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    “三數(shù)兩差”中的典型問(wèn)題分析

    2017-11-01 16:03:36學(xué)
    初中生世界 2017年39期
    關(guān)鍵詞:乙班甲班節(jié)約用水

    陳 學(xué)

    “三數(shù)兩差”中的典型問(wèn)題分析

    陳 學(xué)

    在“數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)與離散程度”這一章中我們主要學(xué)習(xí)了“三數(shù)”和“兩差”,即體現(xiàn)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的“三數(shù)”——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及體現(xiàn)數(shù)據(jù)離散程度的“兩差”——極差、方差.

    一、平均數(shù)

    平均數(shù)分為算數(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù).

    平均數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征的數(shù)字,平均數(shù)的大小與樣本的每一個(gè)數(shù)據(jù)都相關(guān).它是一組數(shù)據(jù)的“重心”.

    例1 節(jié)約用水、保護(hù)水資源,是全社會(huì)共同的責(zé)任,某校開(kāi)展“節(jié)約每一滴水”活動(dòng),為了解一個(gè)月以來(lái)節(jié)約用水情況,從九年級(jí)的500名同學(xué)中選出20名同學(xué)統(tǒng)計(jì)了解各自家庭一個(gè)月的節(jié)水情況,見(jiàn)下表:

    請(qǐng)你估計(jì)這500名同學(xué)的家庭一個(gè)月節(jié)約用水的總量大約是____.

    【分析】根據(jù)表格可求得所選出的20名同學(xué)平均每家一個(gè)月的節(jié)水量:(0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1)÷20=0.325(m3),所以500名家庭一個(gè)月節(jié)約用水的總量大約為500×0.325=162.5(m3).

    【答案】162.5m3.

    (1)當(dāng)f1=f2=…=fk=1時(shí),即k=n時(shí),加權(quán)平均數(shù)公式就是平均數(shù)公式.

    (2)各數(shù)據(jù)的權(quán)改變,加權(quán)平均數(shù)也隨之改變.

    同學(xué)們不妨改變題中的數(shù)據(jù)試一試.

    二、中位數(shù)

    一般地,當(dāng)將一組數(shù)據(jù)按照由小到大(或從大到?。┑捻樞蚺帕泻螅幵谧钪虚g位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或正中間位置的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

    例2 一組數(shù)據(jù)27,30,29,28,30的中位數(shù)是____.

    【分析】把這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列為27,28,29,30,30,最中間的數(shù)為29,所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29.

    【答案】29.

    例3 一組數(shù)據(jù)4,3,6,9,6,5的中位數(shù)是____.

    【分析】把這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列為3,4,5,6,6,9,最中間的兩個(gè)數(shù)5和6的平均數(shù)為5.5,所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5.5.

    【答案】5.5.

    【點(diǎn)評(píng)】(1)求中位數(shù)時(shí),數(shù)據(jù)必須按序排列,如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù),最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù),那么最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);

    (2)中位數(shù)不一定是已知數(shù)據(jù)中的數(shù)(如例3,中位數(shù)是5.5,但不是原數(shù)據(jù)中的數(shù)).

    三、眾數(shù)

    一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能有一個(gè),也可能不止一個(gè).

    例4 某排球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡如下表所示:

    求該隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù).

    【分析】由眾數(shù)定義可知,數(shù)據(jù)19出現(xiàn)4次,次數(shù)最多,所以該隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù)為19歲.

    【點(diǎn)評(píng)】眾數(shù)是“數(shù)”出來(lái)的,只要理解相關(guān)概念,問(wèn)題不難解決.

    四、極差

    一組數(shù)據(jù)中,最大值與最小值之差稱為極差,它能體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動(dòng)的范圍.

    例5 在演奏比賽中,某班8名學(xué)生成績(jī)分別為80,80,85,90,90,90,90,95,則這8名學(xué)生成績(jī)的極差是多少?

    【分析】根據(jù)極差的定義,找出最大數(shù)與最小數(shù)即可求出極差為15.

    五、方差

    方差也是描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量,它是各個(gè)數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù).在許多實(shí)際問(wèn)題中,研究方差有著重要意義.

    例6 某校八年級(jí)學(xué)生開(kāi)展踢毽子比賽活動(dòng),每班派5名學(xué)生參加.按團(tuán)體總分排列名次,在規(guī)定時(shí)間每人踢100個(gè)以上(含100個(gè))為優(yōu)秀.下表是成績(jī)最好的甲班和乙班5名學(xué)生的比賽數(shù)據(jù)(單位:個(gè)),經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)兩班總分相等,此時(shí)有學(xué)生建議,可通過(guò)考查數(shù)據(jù)中的其他信息作為參考.請(qǐng)你回答下列問(wèn)題:

    (1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)填寫下表:

    (2)根據(jù)以上信息,你認(rèn)為應(yīng)該把冠軍獎(jiǎng)狀發(fā)給哪一個(gè)班級(jí)?簡(jiǎn)述理由.

    【分析】(1)甲班優(yōu)秀人數(shù)為3人,乙班優(yōu)秀人數(shù)為2人,除以總數(shù)即得優(yōu)秀率;將數(shù)據(jù)分別從小到大排列,即可得中位數(shù);方差是各個(gè)數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù).

    (2)理解各數(shù)據(jù)表達(dá)的意義即可解答.

    【答案】

    (1)

    (2)應(yīng)該把冠軍獎(jiǎng)狀發(fā)給甲班.

    因?yàn)閮砂嗟钠骄窒嗤?,但甲班的?yōu)秀率比乙班高,比賽數(shù)據(jù)的中位數(shù)也比乙班大,同時(shí)甲班比賽數(shù)據(jù)的方差比乙班小,說(shuō)明甲班的成績(jī)比較穩(wěn)定.

    綜合分析,甲班的成績(jī)好,所以應(yīng)該把冠軍獎(jiǎng)狀發(fā)給甲班.

    【點(diǎn)評(píng)】方差是衡量一組數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的重要因素,是測(cè)算數(shù)值離散程度的重要方法.

    六、“三數(shù)”“兩差”異同

    平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量,平均數(shù)和中位數(shù)只有一個(gè),而眾數(shù)可能有幾個(gè);極差、方差都是描述數(shù)據(jù)離散程度的量.

    平均數(shù)的計(jì)算要用到所有的數(shù)據(jù),它能夠充分利用數(shù)據(jù)提供的信息,因此在現(xiàn)實(shí)生活中較為常用,但它受極端值的影響較大.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí),眾數(shù)往往是人們關(guān)注的一個(gè)量,它不受極端值的影響,這是它的一個(gè)優(yōu)勢(shì).中位數(shù)只需要少量計(jì)算,不受極端值的影響,在有些情況下這是一個(gè)優(yōu)點(diǎn).極差能夠體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍.方差是衡量一組數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的重要因素.在實(shí)際應(yīng)用中,需要根據(jù)具體情況,選擇適當(dāng)?shù)牧縼?lái)分析.

    (作者單位:江蘇省宿遷市泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

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