趣味連續(xù)和等式

吳朝陽(yáng)，數(shù)學(xué)博士，歷史學(xué)博士，計(jì)算機(jī)科學(xué)碩士，目前任教于南京大學(xué)。

“阿尚，1加2等于幾？”“5啦。拜托——人家開(kāi)學(xué)就3年級(jí)了?！薄昂冒?，那4加5加6等于多少？”“很簡(jiǎn)單，等于15?！薄盀槭裁床徽f(shuō)等于7加8呢？”“哦，真的是噢?！薄鞍⑸?，那你說(shuō)9加10加11加12等于多少？”“那就等于13加14加15嘍?！?/p>

在去瑞士的大巴上與小侄子的這段對(duì)話，引出的是如下一系列有趣的等式：

1+2=3

4+5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

16+17+18+19+20=21+22+23+24

這個(gè)系列可以一直寫(xiě)下去，它有以下兩大特點(diǎn)：①每個(gè)等式里的數(shù)都是連續(xù)自然數(shù)；②左邊比右邊多1個(gè)數(shù)。此外，我們還注意到，這系列等式恰好用盡所有的自然數(shù)，而第n個(gè)等式右邊有刀個(gè)數(shù)，左邊則比右邊多1個(gè)。還有，等式中左右兩串?dāng)?shù)的分界數(shù)有一個(gè)簡(jiǎn)單的公式：n（n+1）。

有趣的事情還有很多，例如，我們還有如下的系列等式

0+1+2=3

4+5+…+8=9+10+11

12+13+…+18=19+20+…+23

24+25+…+31+32=33+34+…+38+39

……=……

這系列等式從0開(kāi)始，恰好用盡所有非負(fù)整數(shù)。與上一個(gè)系列不同，這系列等式左邊總是比右邊多2個(gè)數(shù)，其第n個(gè)等式左邊有（n+2）個(gè)數(shù)，右邊是n個(gè)，而這兩串?dāng)?shù)的分界為2n₂。

如此有趣，我們自然會(huì)想：如果左邊比右邊多出u個(gè)數(shù)，會(huì)不會(huì)有系列等式？如果有的話，又會(huì)是什么樣子？于是，我們開(kāi)啟探索模式。

設(shè)等式中參與加法的數(shù)從左到右是連續(xù)自然數(shù)，右邊有m個(gè)數(shù)，左邊多了u個(gè)，有m+u個(gè)數(shù)。記左邊開(kāi)始的數(shù)為后，則左邊最后一個(gè)數(shù)是k+m+u-1。相應(yīng)地，等式右邊開(kāi)始于k+m+u而終結(jié)于k+2m+u-1。于是，由等差數(shù)列的求和公式，我們得到：

于是，第一個(gè)等式的左邊是從2到43，右邊是從44到61。暗藏的一個(gè)趣味點(diǎn)是：這系列等式雖然不是從1開(kāi)始，但后一個(gè)等式的數(shù)也恰好是接著上一個(gè)等式的。換句話說(shuō)，這系列等式恰好用盡除了1之外的所有自然數(shù)。

我們略去繁瑣的公式推導(dǎo)，僅在這里指出：當(dāng)u為奇數(shù)，或者u的因數(shù)中恰有奇數(shù)個(gè)2，即u=2^2s-1（2t-1）時(shí)，我們都可以得到相似的系列和式，每個(gè)系列中的自然數(shù)前后相接，都用盡起始數(shù)之后的所有自然數(shù)。而當(dāng)u是偶數(shù)且其因數(shù)中恰有偶數(shù)個(gè)2時(shí)，不存在類(lèi)似的等式系列。

有一個(gè)“大名垂宇宙”的定理叫勾股定理，與之相應(yīng)的最著名的等式是：3²+4²=5²。

這讓我們好奇，會(huì)不會(huì)對(duì)平方和也有與上述相似的系列等式呢？于是，我們也馬上展開(kāi)探索。首先，我們需要明確“相似”的意思，從最直接的想法出發(fā)，我們對(duì)相似提出兩點(diǎn)要求。

（1）左邊、右邊都是連續(xù)自然數(shù)的平方和，并且右邊的第一個(gè)恰好比左邊的最后一個(gè)大1；

（2）右邊平方和的個(gè)數(shù)比左邊少1個(gè)。

根據(jù)這種相似的意思，我們?cè)O(shè)等式的左邊開(kāi)始于石2，終止于（k+m）²。也就是說(shuō)，左邊的自然數(shù)從后開(kāi)始，總共有（m+1）個(gè)。這樣，右邊的自然數(shù)必須從（k+m+1）開(kāi)始，并終止于（k+2m）。因此，根據(jù)左右相等的條件，我們得到等式：k²+…+（k+m）²=（k+m+1）²+…+（k+2m）²。

應(yīng)用自然數(shù)連續(xù)平方和的求和公式，有：

生命不止，好奇不息，我們繼續(xù)考慮相似的問(wèn)題：存在不存在左邊比右邊多2個(gè)數(shù)的平方和系列等式？左邊比右邊多u個(gè)的一般情況又如何？仔細(xì)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：應(yīng)用相等關(guān)系所得到的關(guān)于后的方程是一元二次方程，它除了u=1之外看不到解出整數(shù)后值的可能性。因此，這回的好奇心只好轉(zhuǎn)而尋找新的興奮點(diǎn)。

平方和相等的系列等式?jīng)]有什么新的希望，那么考慮平方和之間有倍數(shù)關(guān)系會(huì)怎么樣？確實(shí)，我們能夠有所發(fā)

這，是不是非常有趣？

這有些難以置信？那我們就來(lái)做一做推導(dǎo)證明——這一點(diǎn)都不復(fù)雜。首先，很容易計(jì)算出：

然后，然后就不需要然后了。

使用代數(shù)方法推導(dǎo)，我們可以找到無(wú)窮多個(gè)這種連續(xù)自然數(shù)平方和的倍數(shù)關(guān)系式。例如，對(duì)從1到11的平方和也有無(wú)窮多串11個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和是它的整數(shù)倍。最小的一個(gè)從47開(kāi)始到57，倍數(shù)關(guān)系是59倍。

應(yīng)用計(jì)算機(jī)計(jì)算，我們可以發(fā)現(xiàn)不少連續(xù)自然數(shù)的立方和等式，但系列等式似乎是不存在的。因此，我們對(duì)連續(xù)自然數(shù)的立方和，著重點(diǎn)也是尋找相似的倍數(shù)關(guān)系式，而我們也很快就找到好玩的實(shí)例：

這些公式有些抽象，但表格是非常直觀的，我們計(jì)算出上列公式中的前6個(gè)，列表如下。endprint