培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思能力例析

劉勇

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中不能一味灌輸知識(shí)，而要讓學(xué)生感受、反思。培養(yǎng)學(xué)生的反思能力能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性。學(xué)生在課堂上對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)進(jìn)行辨別和反思可以加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)；在課前和課后鞏固知識(shí)時(shí)進(jìn)行反思和總結(jié)對(duì)提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力有著重要意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；反思能力；學(xué)生

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）17-057-2

反思是指教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行一般性回顧的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步的掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思路以及方法，是一種較為有效的學(xué)習(xí)方式。根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)表明，當(dāng)前高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思能力并未達(dá)到預(yù)期水平，筆者結(jié)合自身多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)如何培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思能力進(jìn)行了分析，旨在為其他的教學(xué)工作者提供一定的借鑒。

一、在課堂教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力

要想培養(yǎng)學(xué)生會(huì)反思，能對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)，能學(xué)會(huì)并形成解決問(wèn)題的思維方法，教師就必須把數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)作為長(zhǎng)期的任務(wù)，讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷多次“自主解決”的過(guò)程，

1.通過(guò)學(xué)生的自我反思，提高對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣

案例1：七人站成一排，其中甲、乙兩人相鄰，但與丙不相鄰，則一共有多少種排法？

絕大部分的學(xué)生通過(guò)捆綁法、插空法可以得到共有A22A44A25=960種站法。但有的學(xué)生卻提出不同的想法：只考慮甲、乙相鄰，有A22A66種站法，再考慮甲、乙、丙相鄰，有A33A55種站法，運(yùn)用排除法則滿足要求共有A22A66-A33A55=720種站法。

看到這截然不同的答案，同學(xué)們一時(shí)熱情高漲，眾說(shuō)紛紜。教學(xué)從矛盾開(kāi)始就是從問(wèn)題開(kāi)始。思維自疑問(wèn)和驚奇開(kāi)始，在教學(xué)中可設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生不易回答的懸念，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，起到啟示誘導(dǎo)的作用。這時(shí)候根本不需要老師講解，學(xué)生自己就可以得出第二種解法的錯(cuò)誤原因：甲、乙、丙相鄰應(yīng)該是在甲、乙相鄰的基礎(chǔ)上再和丙相鄰，并能進(jìn)行糾正錯(cuò)誤，得到正確的答案：A22A66-A22A22A55=960。學(xué)生自己提出問(wèn)題，再讓學(xué)生自己解決問(wèn)題，這應(yīng)該是我們課堂上常采用的模式，既可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。

2.通過(guò)學(xué)生的自我反思，對(duì)數(shù)學(xué)概念的再認(rèn)識(shí)

案例2：已知集合M={x|y+x+1=0，x，y∈R}，N={x|x2+y2=1，x，y∈R}，則M∩N等于（）

A.ΦB.RC.MD.N

很多學(xué)生拿到題目就會(huì)毫不猶豫地畫出拋物線和圓，再由圖象的交點(diǎn)情況選擇選項(xiàng)A。這時(shí)候我并沒(méi)有解釋，只是又出了一道題：

已知集合M={（x，y）|y+x+1=0，x，y∈R}，N={（x，y）|x2+y2=1，x，y∈R}，則M∩N等于（）

A.ΦB.RC.MD.N

學(xué)生很自然對(duì)這兩題進(jìn)行對(duì)比，再通過(guò)思考和分析，不難發(fā)現(xiàn)本來(lái)的想法是錯(cuò)的，也很快找到正確的答案。但是對(duì)這個(gè)題目并沒(méi)有到此為止，而是問(wèn)學(xué)生錯(cuò)誤的原因是什么，學(xué)生思考后認(rèn)為對(duì)集合的描述法的概念認(rèn)識(shí)不夠。于是讓學(xué)生回歸課本，加深對(duì)集合的描述法的概念的理解。我又問(wèn)以后遇到這一類型應(yīng)注意什么，學(xué)生很容易總結(jié)出：集合的一般元素和公共屬性。

