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    最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)

    2017-10-26 07:22:47張新春
    湖南教育·C版 2017年10期
    關(guān)鍵詞:互質(zhì)公因數(shù)公倍數(shù)

    張新春

    1.最大公因數(shù)

    若d是a的因數(shù),也是b的因數(shù),我們就稱(chēng)d是a,b的公因數(shù)。a,b的公因數(shù)中最大的一個(gè),叫做a,b的最大公因數(shù)。記為(a,b)或GCD(a,b)。

    我們可以把最大公因數(shù)的定義寫(xiě)得正式一點(diǎn)。

    d是a,b的最大公因數(shù),當(dāng)且僅當(dāng):(1)d|a,d|b;(2)若c|a,c|b,則c臆d。

    有幾個(gè)問(wèn)題需要討論一下:(1)任意的兩個(gè)數(shù)a,b都有公因數(shù)嗎?(2)a,b的公因數(shù)中一定有一個(gè)最大的嗎?

    對(duì)于問(wèn)題(1),由于1是任何數(shù)的因數(shù),所以對(duì)任意兩個(gè)數(shù)a,b,1都是它們的公因數(shù)。從而任意的兩個(gè)數(shù)a,b都有公因數(shù)。對(duì)于問(wèn)題(2),若a,b不同時(shí)為0,當(dāng)a是正數(shù)時(shí),a的因數(shù)最大者為a,當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí),a的因數(shù)最大者為-a;對(duì)于b也可以作類(lèi)似的討論。也就是說(shuō),對(duì)任意不同時(shí)為0的a,b,它們的公因數(shù)總是小于a,-a,b,-b這四個(gè)數(shù)中的最大者,從而總是有最大公因數(shù)。

    需要注意的是,a,b可以任意為正為負(fù),但不能同時(shí)為0,即(0,0)是沒(méi)有意義的。

    若兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)為1,我們稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù),或稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)(或互素)。

    (2)a,b的任意公因數(shù)都是a,b的最大公因數(shù)的因數(shù)。

    在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中,找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)通常都是用列舉的辦法。即分別找出兩個(gè)數(shù)的因數(shù),再找出公共的因數(shù),然后找出最大的一個(gè)。這種方法盡管效率不高,卻是一種最樸素的方法,應(yīng)用范圍也最廣,蘊(yùn)含著一些基本的數(shù)學(xué)思想方法(列舉、集合的思想等)。我們需要正確認(rèn)識(shí)其價(jià)值。當(dāng)然,在此基礎(chǔ)上,若能讓學(xué)生學(xué)會(huì)一些比較高效的方法也是有價(jià)值的。

    2.最小公倍數(shù)

    兩個(gè)整數(shù)a,b的最小公倍數(shù),是指能同時(shí)被a,b整除的數(shù)中的最小正整數(shù)。通常記為[a,b]。而能同時(shí)被a,b整除的數(shù)也叫a,b的公倍數(shù)。

    有一個(gè)結(jié)論:a,b的任意公倍數(shù)都是其最小公倍數(shù)的倍數(shù)。比如15和10的最小公倍數(shù)是30,那么15和10的任何公倍數(shù)都應(yīng)該是30的倍數(shù)。這一點(diǎn)不難檢驗(yàn)。問(wèn)題是如何在一般情況下證明這個(gè)結(jié)論?我們只需要證明a,b的任意正的公倍數(shù)都是其最小公倍數(shù)的倍數(shù)即可。為此,我們?cè)O(shè)m是a,b的最小公倍數(shù)而N是a,b的任意正的公倍數(shù)。我們要證明N是m的倍數(shù)。事實(shí)上,由于m是a,b的最小公倍數(shù)而N是a,b的正的公倍數(shù),因此,N不小于m,從而N-m應(yīng)該為a,b的公倍數(shù)(一個(gè)數(shù)的兩個(gè)倍數(shù)之差仍為這個(gè)數(shù)的倍數(shù))。且N-m不小于0。若考慮N-m,N-2m,N-3m…以上數(shù)列終于會(huì)從某一個(gè)開(kāi)始小于0。

    設(shè)N-xm是最后一個(gè)大于0的。這就是說(shuō)N-xm大于0,而N-xm再減去一個(gè)m就不大于0了(注意,不一定是小于0)。于是N-xm不大于m,但m是a,b的最小公倍數(shù),從而N-xm不可能小于m,于是只有N-xm=m。從而N是m的倍數(shù)。

    最小公倍數(shù)的求法可由下列結(jié)論轉(zhuǎn)化為最大公因數(shù)的求法。

    兩個(gè)整數(shù)a,b的最小公倍數(shù)[a,b]和最大公因數(shù)(a,b)滿(mǎn)足[a,b]=(a,b)=a×b,即兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

    3.線(xiàn)性不定方程

    我們知道,兩個(gè)整數(shù)a,b的最大公因數(shù),就是所有形如ax+by的正整數(shù)中最小的一個(gè)。并且,所有形如ax+by的數(shù),都是a,b的最大公因數(shù)的倍數(shù)。比如a=78,b=30,則a,b的最大公因數(shù)為6。由歐幾里得算法,可以找到這樣的x,y,使得78x+30y=6。

    事實(shí)上,78=30×2+18,30=18×1+12,18=12×1+6,12=6×2+0。由此可以得到6=18-12×1。我們需要把其中的18和12用含有78和30的式子表示,這樣就可以把6寫(xiě)成形如78x+30y的形式。而由上面的式子可知18=78-30×2,12=30-18=30-(78-30×2)=30×3-78。于是,6=18-12×1=78-30×2-(30×3-78)=78×2-30×5 =78×2+30×(-5)。

    像78x+30y=6這樣未知數(shù)個(gè)數(shù)超過(guò)一個(gè)的方程叫不定方程。這個(gè)不定方程也叫線(xiàn)性不定方程,線(xiàn)性是指方程的未知數(shù)的次數(shù)為1,之所以說(shuō)是“線(xiàn)性”,很重要的原因是像78x+30y=6這樣的方程,在幾何上就表示一條直線(xiàn)。不定方程通常有很多解,我們往往關(guān)心滿(mǎn)足一定條件的解,比如整數(shù)解,特別是正整數(shù)解。

    我們還可以證明,方程ax+by=1的所有整數(shù)解都可以寫(xiě)成這種形式。

    于是,求不定方程ax+by=1(a,b互質(zhì))整數(shù)解的問(wèn)題就得到完全的解決。

    考慮一般的問(wèn)題,形如ax+by=n(n為整數(shù),a,b互質(zhì))的整數(shù)解如何求呢?只要求出ax+by=1(a,b互質(zhì))的解,再乘n就可以了。

    考慮更一般的問(wèn)題,若不定方程ax+by=n中的a,b不互質(zhì)呢?我們不難想到,若這個(gè)方程有整數(shù)解,n一定能被a,b的最大公因數(shù)整除(事實(shí)上,比如方程78x+30y=9就不可能有整數(shù)解,因?yàn)閷?duì)任意的整數(shù)x,y,78x+30y都是6的倍數(shù),而不會(huì)是9),此時(shí),只要用a,b的最大公因數(shù)去除這個(gè)方程的兩邊,即可把這個(gè)方程轉(zhuǎn)化為上述研究過(guò)的方程。

    于是,對(duì)于任意有整數(shù)解的不定方程,我們已經(jīng)得到了求其所有整數(shù)解的方法。

    在以上討論不定方程的過(guò)程中,我們先研究特殊情況,再設(shè)法把一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況。這是數(shù)學(xué)研究常用的方法,在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也應(yīng)該適當(dāng)?shù)貪B透這種方法。endprint

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