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    這個(gè)三角形是等腰直角三角形嗎?

    2017-11-01 07:35:00南京市金陵中學(xué)仙林分校中學(xué)部九11江博熠
    初中生世界 2017年38期
    關(guān)鍵詞:反證法直角等腰三角

    南京市金陵中學(xué)仙林分校中學(xué)部九(11)班 江博熠

    這個(gè)三角形是等腰直角三角形嗎?

    南京市金陵中學(xué)仙林分校中學(xué)部九(11)班 江博熠

    在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形的時(shí)候,老師跟我們講了如何在一個(gè)等腰直角三角形內(nèi)構(gòu)造一個(gè)新的等腰直角三角形,我聽完很感興趣.于是我也構(gòu)思了一個(gè)等腰三角形問題,但卻無法證明,莫非我構(gòu)思的新三角形不是等腰直角的?我靜下心來,想到老師曾說過,要證明結(jié)論不成立,正面證明比較困難,往往要用到反證法.所以我決定嘗試一下.

    首先,我把問題又重新梳理了一遍:

    如圖1,在直角△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),且P為CD中點(diǎn).EP∥AC,作PE的垂直平分線QO.那么△EQP是等腰直角三角形嗎?如果是,請(qǐng)證明.

    圖1

    第一步:證明△EQP是等腰三角形.∵QO垂直平分EP,∴QE=QP.

    第二步:過點(diǎn)O作BC平行線FG交兩直角邊于F、G(如圖2),由于EP//AC,易證△EFO、△QOG、△AFG均為等腰直角三角形.

    第三步:如圖2.

    圖2

    ①設(shè)AD與FG交于Y點(diǎn),假如△PQE為等腰直角三角形,那么∠QEO=45°,又因?yàn)?QO⊥PE,∴∠EQO=45°,∴∠OEQ=∠OQE=45°,OQ=OE.

    ②由于∠AEF 為平角,可知:∠AEQ=45°,∵∠BAC=90°,∴∠AQE=45°,所以∠AEQ=∠AQE=45°,因此AE=AQ.

    ③根據(jù)全等的證明容易知道,△EFO、△QOG、△AEQ、△OEQ都是等腰直角三角形且彼此全等.∴FO=GO,也就是說點(diǎn)O和點(diǎn)Y重合.

    第四步:由于Y點(diǎn)與O點(diǎn)重合(如圖3),所以△OPD為等腰直角三角形.因?yàn)辄c(diǎn)P為CD中點(diǎn),設(shè)PC=DP=1;由于 PE//AC,∴∠OPD=∠C=45°;易知△ACD、△ODP均為等腰直角三角形,所以AD=CD=2,OD=AO=1.

    第五步:如圖3,在△AEO中,EO<AO,∴EO<1.同時(shí)在△ODP中,OP>OD,∴OP>1.

    圖3

    所以O(shè)P>1>OE,因此點(diǎn)O不是線段PE的中點(diǎn),和問題的條件矛盾.

    教師點(diǎn)評(píng):江博熠同學(xué)構(gòu)思了如圖的一個(gè)等腰△EQP,但是△EQP是不是直角的呢?他經(jīng)過長時(shí)間的思考沒證明出來,于是他改變主意:莫非△EQP不是等腰直角三角形吧!要證明結(jié)論不成立,正面證明比較困難,我們往往要用到反證法,江同學(xué)的這個(gè)思路我們要學(xué)習(xí).江博熠同學(xué)剛開始思考的時(shí)候有不少漏洞,但他能靜下心來,把條件梳理清楚,用理性的思考解決了問題.他的經(jīng)歷也告訴我們:思想和方法往往不是一蹴而就的,而是在深思熟慮之后才能夠逐步產(chǎn)生.

    (指導(dǎo)教師:郝四柱)

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