乒乓球運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性試驗(yàn)與理論研究

張俊偉，李 春，丁勤衛(wèi)，任 杰，季云峰，施之皓，葉 舟

乒乓球運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性試驗(yàn)與理論研究

張俊偉1，李 春1，丁勤衛(wèi)1，任 杰2，季云峰2，施之皓2，葉 舟1

積分制是很多體育項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員最常用的排名方式，根據(jù)運(yùn)動(dòng)員所參加的比賽和獲得名次大致可以反映運(yùn)動(dòng)員綜合水平排名，但此排名還受某些偶然因素影響，如比賽中關(guān)鍵球的運(yùn)氣成分，因此運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)發(fā)揮穩(wěn)定性與其排名可能有所差異，但對(duì)于重要賽事指定哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員參加，教練則要綜合考慮運(yùn)動(dòng)員近期的發(fā)揮狀態(tài)，特別是發(fā)揮穩(wěn)定性。針對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性無法定量描述的問題，通過自主設(shè)計(jì)的落點(diǎn)采集系統(tǒng)試驗(yàn)獲得6名不同水平運(yùn)動(dòng)員接發(fā)球的落點(diǎn)數(shù)據(jù)，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)和分形理論方法分別計(jì)算落點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、Hurst指數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)，并提出定量評(píng)估運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性的參數(shù)，即關(guān)聯(lián)期望率。結(jié)果表明：數(shù)理統(tǒng)計(jì)和分形方法中的參數(shù)均不能單獨(dú)衡量運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性；落點(diǎn)的Hurst指數(shù)均介于0.5～1.0之間，具有長(zhǎng)程正相關(guān)性，符合分形特征；提出的關(guān)聯(lián)期望率能較好地衡量運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性，值越大說明運(yùn)動(dòng)員控球越穩(wěn)定。研究結(jié)果為量化乒乓球運(yùn)動(dòng)員的控球穩(wěn)定性提供了理論基礎(chǔ)和實(shí)現(xiàn)途徑，同時(shí)也為教練根據(jù)不同技術(shù)特點(diǎn)的對(duì)手指派出戰(zhàn)隊(duì)員，此外，運(yùn)動(dòng)員本身還可根據(jù)自己控球的關(guān)聯(lián)期望率來合理訓(xùn)練，以提高發(fā)揮的穩(wěn)定性。

乒乓球；落點(diǎn)；穩(wěn)定性；數(shù)理統(tǒng)計(jì)；分形；關(guān)聯(lián)期望率

速度、力量、落點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)和線路5大要素共同決定擊球的時(shí)空特性[1-2]。學(xué)者們對(duì)乒乓球的研究大都基于5大要素，但受儀器設(shè)備和研究方法等限制，對(duì)其研究深入程度有所差異。隨著試驗(yàn)器材的日趨先進(jìn)和計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的快速發(fā)展，對(duì)速度、力量、旋轉(zhuǎn)和線路已開展了定量研究，但因乒乓球落點(diǎn)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)復(fù)雜且成本較高，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)落點(diǎn)的試驗(yàn)研究相對(duì)較少。

乒乓球落點(diǎn)是指，球被擊出后第一次與球臺(tái)的接觸點(diǎn)[3]，乒乓球落點(diǎn)與其他要素之間聯(lián)系密切，理想的落點(diǎn)不僅可彌補(bǔ)力量不足的缺陷和增加速度快的威力，且可擴(kuò)大對(duì)方移動(dòng)范圍、緊抓對(duì)方弱點(diǎn)和壓制對(duì)方特長(zhǎng)技術(shù)發(fā)揮，從而在比賽中更加主動(dòng)，創(chuàng)造得分機(jī)會(huì)。

