平面幾何問題的解題對策

吳文堯

浙江省寧波市北侖中學(xué) (315800)

平面幾何問題的解題對策

吳文堯

浙江省寧波市北侖中學(xué) (315800)

平面幾何是學(xué)習(xí)平面解析幾何和立體幾何的基礎(chǔ),也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它還是高中數(shù)學(xué)競賽必考內(nèi)容.本文通過一道試題的解答，簡要介紹解決平面幾何問題的若干常用對策，供大家參考.

圖1

解題對策之一：解析法

分析：對于一個確定的ΔABC,M,N是兩個動點(diǎn),因此直線MN是動直線,若在直角坐標(biāo)系中研究問題,易見本題是一個“證明動直線過定點(diǎn)”的問題；因此本題可按照解決證明動直線過定點(diǎn)的“套路”進(jìn)行.

解答:以直線BC為x軸，線段BC的中垂線為y建立直角坐標(biāo)系如圖2，設(shè)B(-m,0)，則C(m,0)，

圖2

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

評注：(1)解析法的本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，它的最大優(yōu)勢是容易想到，且解題的過程可以程序化，其解題步驟可總結(jié)如下：

(A)建坐標(biāo),要合理——即建立合理坐標(biāo)系，盡可能多的把圖中的已知點(diǎn)安裝在坐標(biāo)軸上，還需照顧到圖形的對稱性.

(B)相關(guān)點(diǎn),坐標(biāo)化——求出問題涉及的圖形中所有點(diǎn)的坐標(biāo).

(C)作運(yùn)算,得結(jié)論——把要解決的幾何問題化歸為解析幾何中的計(jì)算問題，明確運(yùn)算目標(biāo)，再“裝腔作勢”地進(jìn)行合理的運(yùn)算，得到所需的結(jié)論.

(2)本題比較自然的想法是：先求出直線MN及直線OA的方程，然后求其交點(diǎn)的坐標(biāo)；但這種解決運(yùn)算太繁，不具有可操作性.

解題對策之二:三角法

分析：不難發(fā)現(xiàn)，解決本題的關(guān)鍵是證明AG0=2G0O，即只需證明點(diǎn)G0的位置與λ1,λ2的取值無關(guān)，所以本題也可以看成是一個定值問題.注意到本題給出的圖形與三角中的張角公式“使用環(huán)境”非常匹配，因此也可考慮用三角方法解決之.

圖3

評注：三角法是解決平面幾何問題的重要方法之一,通?？砂哑矫鎺缀蔚淖C明問題化歸為三角函數(shù)的計(jì)算問題,思路自然,且有很強(qiáng)的可操作性.

解題對策之三:向量法

分析:要證明直線MN過ΔABC的重心G,即證明M,N,G三點(diǎn)共線,而平面向量在解決三點(diǎn)共線的問題時(shí)有較大的優(yōu)勢,因此也可把原問題化歸為平面向量的運(yùn)算問題來解決.

圖4

評注:“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”(數(shù)學(xué)大師華羅庚先生語).數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的思想方法之一，而平面向量是“數(shù)”和“形”之間天然的橋梁.上述解法的關(guān)鍵如何把M,G0,N三點(diǎn)共線這個條件“翻譯”成關(guān)于λ,λ1,λ2的方程；其思路之自然，運(yùn)算之簡單，令人拍案叫絕.

解題對策之四:傳統(tǒng)法.

分析：本題的解題目標(biāo)是直線MN過ΔABC的重心，即證明直線MN分ΔABC的一條中線所成的比為2：1，即題目的條件和結(jié)論均涉及直線MN分ΔADC三邊所成的比，所以可考慮利用梅涅勞斯定理解之.

圖5

評注：傳統(tǒng)方法的最大優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算簡單、過程簡捷,其不足之處是在應(yīng)試中“想不到”；解決問題的過程其實(shí)是溝通條件和結(jié)論“感情”的過程，若注意對比條件和結(jié)論差異和共同點(diǎn)，合理地選擇利用平面幾何中的重要定理，通常還是能自然地想到解題的方法和思路.

學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)后,與初中階段相比,知識面更廣了,看數(shù)學(xué)問題的觀點(diǎn)也更高了,所以在解決平面幾何問題時(shí),解決問題的方法選擇有很大的余地;根據(jù)題目的具體情況,結(jié)合自己的特長,一般能找到到合適的解決問題的途徑.