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    數(shù)學證明方法“大聚會”
    ——以“軸對稱圖形”為例

    2017-11-01 07:34:58眭亞燕
    初中生世界 2017年38期
    關鍵詞:反證法平分線等腰三角

    數(shù)學證明方法“大聚會”
    ——以“軸對稱圖形”為例

    眭亞燕

    蘇科版《數(shù)學》八年級上冊“軸對稱圖形”內容呈現(xiàn)的最大特點是——在探索中不斷地進行表達形式多樣化的證明.課本安排了折紙、畫圖、猜想等多種活動,為同學們提供自主探索的空間,引導大家在“做”中感悟軸對稱圖形的數(shù)學本質,然后又通過圖形運動法、綜合法、分析法、反證法、類比法等探索得到一些結論.現(xiàn)結合課本中的具體例子一一闡述.

    一、圖形運動法

    圖形運動(平移、翻折、旋轉)既是探索發(fā)現(xiàn)圖形旋轉的有效手段,也是證明圖形性質的一種方法.在本章中,運用“圖形運動”的方法,證明了以下性質定理:(1)線段垂直平分線性質定理——線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等;(2)角平分線性質定理——角平分線上的點到角兩邊的距離相等;(3)等腰三角形性質定理——等腰三角形的兩底角相等以及等腰三角形底邊上的高、中線、頂角平分線重合.下面僅以“角平分線性質定理”的證明加以說明.

    例1 (課本第54頁)在∠AOB的平分線上任意取一點P,分別畫點P到OA和OB的垂線段PC和PD(如圖1).PC與PD相等嗎?

    圖1

    圖2

    證明略,這里雖然可以運用直角三角形全等加以證明,但課本中先運用圖形運動——翻折,再利用角的軸對稱性證明PC=PD(如圖2),目的是引導同學們不斷感受證明過程中不同的表達形式,這樣有利于不斷培養(yǎng)同學們的幾何直觀能力.

    練習1 如圖3,AD是等腰三角形ABC的頂角平分線,P是AD上任意一點,連接BP、CP并延長,分別交AC、AB于點E、F.你能得出哪些結論?試用圖形運動的方法選一個結論證明.

    圖3

    二、綜合法

    綜合法是指從已知條件出發(fā),借助一些性質和有關定理,經過逐步邏輯推理,最后得到待證結論或需求問題,其特點和思路是“由因導果”,即從“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.

    例2 (課本第55頁)已知:如圖4,△ABC的角平分線AD、BE相交于點P.求證:點P在∠C的平分線上.

    圖4

    圖5

    證明略,輔助線的作法如圖5.綜合法形式簡捷,條理清晰,邏輯結構嚴謹,但往往枝節(jié)叢生,難以一下子達到目的.在本例的解答中,同學們仍然會找全等三角形,而不是直接運用角平分線的性質定理和逆定理.所以在解決此題時同學們可以充分討論、交流、分析,自己完善、簡化證明的思路,打破思維定式的束縛,發(fā)展思維的靈活性,使證明方法最優(yōu)化.

    練習2 (課本第57頁習題5)已知:如圖6,AB=AC,DB=DC,點E在AD上,求證:EB=EC.

    圖6

    三、分析法

    從要證明的結論出發(fā),逐步尋找使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件,這種證明方法叫分析法.它的基本思路是“執(zhí)果索因”,即從數(shù)學題的待證結論或需求問題出發(fā),一步一步地探索下去,最后達到題設的已知條件.

    例3 (課本第56頁)已知:如圖7,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.求證:AD垂直平分EF.

    圖7

    證明略.分析法是從“未知”看“需知”,漸漸靠攏“已知”.它敘述冗長,但常常根底漸近,有希望成功.考慮到逆向的分析思考比順向的綜合思考要求更高,課本在本章第四節(jié)后,安排了關于生活中“倒過來想”——司馬光砸缸的閱讀材料,有利于同學們學會逆向分析的思考方法.我們在實際解題時,應把綜合法和分析法結合起來運用,先用分析法尋求解題思路,再用綜合法有條理地表達解題過程,這就達到了揚長避短、相互協(xié)調、相得益彰的良好目的.

    練習3 (課本第58頁習題10)已知:如圖8,∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.求證:BE=CF.

    圖8

    四、反證法

    由于原命題與逆否命題等價,所以當證明原命題有困難或者無法證明時,可以考慮證明它的逆否命題,通過正確推理,如果逆否命題正確或者假設原命題不成立,推出與原命題題設、公理、定理等不相容的結論,也就證明了原命題的結論是正確的.這種證明方法叫反證法.

    例4(課本第52頁)線段的垂直平分線外的點到這條線段兩端點的距離相等嗎?為什么?

    不相等,證明略.牛頓曾經說過:“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦?”一般來講,反證法常用來證明從正面證明有困難、情況多或復雜,而命題的否定則比較淺顯的題目,這樣,問題可能解決得十分干脆.

    練習4 已知,如圖9,點P在∠AOB內,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別為C、D,且PC≠PD.求證:點P不在∠AOB的平分線上.

    圖9

    五、類比法

    類比法也叫“比較類推法”,類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同,從而推出它們的其他屬性也相同的推理,或者由一類事物所具有的某種屬性,可以推測與其類似的事物也應具有這種屬性的推理方法,簡稱類推、類比.其結論必須由實驗來檢驗,類比對象間共有的屬性越多,則類比結論的可靠性越大.課本在本章后面安排了關于“等腰梯形”的閱讀材料,作為本章內容的延伸和拓展——運用與等腰三角形“類比”的方法探索等腰梯形的性質.

    例5 (課本第68頁“閱讀”,有刪改)如圖10,在等腰三角形紙片ABC上,畫底邊BC的平行線DE,可得到一個梯形DBCE.由∠B=∠C,DE∥BC,可知∠ADE=∠AED,于是AD=AE.又AB=AC,從而DB=EC.像梯形DBCE,兩腰相等的梯形稱為等腰梯形.如果把圖10的等腰三角形紙片ABC沿頂角平分線AM折疊,那么AB與AC重合.由于AD=AE,可知點D與點E重合(如圖11),于是MB=MC,ND=NE.由此,你能得出哪些結論?選一個結論證明.

    圖10

    圖11

    解答略.類比法的特點是“先比后推”.“比”是類比的基礎,既要“比”共同點也要“比”不同點.對比對象之間的共同點是類比法能夠施行的前提條件.

    練習5 (課本第69頁“閱讀”)如圖12,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.求證:梯形ABCD是等腰梯形.

    圖12

    總之,從本章開始,證明的方法將越來越多樣化.其中性質定理的證明多次采用圖形運動的方法,目的是不斷發(fā)展同學們對圖形直觀把握的能力,逐步形成一種審視、處理問題的方式;而例題的解答則較多地采用分析和綜合的方法,目的是讓同學們明白,在解題中,應把分析和綜合兩者有機地結合起來,既要注重分析,又要學會綜合,還要會聯(lián)合運用這兩種方法進行思考和論證,同時還讓同學們適時了解了反證法和類比法,堪稱數(shù)學證明方法的“大聚會”.

    (作者單位:江蘇省常州市新北區(qū)浦河實驗學校)

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