國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)乒乓球開展了研究，有研究[4]根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)原理，數(shù)值求解得到乒乓球三維空間的飛行線路，且對(duì)比分析了溫度和空氣對(duì)飛行線路的影響；H.P.TANG等[5]采用不同擊球速度和角度回?fù)舭l(fā)球機(jī)發(fā)出的球，測(cè)速系統(tǒng)獲得乒乓球在運(yùn)行過程中速度減小率，旨在比較新球與舊球的碰撞過程對(duì)比賽的影響；通過錄像觀察和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方法，從線路、落點(diǎn)對(duì)馬琳和馬龍比賽中接發(fā)球特征與規(guī)律進(jìn)行對(duì)比研究[6]；采用調(diào)查訪問、試驗(yàn)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方法，對(duì)新型無縫塑料乒乓球與傳統(tǒng)賽璐珞乒乓球進(jìn)行試驗(yàn)，比較落點(diǎn)準(zhǔn)確性、擊球速度和旋轉(zhuǎn)等要素，為未來進(jìn)一步適應(yīng)新球的技戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練和發(fā)展提供理論依據(jù)和參考[7]；將乒乓球臺(tái)劃分為12個(gè)區(qū)域，提出了乒乓球12區(qū)落點(diǎn)訓(xùn)練法，拓寬了傳統(tǒng)乒乓球落點(diǎn)訓(xùn)練模式，并應(yīng)用于教學(xué)試驗(yàn)[8-9]；采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方法，對(duì)中國(guó)隊(duì)與德國(guó)隊(duì)在第47屆世界乒乓球錦標(biāo)賽男子團(tuán)體決賽中的落點(diǎn)進(jìn)行分析，對(duì)比得出亞洲和歐洲運(yùn)動(dòng)員落點(diǎn)有著明顯差異性，對(duì)新規(guī)則下提高擊球質(zhì)量提出了針對(duì)性建議[10]；在新規(guī)則背景下，將球臺(tái)劃分為3個(gè)大區(qū)、15個(gè)小區(qū)，探索乒乓球戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練的落點(diǎn)監(jiān)控方法，并應(yīng)用于教學(xué)試驗(yàn)，要求學(xué)生根據(jù)不同戰(zhàn)術(shù)要求將球擊到相應(yīng)的區(qū)域，便于直觀教學(xué)及擊球動(dòng)作的定型，在提高戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練質(zhì)量、實(shí)戰(zhàn)能力方面優(yōu)于常規(guī)方法[11]。Y.F.CHEN等[12]開發(fā)了一種由壓電薄膜傳感器精確定位乒乓球落點(diǎn)系統(tǒng)，并以國(guó)立虎尾科技大學(xué)的學(xué)生為研究對(duì)象。該系統(tǒng)可以準(zhǔn)確檢測(cè)到落點(diǎn)位置，顯示對(duì)象的位置分布，確定對(duì)象的準(zhǔn)確性（即平均偏差距離X軸和Y軸的中心位置）和標(biāo)準(zhǔn)偏差，在此基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步定量分析學(xué)生擊球落點(diǎn)的精確性和穩(wěn)定性。R.G.MA和H.W.XING[13]基于落點(diǎn)識(shí)別設(shè)計(jì)了一套乒乓球智能訓(xùn)練評(píng)估系統(tǒng)，采用目標(biāo)跟蹤算法，結(jié)合濾波器箱和概率統(tǒng)計(jì)方法，提出了基于單目視覺的位置識(shí)別，具有時(shí)間復(fù)雜度低、精度高的優(yōu)點(diǎn)。

由此可見，現(xiàn)有對(duì)乒乓球的研究大多基于速度、力量、旋轉(zhuǎn)和線路。對(duì)落點(diǎn)開展研究的學(xué)者一方面基于這一要素提出或改進(jìn)訓(xùn)練方法，旨在達(dá)到更加科學(xué)的訓(xùn)練教學(xué)，提高運(yùn)動(dòng)員水平，但只是定性判斷訓(xùn)練結(jié)果，并沒有檢驗(yàn)運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練成績(jī)的具體指標(biāo)；另一方面，目前研究落點(diǎn)僅通過傳統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，過于單一，且大多只是在球臺(tái)上分區(qū)統(tǒng)計(jì)落點(diǎn)數(shù)量并進(jìn)行教學(xué)與訓(xùn)練，存在諸多不足。傳統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法大多采用線性模擬，顯然忽略了混沌時(shí)間序列由確定系統(tǒng)產(chǎn)生的非線性動(dòng)力系統(tǒng)的本質(zhì)，而是把這種時(shí)間序列歸結(jié)為隨機(jī)噪聲。因此，采用傳統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法模擬和預(yù)測(cè)這種時(shí)間序列往往會(huì)忽略許多重要信息[14]。

