用簡諧運動的周期公式求單擺小角度擺動的周期

張曉麗

(邢臺市第二中學(xué),河北 邢臺 054001)

用簡諧運動的周期公式求單擺小角度擺動的周期

張曉麗

(邢臺市第二中學(xué),河北 邢臺 054001)

本文首先推導(dǎo)質(zhì)點做簡諧運動的周期的一般公式,對偏角很小時單擺的振動進(jìn)一步理想化,假設(shè)擺球在通過平衡位置的水平直線上往復(fù)運動．根據(jù)簡化的單擺模型求出: (1) 做固有振動的單擺； (2) 勻加速上升(或下降)的電梯中的單擺； (3) 在勻強電場或勻強磁場中的單擺的回復(fù)力比例系數(shù),再由簡諧運動的周期公式求出這幾種單擺的周期,不需要引入等效重力加速度和等效擺長的概念．

簡諧運動的周期; 簡化的單擺; 回復(fù)力比例系數(shù); 小角度擺動

單擺是簡諧運動的理想化模型之一,我們遇到求單擺振動周期問題時,總是借助等效重力加速度和等效擺長兩個物理量．通過對單擺做簡諧運動的進(jìn)一步簡化,根據(jù)簡諧運動的一般周期公式可以求各類單擺小角度擺動的周期．

1 簡諧運動的周期公式

圖1

(1)

(1)式中k是回復(fù)力與位移關(guān)系式的比例系數(shù),該式是簡諧運動的一般周期公式．

2 單擺小偏角擺動的進(jìn)一步理想化

擺球靜止在最低點O時,擺球受到的重力mg和懸線的拉力T平衡,小球受合力為0,O點為單擺的平衡位置,拉開擺球使它偏離平衡位置,放手后擺球以平衡位置為中心做往復(fù)運動．[1]偏角越小,擺球沿圓弧運動過程中的豎直分位移越小,當(dāng)偏角很小時設(shè)想將擺球的豎直位移忽略不計,認(rèn)為小球在通過平衡位置O的水平線上左右做簡諧運動．單擺做固有振動時豎直方向處于平衡狀態(tài)合力為0,做其他振動時若有豎直加速度則該方向遵循牛頓第二定律,回復(fù)力是擺線張力的水平分力,在勻強磁場中的單擺的回復(fù)力是張力T與洛侖茲力f合力的水平分力．這是對單擺做簡諧運動條件的進(jìn)一步理想化,我們稱它為簡化的單擺．

圖2

(2)

3 單擺做固有振動的周期

(3)

圖3

例1.如圖3所示,光滑斜面上的擺球,斜面傾角為α,擺線長為l,求擺球在平衡位置附近來回振動的周期.

解析：擺球受3個力:重力mg,細(xì)線的拉力T,斜面的支持力N(圖3中只畫出光滑斜面內(nèi)所受的力),小球做小角度擺動時,在y方向上,根據(jù)平衡條件,得Tcosθ=mgsinα,在x方向上,回復(fù)力為F=-Tsinθ=-mgsinαtanθ,由此可得

(4)

(5)

例2.如圖4所示,已知地球半徑為R,地球表面的重力加速度為g,在距地球表面高度h(h?R)處有一個單擺,求擺球在平衡位置附近來回振動的周期.

解析：設(shè)在離地面h高度處重力加速度為g1,擺球受兩個力:重力mg1和細(xì)線拉力T,小球做小角度擺動時,在y方向上Tcosθ=mg1,在x方向上,回復(fù)力為

(6)

(7)

4 勻加速上升(或下降)的電梯中單擺的振動周期

例3.如圖5所示,電梯以加速度a勻加速上升,在電梯中有一個單擺做小角度擺動,重力加速度為g,求單擺的運動周期.

圖5

解析：擺球受兩個力作用:重力mg和細(xì)線的拉力T,擺球隨電梯以相同的加速度向上做勻加速直線運動,小球做小角度擺動時,在豎直方向上,根據(jù)牛頓第二定律,[2]得Tcosθ-mg=ma,在水平方向上,回復(fù)力為F=-Tsinθ,由此可得

(8)

(9)

5 在勻強電場或勻強磁場中單擺的周期

圖6

例4.如圖6所示,豎直向下的勻強電場的電場強度為E,絕緣細(xì)線的一端固定,另一端系一個小球,小球所帶電荷量為+q,使小球在勻強電場中做小幅度擺動,求小球的擺動周期.

解析：小球在擺動過程中受3個力作用:重力mg,豎直向下的電場力qE和細(xì)線的張力T．小球做小幅度擺動時,在豎直方向上,根據(jù)平衡條件,得Tcosθ=mg+qE,在水平方向上,回復(fù)力為F=-Tsinθ,由這兩式解得

(10)

(11)

圖7

例5.如圖7所示,在垂直于紙面向里的勻強磁場中,絕緣細(xì)線的一端固定, 另一端系一個帶電小球,小球帶電荷量為+q,勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B,求小球做小角度擺動時的周期.

解析：小球在運動過程中受3個力:重力mg,細(xì)線的拉力T和洛侖茲力f,f=Bqv．下面分兩種情況求回復(fù)力．

小球從右向左擺動過程中,根據(jù)左手定則,洛侖茲力f沿細(xì)線向下,與拉力T方向相反,如圖7所示.小球做小角度擺動時,在豎直方向上,根據(jù)平衡條件,Tcosθ=mg+fcosθ,即(T-f)cosθ=mg,在水平方向上,回復(fù)力為F=-Tsinθ+fsinθ，即F=-(T-f)sinθ,根據(jù)這兩式,解得

小球從左向右擺動過程中,根據(jù)左手定則,洛侖茲力f沿細(xì)線向上,與拉力T方向相同,同理,可得

(12)

(13)

上面我們運用簡諧運動的周期和簡化的單擺這個理想化模型,針對幾種常見的單擺,推導(dǎo)了它們的回復(fù)力表達(dá)式,求出它們做簡諧運動的周期．這種方法的思路是:分析擺球的受力情況,在滿足小角度擺動的條件下,運用平衡條件或牛頓第二定律求出回復(fù)力表達(dá)式從而確定比例系數(shù)k,再根據(jù)簡諧運動的周期公式求單擺的周期．等效法雖然普遍地用來求單擺的周期,但總使人感到缺乏依據(jù),不知道遵循的是什么物理規(guī)律．我們提出的求單擺周期的方法,是對單擺運動過程的理想化,較好地反映了單擺的運動特征,使人們比較透徹地理解單擺的周期的概念,而且也可以求任何單擺做簡諧運動的周期．

1 人民教育出版社.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書物理選修3-4[M].北京:人民教育出版社,2010:13-16.

2 柯堯.賞析一道求振動周期的競賽題的多種解法[J].物理教師,2016,37(10):92-93.

2017-03-12)