例析“人船”模型在動量守恒定律教學(xué)中的應(yīng)用

吳思岑+閆嘉琪+張健

摘 要：“模型法”是高中物理習(xí)題教學(xué)的基本方法之一。本文從“人船”模型的建立出發(fā)，探討了“人船”模型的特點(diǎn)、規(guī)律、實(shí)質(zhì)及其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：人船模型；動量守恒；習(xí)題解析

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2017）9-0052-3

“人船”模型是力學(xué)問題中一個十分典型的物理模型，也是動量守恒問題中的一種特殊情形。其物理過程類似于反沖模型，以人在船上運(yùn)動為原型，所以稱為“人船模型”問題。掌握其特點(diǎn)、規(guī)律和實(shí)質(zhì)，可以解決很多“形異質(zhì)同”的問題，對于培養(yǎng)模型解題法也是一個很好的典例。

1 模型的建立

如圖1所示，長為L，質(zhì)量為M的小船靜止在靜水中，一個質(zhì)量為m的人立在船頭，不計水的阻力，當(dāng)人由船頭走到船尾的過程中，此船的位移是多少？

解析 在人從船頭走到船尾的過程中，由于人和船組成的系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，所以系統(tǒng)在水平方向上動量守恒。

解答 設(shè)人的速度大小為v1，船的速度大小為v2，如圖1所示。人運(yùn)動的位移大小為s1，船運(yùn)動的位移大小為s2，選人運(yùn)動的方向為正方向，則有mv1-Mv2=0。

點(diǎn)評 以上就是典型的“人船”模型，人和船相對于水面的位移只與人和船的質(zhì)量有關(guān)，與運(yùn)動情況無關(guān)。

2 模型的基本規(guī)律

2.1 力學(xué)特征

“人船”模型是由人和船兩個物體構(gòu)成的系統(tǒng)，該系統(tǒng)在人和船相互作用下各自運(yùn)動。人動船動、人停船停、人快船快、人慢船慢，雖然相互作用的過程中人與船的運(yùn)動是變速的，但運(yùn)動過程中系統(tǒng)所受到的合外力為零保證了在運(yùn)動的過程中始終滿足動量守恒定律。

2.2 適用條件

（1）系統(tǒng)總動量守恒（常見情況是系統(tǒng)內(nèi)兩個物體原來均處于靜止?fàn)顟B(tài)），或在系統(tǒng)內(nèi)各物體發(fā)生相對運(yùn)動的過程中，至少有一個方向上（如水平方向或豎直方向）合外力為零，即該方向上動量守恒。

（2）上式中s1、s2均為動量守恒方向且是對于同一參照物的位移。

（3）所求問題僅涉及物體的位移，不涉及速度。

2.3 解題關(guān)鍵

畫出相互作用過程中物體位移的關(guān)系草圖，要注意兩個物體之間對于地面的移動方向和兩個物體位移大小之間的關(guān)系是解決本類問題的關(guān)鍵；而人和船的位移關(guān)系滿足ms1=Ms2?？梢?，位移與人的運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)，不論是勻速行走還是變速行走，甚至往返行走，只要人最終到達(dá)船的末端，結(jié)論都是相同的。

3 模型的應(yīng)用

將“人船”模型的研究對象、空間變換，情景變換以及將問題目標(biāo)擴(kuò)展，但只要滿足模型條件，均可利用（1）（2）關(guān)系式解決。

3.1 把“人船”模型變?yōu)椤叭塑嚒蹦Ｐ?/p>

如圖2所示，質(zhì)量為M的平板小車靜止于光滑水平面上。質(zhì)量為m的人從車左端走到車右端的過程中，車將后退多遠(yuǎn)？

3.2 變“一船”為“兩船”

如圖3所示，兩只質(zhì)量均為M=120 kg的小船在靜水面上靜止，相距L=10 m，兩船間用一繩連接。在甲船頭有一質(zhì)量為m=60 kg的人以恒力F拉繩，不計水的阻力，則兩船相遇時，各前進(jìn)了多少米？

3.3 把“人船”模型變?yōu)椤皬棸小蹦Ｐ?/p>

某人在一只靜止的小船上練習(xí)射擊，船、人連同槍（不包括子彈）及靶總質(zhì)量為M，槍內(nèi)有n顆子彈，每顆子彈質(zhì)量為m，槍口到靶的距離為L，子彈射出槍口時對地速度為v0。在發(fā)射后一顆子彈時，前一顆子彈已射入靶中，則在發(fā)射完71顆子彈時，小船后退距離為多少？

解析 系統(tǒng)動量守恒，每發(fā)射后一顆子彈，前一顆子彈已進(jìn)入靶中。由模型公式知：

3.4 把“人船”模型變?yōu)椤扒颉蹦Ｐ?/p>

如圖4所示，質(zhì)量為m、半徑為r的小球，放在內(nèi)半徑為R、質(zhì)量為3m的大空心球內(nèi)。大球開始靜止在光滑水平面上，當(dāng)小球由如圖4中位置無初速度釋放沿內(nèi)壁滾到最低點(diǎn)，大球移動距離為多少？

解析 此問題的研究對象變換為兩個球體，空間由一維水平情況變換為豎直面內(nèi)的二維情況，但水平方向仍滿足人、船模型，難點(diǎn)在于位移關(guān)系的求解，見圖4。

3.5 把“人船”模型變?yōu)椤靶泵妗蹦Ｐ?/p>

如圖5所示中，物體A和B質(zhì)量分別為m 和2m，其直角邊長分別為a=0.2 m，b= 0.1 m ，a'=0.8 m ，b'=0.4 m ，B與水平面間無摩擦，開始靜止。當(dāng)A從B頂端由靜止下滑至底端時，則A發(fā)生的位移為多大？

參考文獻(xiàn)：

[1]汪志云.“動量守恒定律”的學(xué)習(xí)進(jìn)階教學(xué)[J].物理教學(xué)探討，2016，34（7）：66-68.

（欄目編輯 陳 潔）endprint