為此，本文采用課題組與上海體育學(xué)院合作設(shè)計(jì)的乒乓球落點(diǎn)采集系統(tǒng)，通過試驗(yàn)獲得精確的落點(diǎn)數(shù)據(jù)，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)和分形理論對(duì)比研究不同水平運(yùn)動(dòng)員接發(fā)球落點(diǎn)，旨在探尋乒乓球運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性參數(shù)，以期為國(guó)內(nèi)外衡量運(yùn)動(dòng)員水平提供理論參考。

1 落點(diǎn)數(shù)據(jù)采集

在體育學(xué)院教師隊(duì)伍中挑選一級(jí)運(yùn)動(dòng)員（從事乒乓球運(yùn)動(dòng)6年以上，平均年齡30.5歲），在學(xué)員隊(duì)伍中挑選二級(jí)運(yùn)動(dòng)員（乒乓球?qū)W習(xí)3年以上，平均年齡22歲），在非專業(yè)運(yùn)動(dòng)員中挑選業(yè)余選手（球齡2年以上，平均年齡18歲），每個(gè)等級(jí)中水平有所差異，在同一等級(jí)中分別挑選較好（+）和較差（-）的運(yùn)動(dòng)員，即有6名運(yùn)動(dòng)員（業(yè)余-、業(yè)余+、二級(jí)-、二級(jí)+、一級(jí)-和一級(jí)+）參加測(cè)試，落點(diǎn)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)見圖1。

圖1 乒乓球落點(diǎn)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)Figure1 Placement Data of Table Tennis Acquisition System

發(fā)球機(jī)型號(hào)為泰德V-989E，可發(fā)出無旋、上旋、下旋和左旋等9種球，調(diào)節(jié)范圍40°，速度為4～50 m/s；高速攝像機(jī)為索尼PXW-Z150，分辨率為4 K，120幀/s；落點(diǎn)區(qū)域?yàn)橹睆綖?0 cm的圓，其圓心為目標(biāo)落點(diǎn)，與球臺(tái)兩邊緣的距離均為20 cm；輔助成像鏡與球臺(tái)夾角為60°。

工作原理為：發(fā)球機(jī)以15 m/s的速度發(fā)出無旋球，運(yùn)動(dòng)員以落點(diǎn)區(qū)域的圓心為目標(biāo)落點(diǎn)接發(fā)球，待球被擊回發(fā)球側(cè)球臺(tái)時(shí)，高速攝像機(jī)拍攝輔助成像鏡中的圖像，得到一系列接發(fā)球落點(diǎn)圖片，找到球與桌接觸時(shí)刻的圖片，以落點(diǎn)區(qū)域的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，直徑為比例尺換算為落點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)（見圖2）。

圖2 落點(diǎn)采集系統(tǒng)流程圖Figure 2 The Flow Chart of Placement Data Acquisition Ssystem

測(cè)試6名運(yùn)動(dòng)員接發(fā)球落點(diǎn)數(shù)見表1，實(shí)測(cè)落點(diǎn)坐標(biāo)見圖3。

表1 落點(diǎn)數(shù)據(jù)Table1 The Data of Placement

圖3 不同水平運(yùn)動(dòng)員落點(diǎn)/mmFigure3 The Placement of Athletes of Different Levels/mm

