尋找軸對稱的本質(zhì)

劉 躍

尋找軸對稱的本質(zhì)

劉 躍

本章內(nèi)容在近幾年中考試卷中重點考查軸對稱的概念和性質(zhì)，同學們在解決問題過程中要抓住問題本質(zhì)，掌握方法和技巧去解決問題.

一、中考熱點

熱點1：利用概念解決問題.

例1 （2016·深圳）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（ ）.

【解析】由軸對稱圖形的概念易得結(jié)果是B.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

例2 如圖1，在正方形方格中，陰影部分是7個涂黑的小的正方形所形成的圖案，再將方格內(nèi)空白的1個小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的方法有 種？

【解析】通過觀察陰影部分和正方形網(wǎng)格可以確定現(xiàn)有圖形是軸對稱圖形，從而可以確定對稱軸是正方形網(wǎng)格的一條對角線，進而確定所要涂黑的小正方形在正方形網(wǎng)格的這條對角線上，得到答案有3種.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，利用軸對稱圖形概念結(jié)合分類討論思想解決問題.

熱點2：利用軸對稱相關(guān)性質(zhì)解決問題.

例3 （2016·南充）如圖2，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下列判斷錯誤的是（ ）.

圖1

圖2

A.AM=BM B.AP=BN

C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM

【解析】根據(jù)直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，得到點A與點B對應，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論.選擇B.

【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例4 （2016·河北）如圖3，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（ ）.

圖3

A.1個 B.2個 C.3個 D.3個以上

【解析】如圖4，在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要證明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等邊三角形，由此即可得出正確結(jié)論D.

圖4

【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型.

熱點3：利用軸對稱性質(zhì)作圖.

例5 （2013·南寧）尺規(guī)：把圖5（實線部分）補成以虛線l為對稱軸的軸對稱圖形，你會得到一只美麗蝴蝶的圖案（不用寫作法、保留作圖痕跡）.

圖5

【解析】所作圖形如圖6：

圖6

【點評】關(guān)于作軸對稱圖形的步驟，一般是先作出對稱點，然后連接對稱點得到對稱圖形.

二、解題方法和技巧

方法1：轉(zhuǎn)化.

例6 如圖7所示，已知等腰三角形ABC，AB邊的垂直平分線交AC于D，AB=AC=8，BC=6，求△BDC的周長.

圖7

【解析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可以得到AD=BD，從而得到△BDC周長為14.

【點評】本題的思路主要是將線段進行轉(zhuǎn)化，把三角形周長轉(zhuǎn)化為已知線段的和，這種轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學問題的重要思想方法.

例7 如圖8所示，需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到A，B兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置.

圖8

【分析】作法：1.作A點關(guān)于公路的對稱點A′；2.連接A′B交公路于點C，則C點就是所求作的機場位置.

【點評】本題通過作點A關(guān)于直線的對稱點A′，把AC+BC的和的最小問題轉(zhuǎn)化為A′、B兩點之間線段最短的問題.

【變式】如圖9所示，在一條河的兩岸有兩個村莊，現(xiàn)要在河上建一座小橋，橋的方向與河流垂直，設(shè)河的寬度不變，試問：橋架在何處，才能使A到B的距離最短？

【解析】如圖10，設(shè)橋為PD，雖然A、B兩點在河兩側(cè)，但連接AB的線段不垂直于河岸.關(guān)鍵在于使AP+BD最短，但AP與BD未連起來，要用線段公理就要想辦法使P與D重合起來，利用平行四邊形的特征可以實現(xiàn)這一目的，所以設(shè)B′B平行且等于PD，連接PB′，當A、P、B′在同一直線上時，AP+BD最短.

圖9

圖10

【點評】此題考查了軸對稱最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，解決“造橋選址”的簡單的實際問題.但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的問題.此類題往往需要利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進行轉(zhuǎn)化，以后還會學習一些線段轉(zhuǎn)化的方法.

方法2：拼圖.

例8 如圖11所示，一批廢料都是等腰三角形的小鋼板，其中AB=AC，現(xiàn)要把這種廢鋼板切割后再焊接成兩種不同規(guī)格的矩形，每種矩形的面積正好等于該三角形的面積，每塊切割的次數(shù)最多兩次，切割的損失忽略不計.（1）請你設(shè)計兩種不同的切割焊接方案，并且用簡要的文字加以說明.（2）若要把該三角形廢料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），則該三角形應滿足什么條件？

圖11

【分析】（1）方案1、方案2如圖12、圖13所示：

圖12

圖13

方案2中M、N為AB、AC中點，MK⊥BC.

（2）若要把該三角形只切割一次后焊接成正方形零件，則該三角形應為等腰直角三角形.

【點評】本題創(chuàng)新之處在于利用等腰三角形的對稱性質(zhì)進行切割后拼接成矩形，這種利用軸對稱的性質(zhì)解決實際生活中一些最優(yōu)化方案的設(shè)計問題是中考的熱點問題.

軸對稱在生活中隨處可見，中考題更多的是把軸對稱知識綜合到幾何問題和函數(shù)問題中，熟練掌握軸對稱的相關(guān)性質(zhì)是學好后續(xù)知識的基礎(chǔ).

（作者單位：江蘇省常州市新北區(qū)薛家中學）