題能力和怎樣提升學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題能力這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)上.

例5 (2017北京理科卷第14題)三名工人加工同一種零件,他們在一天中的工作情況如圖3所示,其中Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),i=1,2,3.

圖3

(1)記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1,Q2,Q3中最大的是___.

(2)記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù),則p1,p2,p3中最大的是___.

分析 第一步,審題:掌握信息Ai表示第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)(已知);Bi表示第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)(已知);求一天加工的零件總數(shù)最多的工人(未知);求一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)最多的工人(未知).

圖4

圖5

[1]教育部考試中心.2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱[M].北京:高等教育出版社,2016.

[2]教育部考試中心.2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱[M].北京:高等教育出版社,2016.

[3][美]波利亞著,涂泓,馮承天譯.怎樣解題[M].上海:上?？萍汲霭嫔?2011.

*本文系廣州市越秀區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題—基于視覺化表征高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)研究(課題批準(zhǔn)號:越學(xué)科類[2016]08)和廣州市越秀區(qū)科技工業(yè)和信息化局立項(xiàng)課題—基于視覺化表征高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)研究(課題批準(zhǔn)號:軟科學(xué)研究計(jì)劃2016-JY-012)階段性研究成果