2 數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法

2.1 數(shù)學(xué)期望

數(shù)學(xué)期望是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和的平均。它是最基本的數(shù)學(xué)特征之一，反映隨機(jī)變量平均取值的大小。

2.2 方差

方差是各數(shù)據(jù)分別與其數(shù)學(xué)期望之差的和的平均數(shù)，它是衡量數(shù)據(jù)離散程度的參數(shù)，用來度量數(shù)據(jù)和其數(shù)學(xué)期望之間的偏離程度。

式中：E(X)和E(Y)分別為分量X和Y的數(shù)學(xué)期望。

2.3 協(xié)方差

協(xié)方差用于衡量2個(gè)變量的總體誤差。若分量X與Y相互獨(dú)立，則二者的協(xié)方差為0，這2個(gè)變量稱為不相關(guān)的，因此協(xié)方差是描述變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。

對(duì)于協(xié)方差，常采用以下公式計(jì)算：

2.4 相關(guān)系數(shù)

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)均是描述X和Y之間相互關(guān)系的參數(shù)。相關(guān)系數(shù)是用以反映變量間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。

式中：σ(X)和σ(Y)分別為X，Y的均方差；ρXY＞0時(shí)，變量X和Y正相關(guān)；ρXY＜0時(shí)，變量X和Y負(fù)相關(guān)；ρXY=0時(shí)，則變量X和Y不相關(guān)。

3 分形理論與關(guān)聯(lián)維數(shù)

3.1 分形理論

非線性科學(xué)是一門研究非線性現(xiàn)象的革命性基礎(chǔ)科學(xué)，被譽(yù)為20世紀(jì)自然科學(xué)中的“三大革命之一”，與量子力學(xué)和相對(duì)論具有相同的地位[15]。

分形理論是非線性科學(xué)研究中十分活躍的一個(gè)分支[16]，可理解為局部和整體在某方面存在相似性，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是分形幾何[17]。20世紀(jì)70年代中期，由MANDELBROT創(chuàng)立以來，分形理論無論是在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)還是在應(yīng)用方面都得到快速發(fā)展[18]。分形維數(shù)是定量描述分形系統(tǒng)的重要參數(shù)，它是用來衡量一個(gè)幾何集成或自然物體不規(guī)則和復(fù)雜程度的數(shù)[19]。常用的分形維數(shù)包括自相似維數(shù)、盒維數(shù)、信息維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)、廣義維數(shù)和Lyapunov維數(shù)等[20]。其中，關(guān)聯(lián)維數(shù)能定量描述吸引子的幾何特征，對(duì)吸引子不均勻性反應(yīng)敏感，能很好地反映吸引子動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)[21]。

3.2 分形特征驗(yàn)證

3.2.1 重標(biāo)極差分析法 1951年，英國(guó)著名水文學(xué)家H.E.HURST提出重標(biāo)極差分析法（Rescaled Range Analysis，R/S分析法）[22]。B.B.MANDELBROT和J.R.WALLIS[23]在理論上證實(shí)了此方法的準(zhǔn)確性，且同A.BENASSI等[24]對(duì)其進(jìn)行了補(bǔ)充和完善。R/S分析法基本思想表達(dá)為：

通過最小二乘法得到散點(diǎn)的擬合直線，該直線的斜率即為Hurst指數(shù)。

3.2.2 Hurst指數(shù)判定依據(jù) R/S分析屬于非參數(shù)分析，特點(diǎn)是無需對(duì)數(shù)據(jù)序列做分布假定[25]。Hurst指數(shù)意義如下：（1）H＝0.5時(shí)，序列為獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，變量之間是相互獨(dú)立的，相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)為零，現(xiàn)在不會(huì)影響未來；（2）0≤H＜0.5時(shí)，時(shí)間序列表現(xiàn)為一種反持續(xù)性，變量之間是負(fù)相關(guān)的；（3）0.5＜H≤1.0時(shí)，時(shí)間序列具有狀態(tài)持續(xù)性，存在長(zhǎng)程相關(guān)性，表現(xiàn)為分形時(shí)間序列。從理論上講，現(xiàn)有的變化將對(duì)后續(xù)變化產(chǎn)生持續(xù)影響。

