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    兩類數(shù)列不等式的證明探析

    2017-11-02 03:05:50彭耿鈴
    關(guān)鍵詞:泉州市通項對數(shù)

    彭耿鈴

    福建省泉州市第七中學(xué) (362000)

    兩類數(shù)列不等式的證明探析

    彭耿鈴

    福建省泉州市第七中學(xué) (362000)

    不等式的證明因其思維跨度大、構(gòu)造性強,需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性,能全面而綜合地考查學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)潛能,因而成為高考試題考查的極好素材,倍受青睞.本文就此類題目進(jìn)行總結(jié)梳理,希望讀者能決勝于高考.

    一、對數(shù)型數(shù)列不等式的證明探析

    例1 (2014年陜西理科卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x)(x≥0),其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

    (Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x))(n∈N+),求gn(x)的表達(dá)式;

    (Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

    (Ⅲ)設(shè)n∈N,比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小,并加以證明.

    (Ⅰ)用a表示b,c;

    (Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;

    小結(jié):在證明對數(shù)型數(shù)列不等式,其常用的證明方法是設(shè)數(shù)列不等式的左、右兩邊分別為Sn、Tn,只要控制Sn的通項an大于或小于Tn的通項bn即可,而證明an>bn(an

    二、常數(shù)形數(shù)列不等式的證明探析

    例3 (2014年新課標(biāo)全國Ⅱ卷)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

    (Ⅰ)若x1,x3,x5成等比數(shù)列,求參數(shù)λ的值;

    總結(jié):在證明常數(shù)形數(shù)列不等式,其常用的證明方法是構(gòu)造一個小于或大于不等式的右邊常數(shù)的數(shù)列和Tn,只要控制不等式左邊的通項an大于或小于Tn的通項bn即可.

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