小議培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思維的作用

袁威

高中數(shù)學(xué)難度較大，單靠課堂時(shí)間，學(xué)生要想取得好成績，那幾乎是不可能的，所以必須培養(yǎng)學(xué)生的建模思維。建模思維是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，有了建模思維，并能善加運(yùn)用，抽象問題就具體化，具體問題就形象化，解決問題就簡單化了。

一、建塑建模思維

高中生有三年初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)思維有了一定的認(rèn)識(shí)和了解，日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常會(huì)自覺運(yùn)用。但僅僅具有數(shù)學(xué)思維，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是不夠的。因此，教師應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的建模思想。

何為數(shù)學(xué)建模？就是遇到實(shí)際抽象問題，需從某個(gè)角度去定量分析研究的時(shí)候，能對(duì)問題進(jìn)行簡化，去建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)語言和符號(hào)把問題表述出來，并通過推導(dǎo)計(jì)算等過程來解決問題，并符合實(shí)際，而這個(gè)建立模型的過程叫作數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、流程（也叫程序）、圖形等的總稱，是對(duì)實(shí)際問題的抽象解釋，對(duì)問題的解決有指引作用。它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯思維的嚴(yán)密性，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用是極其廣泛的。

數(shù)學(xué)建模思維對(duì)學(xué)生邏輯思維的開發(fā)、創(chuàng)新能力的提高的促進(jìn)作用十分重大。可以說，這種思維是學(xué)生建立創(chuàng)新思維的基礎(chǔ)。當(dāng)前的教改，旨在為社會(huì)提供更多高素質(zhì)的高端人才。所以，建塑學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維，是數(shù)學(xué)教師不可推卸的責(zé)任。

二、加強(qiáng)建模思維的訓(xùn)練

1.聯(lián)系生活，形成建模意識(shí)

教師要從學(xué)生熟悉的生活出發(fā)，讓他們將生活中的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、轉(zhuǎn)化問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)。如“籬笆問題”：一農(nóng)家建雞舍，靠墻建，給出了墻的長度、占地面積，以及現(xiàn)有籬笆長度，問如何搭建比較合理？考查的是學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中對(duì)數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用能力，獨(dú)立去探索、去解決問題，在實(shí)際問題的解決時(shí)，學(xué)生形成建模意識(shí)，自然提升了建模思維解決問題的能力。

2.建模思維的常見形式

常見的有：函數(shù)模型，數(shù)列模型，不等式模型，排列組合模型，概率模型，解析幾何模型等。教師應(yīng)根據(jù)模型的不同，分類解析，舉實(shí)例，學(xué)生依據(jù)實(shí)例，和教師一塊分析、探究，然后布置相關(guān)練習(xí)，培養(yǎng)建模思維。

（1）函數(shù)模型

就是根據(jù)題意，分析變量關(guān)系，弄清變量之間的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，再運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)思維解決函數(shù)問題得到答案。學(xué)習(xí)中，運(yùn)用該類實(shí)際問題有：計(jì)算成本最低、利潤最高、用料最省等實(shí)際問題。如“建雞舍問題”：依墻而建，已知籬笆長度、墻長度，求怎樣建雞舍才能使雞舍面積最大？解決這類問題，就需要函數(shù)建模。教師應(yīng)該讓學(xué)生多練習(xí)此類題，養(yǎng)成函數(shù)建模意識(shí)。

（2）數(shù)列模型

生活中，我們會(huì)遇到增長率、福利人口增長等實(shí)際問題，這類問題就需要數(shù)列模型來解決。根據(jù)題意，解決這類題的關(guān)鍵是分析明確首項(xiàng)和倍率等。例如，某縣位于沙漠邊緣，人們經(jīng)過長期綠化，到1998年底全縣綠化率已達(dá)到30%。1999年起每年將出現(xiàn)這樣的局面：原有沙漠的16%改造為綠洲，而同時(shí)原有綠洲的4%又被侵蝕變成沙漠。

①寫出1999年起以后相鄰兩年年底該縣綠化率的關(guān)系式；

②判斷是否成等比數(shù)列？為什么？

③經(jīng)過多少年才能使全縣的綠化率超過60%？

題干中的綠地面積的多少涉及兩個(gè)方面：政府加大了造林力度，綠地面積不斷增加；但由于受到侵蝕，原綠地面積又在不斷變成沙漠，每年這兩個(gè)方面的綠地面積之差就是該年全縣的綠地面積。而每年沙漠綠化與綠地沙化都是建立在前一年的基礎(chǔ)上，且為百分比，所以應(yīng)考慮兩年的綠地面積與全縣面積的百分比之間的關(guān)系，屬于數(shù)列問題，由此應(yīng)通過遞推數(shù)列來解決。

（3）不等式模型

解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最值問題，通常要建立函數(shù)關(guān)系，列出表達(dá)式，再根據(jù)題意要求解決問題。此類問題相對(duì)簡單易懂，多加練習(xí)就能掌握。

（4）排列組合模型

這是與計(jì)數(shù)有關(guān)的問題，如課程安排，商品生產(chǎn)中的次品率等都需要用到排列組合模型。

譬如，六人站成一排，求：

①甲不在排頭，乙不在排尾的排列法；

②甲不在排頭，乙不在排尾，且甲、乙不相鄰的排列法。

分析：A.先考慮排頭、排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而需分類。

第一類：乙在排頭，有120種站法。

第二類：乙不在排頭，當(dāng)然也不能在排尾，有384種站法。

B.第一類：甲在排尾，乙在排頭，有24種方法。

第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有72種方法。

第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有96種方法。

第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有282種方法。

共474種方法。

弄懂了數(shù)列模型，學(xué)生的邏輯思維能力會(huì)有很大提升。

（5）概率模型

概率問題，分清哪些問題是古典概率、哪些問題是條件概率是關(guān)鍵，具體問題具體分析。分清主要概率類型和公式，此類題就會(huì)很容易解決了。

（6）解析幾何模型

解析幾何模型一般用于解決曲線類問題，如物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，拋物線的問題等，還有求異面直線所成的角、二面角的平面角、線線垂直、線面垂直、面面垂直及平行等問題。解決這類問題需要建立解析幾何模型，此類模型抽象，不易懂，要融入類比等思維。這就要學(xué)生加強(qiáng)練習(xí)，不僅要在課堂上與教師完成整個(gè)思維練習(xí)，更要獨(dú)立思考，深入探究，才能夠掌握這種模型。

總之，建模思維是提升學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的基石，是學(xué)生獨(dú)立思考能力及解決實(shí)際問題能力的前提，是學(xué)生發(fā)散思維的橋梁。數(shù)學(xué)教師只有培養(yǎng)學(xué)生的建模思維，才能為社會(huì)培育創(chuàng)新型人才做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。