3.3 關(guān)聯(lián)維數(shù)

3.3.1 相空間重構(gòu) N.H.PACKARD等[26]認(rèn)為，從一個(gè)變量的時(shí)間序列可以重構(gòu)出此變量的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相空間。F.TAKENS[27]和R.MA?é[28]從理論上進(jìn)一步證明了N.H.PACKARD的觀點(diǎn)，并提出了相空間維數(shù)的下界m≥2D+1。相空間重構(gòu)理論的建立為混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)[21]。

1980年，N.H.PACKARD等[26]提出了2種相空間重構(gòu)方法：坐標(biāo)延遲法和導(dǎo)數(shù)重構(gòu)法。導(dǎo)數(shù)重構(gòu)法中數(shù)值微分的計(jì)算對(duì)誤差較敏感，因此選取坐標(biāo)延遲法重構(gòu)相空間如下：對(duì)落點(diǎn)時(shí)間序列x（ti）（i=1，2，…，n），將其延拓為m維相空間的相形分布，其中相點(diǎn)為共 有N-(m-1)τ個(gè)相點(diǎn)。式中：m為嵌入維數(shù)，即重構(gòu)相空間的最小維數(shù)（整數(shù)）；τ為延遲時(shí)間。為了能在重構(gòu)的相空間中刻畫原系統(tǒng)的性質(zhì)，需合理確定m和τ。

（1）嵌入維數(shù)m的確定。在實(shí)際求取嵌入維數(shù)時(shí)，取值太小，則可能引起吸引子折疊導(dǎo)致發(fā)生自相交，相交區(qū)域內(nèi)的小領(lǐng)域內(nèi)可能會(huì)包括不同部分吸引子的點(diǎn)；理論上，嵌入維數(shù)偏大是可行的，但實(shí)際上會(huì)增加吸引子幾何不變量的計(jì)算工作量。常用的嵌入維數(shù)的選取方法包括偽最近鄰法[29]、Cao方法[30]和偶幾何法[31]等。

（2）延遲時(shí)間τ的確定。延遲時(shí)間太小，無法提供2個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)分量；延遲時(shí)間太大，則2坐標(biāo)在統(tǒng)計(jì)意義上又是完全獨(dú)立的。延遲時(shí)間計(jì)算方法包括自相關(guān)法[32]、平均位移法[32]和互信息法[33]等。

（3）考慮到以上求取最佳嵌入維數(shù)（延遲時(shí)間）的方法都需要先確定最佳延遲時(shí)間（嵌入維數(shù)），即把嵌入維數(shù)和延遲時(shí)間分開考慮存在不足。1999年，H.S.KIM等[34]提出了同時(shí)求取這2個(gè)參數(shù)的C-C法，同時(shí)證明嵌入維數(shù)和延遲時(shí)間在整體上存在乘積關(guān)系；2003年，M.B.ATAEI等[35]進(jìn)一步證明了二者不是相互獨(dú)立的，故采用C-C法確定嵌入維數(shù)和延遲時(shí)間。

3.3.2 G-P算法 在相空間重構(gòu)基礎(chǔ)上，P.GRASSBERGER和I.PROCACCIA[36]提出了基于時(shí)間序列直接計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)的G-P算法。設(shè)有2個(gè)相點(diǎn)：

其歐氏距離εij為：

給定一個(gè)距離r，檢驗(yàn)rij有多少落在以r為半徑的圓內(nèi)，即：

式中：N′=N-(m-1)r，且θ是Heaviside函數(shù)，即：

數(shù)據(jù)管理、預(yù)警管理與預(yù)警發(fā)布管理3個(gè)模塊安裝在服務(wù)器端，由于交互性較強(qiáng)，采用B/S架構(gòu)，基于ASP.NET的MVC模式設(shè)計(jì)。預(yù)警分析引擎也安裝在服務(wù)器端，由于不需要進(jìn)行詳細(xì)的配置，采用C/S架構(gòu)。服務(wù)器端實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程數(shù)據(jù)管理、預(yù)警規(guī)則設(shè)定、預(yù)警分析處理等功能，在接收到實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)后，進(jìn)行分析計(jì)算，判別是否超警，同時(shí)生成預(yù)警消息，推送至客戶端。

