數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用

黃天舒

摘要：本文以數(shù)學(xué)歸納法的整體架構(gòu)為突破口，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的基本原理和計(jì)算方式、理論和使用做出了探究，并闡述了數(shù)學(xué)歸納法在對(duì)幾何、數(shù)列、不等式以及數(shù)的整除證明方向的具體使用方式，旨在以使用數(shù)學(xué)歸納法解決問題來對(duì)高中生運(yùn)算技巧、觀察能力、邏輯思考能力和處理綜合應(yīng)用問題的能力加以鍛煉，使之能通過數(shù)學(xué)歸納法更高效的解題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

數(shù)學(xué)歸納法一種針對(duì)證明某個(gè)自然數(shù)n相關(guān)的數(shù)學(xué)課題的解決手段，是在進(jìn)行一定次數(shù)的檢驗(yàn)、假定和討論來替代無窮次數(shù)的實(shí)例檢驗(yàn)，進(jìn)而達(dá)成充分證明命題成立的目標(biāo)，換而言之，就是從一些特定狀況下總結(jié)成立規(guī)律，使用遞推的手段，從理論上對(duì)這種規(guī)律的無限推廣至一般情況，恰當(dāng)?shù)氖褂脭?shù)學(xué)歸納法處理問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)范疇內(nèi)應(yīng)該掌握的方法[1]。

一、數(shù)學(xué)歸納法的一般原理

數(shù)學(xué)歸納法是從peano的自然數(shù)公理中衍生出來的，自然數(shù)存在下面幾條性質(zhì)：

1、1為一個(gè)自然數(shù)。

2、所有確定為自然數(shù)的數(shù)值a，都肯定存在的后繼數(shù)a￠，并且a￠也應(yīng)為自然數(shù)。

2、所有自然數(shù)的后繼數(shù)都不可能是1，也就是說11a￠。

4、一個(gè)自然數(shù)是只可能是某個(gè)特定數(shù)的后繼數(shù)，后者確實(shí)并非后繼數(shù)，也就是若aii=b時(shí)確定a=b成立。

5、如果某個(gè)自然數(shù)的集合含有1，而且含有a，也肯定含有a的后繼數(shù)a￠，如此這一集合含有全部自然數(shù)。

第五條即為數(shù)學(xué)歸納法的來源和成立判據(jù)。

形式：假定p（n）是有關(guān)自然數(shù)n的命題，如果確定有①p（1）；②"n∈N，如果p（n）存在→p（n+1）存在，那么p（n）對(duì)"n∈N都確定存在。

變式：假定p（n）為n這個(gè)自然數(shù)的命題，如果確定有①p（n0）（n0IN）；②”n∈N，n>n0，如果p（n）存在→p（n+1）存在。則存在p（n）對(duì)”n∈N，n>n0均確定存在。

按照數(shù)學(xué)歸納法原理的表述，在對(duì)自然數(shù)命題相關(guān)的證明時(shí)可對(duì)應(yīng)的依照下面的步驟做處理：

1、證明p（1）能夠成立（奠基步驟）；

2、假定p（n）成立，得出p（n+1）也可以成立（歸納步驟）；

由1、2能夠得出p（1）對(duì)于"n∈N成立。

實(shí)際上它的核心思路是：從有限度的檢驗(yàn)和一次性的邏輯推理當(dāng)中，代替推廣到無數(shù)次的檢驗(yàn)程序，證明其在所有證明范圍內(nèi)都成立。endprint