一道不定積分的解法與教學(xué)探討

劉國(guó)祥，劉 眾

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000；2.松山區(qū)職教中心，內(nèi)蒙古 赤峰 024009）

一道不定積分的解法與教學(xué)探討

劉國(guó)祥1，劉 眾2

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000；2.松山區(qū)職教中心，內(nèi)蒙古 赤峰 024009）

本文給出不定積分dx(a＞0）的幾種換元解法.并探討在教學(xué)中如何培養(yǎng)思維定式與創(chuàng)新意識(shí).

不定積分；分部積分法；換元積分法；創(chuàng)新意識(shí)

1 積分的幾種換元解法

1.1 常規(guī)第二換元法

這是一種流行的常規(guī)解法，一般的文獻(xiàn)上都給出，例如礦爺[1]指出：

其中第二個(gè)積分中，我們?cè)O(shè)t=tanu,有

看似簡(jiǎn)單的題目，運(yùn)用常規(guī)（基本）方法，運(yùn)算非常復(fù)雜.其中中間一部也可以這樣處理：設(shè)t=tanu.

1.2 先分母有理化，再三角換元法

這是一種典型的積分形式，運(yùn)用三角變換：x=asint.

1.3 先分子有理化，再三角換元法

運(yùn)用三角變換：x=asint.

以下與方法2完全一樣.

1.4 直接三角換元法

根據(jù)被積函數(shù)形式特點(diǎn)，嘗試直接換元，設(shè)x=acos2t.

1.5 湊微分法（第一換元法）

2 教學(xué)探討

綜觀給出的五種解法，都屬于換元積分法，其中有第一類換元法，也有第二類換元法.自然想到能不能用分部積分法？試一試.

沒(méi)有變簡(jiǎn)單反而更復(fù)雜了，看來(lái)不用換元法行不通.

上邊給出的五種方法，第一種是多數(shù)教材和文獻(xiàn)上提供的常規(guī)解法，可以說(shuō)是一種“定式”，按照陳文燈[2]的說(shuō)法，“不管三七二十一”，這類題目都首先想到這種解法.我們也看到，這個(gè)方法運(yùn)算最繁瑣.第二、第三解法其實(shí)是同一種，只有不同的是有理化分母與分子的區(qū)別.中學(xué)用到多的是分母有理化，而大學(xué)中更多的是分子有理化.轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)含有式子的積分形式，采用變換x=asint,或者x=cost也成為常規(guī).第四種換元方法是針對(duì)被積函數(shù)的特殊形式采取的，不具有一般性.被積函數(shù)式子稍有變化，可能就行不通.第五種方法最簡(jiǎn)潔，直接用積分公式.幾種方法的結(jié)果形式不完全一樣，從容易看出2、3、5與4一致.至于1，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)或者三角變換可以推得.

在課外輔導(dǎo)和考研輔導(dǎo)時(shí)，經(jīng)常有學(xué)生問(wèn)，這么多方法，那種是最好的.我對(duì)學(xué)生的回答是：對(duì)你來(lái)說(shuō)，你想到的那種，你會(huì)使用的那種，就是最好的.學(xué)生很難把幾種方法都掌握，當(dāng)然也沒(méi)有必要.但是對(duì)于這類常規(guī)的、經(jīng)典的題型，至少要熟練一種解法.掌握那種呢？第一，你喜歡的；第二，常規(guī)的.不要過(guò)分追求新奇的‘巧妙的’解法，熟才能生巧，不熟，“巧”，你也記不住.

作為教師，是不是每種方法都講解呢，當(dāng)然不是.有的題目，人為地也不一定能夠羅列出多種解法，即使有，也不一定非得都講.但是，對(duì)于個(gè)別的典型的題目，偶爾不妨多種解法全講，精講.一是讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的美妙，提高興趣感到數(shù)學(xué)可愛(ài)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種享受；二是擴(kuò)展學(xué)生眼界，“見(jiàn)多”才能“識(shí)廣”；三是讓學(xué)生進(jìn)行比較選擇.無(wú)論怎么講授，常規(guī)解法一定要介紹.那么，問(wèn)題來(lái)了，解法一是常規(guī)的，也是最復(fù)雜的，或許是學(xué)生最不喜歡的.其實(shí)，除方法四之外，上述每個(gè)解法都是常規(guī)的，經(jīng)典的，只是教材上沒(méi)有提及.這體現(xiàn)了教師的水平與經(jīng)驗(yàn)，教師的價(jià)值和作用也就體現(xiàn)在這里.你講授的與教材上完全一樣，學(xué)生自學(xué)吧，用教師干啥.

現(xiàn)在最時(shí)髦的話是創(chuàng)新，解題方法有沒(méi)有創(chuàng)新呢，怎么創(chuàng)新呢？我們說(shuō)，只有精通一門學(xué)問(wèn)，充分認(rèn)識(shí)了它的方法與規(guī)律，也就是說(shuō)只有基本功扎實(shí)，才會(huì)有創(chuàng)新，創(chuàng)新從傳統(tǒng)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)積累中來(lái).創(chuàng)新與創(chuàng)業(yè)最怕的是失敗，甚至有時(shí)我們失敗不起.解題創(chuàng)新從試驗(yàn)中來(lái)（這里我更喜歡用《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中意思相同的的“試驗(yàn)”一詞），數(shù)學(xué)創(chuàng)新不怕失敗，可以說(shuō)失敗是損失最小的，只是一支筆一張紙.好多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)不好的主要原因是解題少，動(dòng)筆少.讓看書可以，就是不動(dòng)筆.不動(dòng)筆讀數(shù)學(xué)書，我至今也不會(huì).

養(yǎng)成習(xí)慣，看到一個(gè)題目，書上的解法算一算，其它方法試一試，或許就有創(chuàng)新，就有新的收獲.

例如不定積分 ∫xarcsinxdx，一般的文獻(xiàn)上都強(qiáng)調(diào)，這是一種“定式”，先分部積分.解題過(guò)程發(fā)現(xiàn)還需要用第二類換元法.

其中用到換元x=sint.

試驗(yàn)一下，能不能先換元呢？最難處理的是arcsinx，我們：

設(shè) arctanx=t，則 x=sint

換元以后，成為常規(guī)的分部積分的“定式”.

這兩種解法，一般教材上介紹第一種，沒(méi)有提到第二種，學(xué)生得到，就是一個(gè)創(chuàng)新.

聯(lián)想：不定積分 ∫xlnxdx，“定式”解法是分部積分法，能不能先換元呢？試一試：

設(shè) lnx=t，那么，x=e'，dx=e'dt則

由此，我們可以猜測(cè)，典型的幾類用分部積分的題型，都可以用換元積分法解決.如：被積函數(shù)是Pn(x)arcsinx,Pn(x)arccosx,Pn(x)arctanx,Pn(x)lnx等.

〔1〕蘇德礦，李錚，鐵軍.考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化復(fù)習(xí)全書[M].北京:北京理工大學(xué)出版社，2016.91.

〔2〕陳文燈.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南[M].北京：世界圖書出版公司，2017.123-126.

〔3〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2011.8.

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