適當(dāng)選取r，存在如下關(guān)系：

式中：D為關(guān)聯(lián)維數(shù)。

G-P算法流程圖見圖4。

圖4 G-P算法流程圖Figure4 Flow Chart of G-P Algorithm

4 結(jié)果與分析

4.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析

通過課題組與上海體育學(xué)院合作設(shè)計(jì)的乒乓球落點(diǎn)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，獲得6名不同水平運(yùn)動(dòng)員接發(fā)球落點(diǎn)數(shù)據(jù)，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算其數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。

二維離散型變量的數(shù)學(xué)期望是描述各個(gè)落點(diǎn)到目標(biāo)落點(diǎn)之間距離的加權(quán)平均值，與落點(diǎn)的聯(lián)合概率分布有關(guān)。一般而言，運(yùn)動(dòng)員水平越高，接發(fā)球落點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望越小。數(shù)據(jù)表明：6名不同水平運(yùn)動(dòng)員接發(fā)球落點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望總體符合運(yùn)動(dòng)員水平越高，其值越小的規(guī)律；業(yè)余+的數(shù)學(xué)期望比二級(jí)-稍小，是因?yàn)槎?jí)-的聯(lián)合概率分布不如業(yè)余+集中，且有幾個(gè)落點(diǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離目標(biāo)落點(diǎn)，致使其數(shù)學(xué)期望略大于業(yè)余+（見表2，圖5（a））。

方差是數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)期望相差的度量值，用來衡量數(shù)據(jù)的離散程度，與分量X和Y的平均值有關(guān)。6名運(yùn)動(dòng)員落點(diǎn)的方差曲線并未呈現(xiàn)規(guī)律性，不能衡量乒乓球運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性（圖5（b））。

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)都是描述X和Y之間相互關(guān)系的參數(shù)。協(xié)方差衡量2個(gè)變量的總體誤差；相關(guān)系數(shù)反映變量間關(guān)系密切程度。6名運(yùn)動(dòng)員落點(diǎn)的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)均不為零，說明落點(diǎn)分量X和Y之間不是相互獨(dú)立的，不能分開單獨(dú)研究。6名運(yùn)動(dòng)員落點(diǎn)的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)也無法體現(xiàn)出規(guī)律，故無法衡量運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性（見圖5（c），圖5（d））。

表2 落點(diǎn)統(tǒng)計(jì)參數(shù)Table2 The Statistical Parameters of Placement

圖5 落點(diǎn)統(tǒng)計(jì)參數(shù)曲線圖Figure5 The Statistical Parametric Curves of Placement

4.2 分形理論分析

4.2.1 Hurst指數(shù) 6名運(yùn)動(dòng)員接發(fā)球落點(diǎn)的Hurst指數(shù)均介于0.5～1.0，落點(diǎn)時(shí)間序列具有狀態(tài)持續(xù)性，存在長(zhǎng)程相關(guān)性，符合分形特征，且Hurst指數(shù)越接近1.0，序列的持續(xù)性程度就越強(qiáng)，反之越弱（見表3）。

表3 落點(diǎn)的Hurst指數(shù)Table3 The Hurst Exponent of Placement

4.2.2 關(guān)聯(lián)維數(shù) 關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算過程首先采用坐標(biāo)延遲法對(duì)落點(diǎn)時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，此過程考慮到數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法未能涉及的落點(diǎn)順序問題，能反映數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法不能表達(dá)出的內(nèi)在信息。在相空間重構(gòu)基礎(chǔ)上，采用G-P算法計(jì)算不同嵌入維數(shù)下雙對(duì)數(shù)ln(Cr)-ln(r)曲線。

隨著嵌入維數(shù)從2增加到最佳嵌入維數(shù)12，6名運(yùn)動(dòng)員落點(diǎn)的雙對(duì)數(shù)ln(Cr)-ln(r)曲線斜率逐漸增大，直到最佳嵌入維數(shù)趨于穩(wěn)定，此時(shí)斜率為關(guān)聯(lián)維數(shù)D（見圖6）。關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)變化曲線見圖7，6名運(yùn)動(dòng)員接發(fā)球落點(diǎn)的關(guān)聯(lián)維數(shù)見表4。

本研究雖然符合運(yùn)動(dòng)員水平越高，關(guān)聯(lián)維數(shù)越大的趨勢(shì)，但關(guān)聯(lián)維數(shù)描述的只是落點(diǎn)與落點(diǎn)之間的規(guī)律，與所選目標(biāo)落點(diǎn)無關(guān)，如相同的一組落點(diǎn)在靠近和遠(yuǎn)離目標(biāo)落點(diǎn)時(shí)，二者關(guān)聯(lián)維數(shù)是相等的。不失一般性，僅關(guān)聯(lián)維數(shù)亦不能描述運(yùn)動(dòng)員接發(fā)球控球穩(wěn)定性。

圖6 不同嵌入維數(shù)下雙對(duì)數(shù)lnC(r)-lnr散點(diǎn)圖Figure6 Double Logarithmic Scatter Plotln(Cr)-ln(r)With Different Embedding Dimension

圖7 嵌入維數(shù)m與關(guān)聯(lián)維數(shù)D關(guān)系曲線Figure7 Curve Between Embedding Dimension m and Correlation Dimension D

表4 落點(diǎn)的關(guān)聯(lián)維數(shù)DTable 4 Correlation Dimension D of the Placement

4.2.3 關(guān)聯(lián)期望率 結(jié)合關(guān)聯(lián)維數(shù)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法中數(shù)學(xué)參數(shù)，反映運(yùn)動(dòng)員接發(fā)球控球穩(wěn)定性。為解決關(guān)聯(lián)維數(shù)不能區(qū)分相同的一組落點(diǎn)在靠近和遠(yuǎn)離目標(biāo)落點(diǎn)時(shí)二者關(guān)聯(lián)維數(shù)是相等的問題，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)參數(shù)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)期望能很好地描述落點(diǎn)偏離目標(biāo)點(diǎn)遠(yuǎn)近問題，嘗試找出關(guān)聯(lián)維數(shù)和數(shù)學(xué)期望之間的關(guān)系來描述運(yùn)動(dòng)員接發(fā)球控球穩(wěn)定性。一般而言，運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性越好，其關(guān)聯(lián)維數(shù)越大，數(shù)學(xué)期望越小，故定義關(guān)聯(lián)期望率σ為關(guān)聯(lián)維數(shù)D與數(shù)學(xué)期望E之比：

式中：D為落點(diǎn)的關(guān)聯(lián)維數(shù)；E(X,Y)為落點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望。

數(shù)據(jù)表明，隨著運(yùn)動(dòng)員水平越高，其關(guān)聯(lián)期望率σ越大，控球穩(wěn)定性越好（見表5，圖8）。

表5 落點(diǎn)的關(guān)聯(lián)期望率（×10-2）Table5 The Rate of Correlation Dimension and Mathematical Expectation of Placement（×10-2）

圖8 落點(diǎn)的關(guān)聯(lián)期望率曲線圖Figure8 The Curve of the Rate of Correlation Dimension and Mathematical Expectation of Placement

5 結(jié)論與建議

5.1 結(jié)論

本文通過試驗(yàn)測(cè)得6名不同水平乒乓球運(yùn)動(dòng)員接發(fā)球落點(diǎn)數(shù)據(jù)，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)和分形方法分別計(jì)算各組落點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、關(guān)聯(lián)維數(shù)、Hurst指數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)，結(jié)論：（1）傳統(tǒng)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法視乒乓球落點(diǎn)數(shù)據(jù)為隨機(jī)的，單獨(dú)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)不足以衡量運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性；（2）分形方法中的關(guān)聯(lián)維數(shù)也不能單獨(dú)用于衡量運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性；（3）落點(diǎn)的Hurst指數(shù)均介于0.5～1.0之間，具有長(zhǎng)程正相關(guān)性，符合分形特征；（4）關(guān)聯(lián)期望率（關(guān)聯(lián)維數(shù)與數(shù)學(xué)期望之比）能較好地反映運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性，其值越大說明運(yùn)動(dòng)員控球越穩(wěn)定。

5.2 建議

目前，乒乓球世界排名采用的是積分制，雖能大致反映運(yùn)動(dòng)員綜合水平排名，但此排名還受某些偶然因素影響，如運(yùn)動(dòng)員因傷病不能參加比賽，決賽中關(guān)鍵球的運(yùn)氣成分，因此運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮穩(wěn)定性與世界排名可能不一致。文中提出的關(guān)聯(lián)期望率能較好地反映運(yùn)動(dòng)員控球穩(wěn)定性，在團(tuán)體賽中可根據(jù)不同技術(shù)特點(diǎn)的對(duì)手教練指派出戰(zhàn)隊(duì)員。此外，運(yùn)動(dòng)員本身還可根據(jù)自己控球的關(guān)聯(lián)期望率來合理訓(xùn)練，以提高發(fā)揮的穩(wěn)定性。

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Experiment and Theoretical Research on the Stability of Table Tennis Players

ZHANG Junwei1，LI Chun1，DING Qinwei1，REN Jie2，JI Yunfeng2，SHI Zhihao2，YE Zhou1
（1.School of Energy and Power Engineering，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China；2.China Table Tennis College，Shanghai University of Sport，Shanghai 200438，China）

Point redemption scheme is the most commonly used ranking method for many sports athletes.It is based on athletes participating in the competi?tion and get ranked，roughly reflects the overall level of athletes ranking，but this ranking is also affected by some accidental factors，such as the key ball in the game of luck.The athletes in a certain period of time play stability and may be different for ranking，but the important events which sent athletes to the prob?lem，coach need to consider the athletes play recently，especially its stability.Focus on the problem of cannot quantitative describe the stability of table tennis athletes，the placement data of 6 different level athletes obtained through the experiment by the placement acquisition system designed by ourselves，then，mathematical expectation，variance，covariance，correlation coefficient，Hurst exponent and correlation dimension calculated by using mathematical statistics and fractal methods，a parameter for quantitative evaluating the stability of the athletes is put forward-the rate of correlation dimension and mathematical ex?pectation.The results showed that the parameters of mathematical statistics and fractal method cannot measure the stability of athletes separately.The Hurst exponent of placement is between 0.5～1.0，which has a long range positive correlation，and with fractal characteristics.The rate of correlation dimension and mathematical expectation be put forward can describe the stability of athletes，the greater of the rate of correlation dimension and mathematical expectation，the more stable of the athletes.The research results provide a theoretical basis and a way to quantify the stability of table tennis athletes.At the same time，it also assigns players for the opponent according to different technical characteristics.In addition，the athlete can also train himself according to the expectation rate of the ball control，so as to improve the stability of play.

table tennis；placement；stability；mathematical statistics；fractal；rate of correlation dimension and mathematical expectation

G 846

A

1005-0000（2017）02-117-06

10.13297/j.cnki.issn1005-0000.2017.02.005

2017-01-05；

2017-03-15；錄用日期：2017-03-16

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：51676131；51176129）

張俊偉（1993-），男，江西樂平人，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)榉中螌W(xué)與體育應(yīng)用。

1.上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，上海200093；2.上海體育學(xué)院中國(guó)乒乓球?qū)W院，上海200438。