建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)生需要對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)概念構(gòu)造自己的理解，使得“教”的作用不再是講演、解釋，或者企圖去“傳送”知識(shí)，而是為促使學(xué)生進(jìn)行心智建構(gòu)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境和條件。這種教學(xué)方法的關(guān)鍵，是將每一個(gè)數(shù)學(xué)概念按皮亞杰的知識(shí)理論分解成許多發(fā)展性的步驟，這些步驟的確定要基于對(duì)學(xué)生的觀察和談話。創(chuàng)設(shè)背景，讓學(xué)生自我糾錯(cuò)，再和學(xué)生在交談中深化總結(jié)，這要比一語(yǔ)道破天機(jī)要好很多。

3.過(guò)學(xué)生的自我反思，對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理

案例3：已知橢圓方程x26+y22=1，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是橢圓上的任意一點(diǎn)，求cos∠F1MF2的最小值。

有些學(xué)生的解答是這樣的：

cos∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|22|MF1||MF2|

≥2|MF1||MF2|-162|MF1||MF2|，

∴當(dāng)|MF1|=|MF2|=4時(shí)，cos∠F1MF2取最小值12。

這種解答的結(jié)果與事實(shí)相符，但解題過(guò)程中的推理缺乏邏輯性，所以對(duì)學(xué)生具有一定的迷惑性。如果這時(shí)候直接對(duì)學(xué)生講使用均值定理需要三個(gè)條件：一正，二定，三相等，學(xué)生只能被動(dòng)地接受，而缺少本身的一種體驗(yàn)，對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)仍然是松散的，對(duì)知識(shí)的運(yùn)用只能停留在模仿階段。在這里不妨用另一道題與其對(duì)比，讓學(xué)生進(jìn)行反思與總結(jié)：

已知兩點(diǎn)M1、M2的坐標(biāo)分別是（-1，0）、（1，0），點(diǎn)P是直線l：x+y=2上的任一點(diǎn)，求|M1P|+|M2P|的最小值。

根據(jù)上面的分析思路，|M1P|+|M2P|≥2|M1P|·|M2P|，當(dāng)|M1P|=|M2P|，即當(dāng)P點(diǎn)落在上圖中的Q（0，2）點(diǎn)時(shí)|M1P|+|M2P|取最小值5。有些學(xué)生運(yùn)用幾何法：作出M1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′1，計(jì)算的M′1的坐標(biāo)為（-2，1），連結(jié)M1M′1與直線l相交于點(diǎn)P，此時(shí)|M1P|+|M2P|=|M′1P|+|M2P|≥|M′1M2|最小值為10。這時(shí)對(duì)于截然不同的答案，學(xué)生立刻熱情高漲，紛紛發(fā)表自己的意見(jiàn)，通過(guò)發(fā)現(xiàn)矛盾，分析矛盾，再通過(guò)自我反思，得出原本解法的錯(cuò)誤原因：對(duì)均值定理應(yīng)用的條件理解不足，從而通過(guò)自身的體驗(yàn)加深了對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)也提高了自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、在知識(shí)回顧的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的反思能力

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程以后，再回過(guò)頭來(lái)對(duì)自己的解題活動(dòng)加以回顧與探討、分析與研究，并從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、學(xué)習(xí)的啟示三個(gè)層面進(jìn)行知識(shí)鞏固，這是數(shù)學(xué)解題過(guò)程的最后階段，也是對(duì)提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力最有意義的階段。endprint

1.預(yù)習(xí)后的反思

預(yù)習(xí)是上課前對(duì)即將要上的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行閱讀，了解其梗概，做到心中有數(shù)，以便于掌握聽(tīng)課的主動(dòng)權(quán)。由于預(yù)習(xí)是學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的嘗試，對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容是否正確理解，能否把握其重點(diǎn)、關(guān)鍵，洞察到隱含的思想方法等，都能及時(shí)在聽(tīng)課中得到檢驗(yàn)、加強(qiáng)或矯正，有利于提高他們的學(xué)習(xí)能力和養(yǎng)成自學(xué)的習(xí)慣，所以它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要一環(huán)。所以指導(dǎo)學(xué)生如何進(jìn)行預(yù)習(xí)后的反思也是相當(dāng)有必要的。

預(yù)習(xí)后的反思，是指學(xué)生在預(yù)習(xí)高中數(shù)學(xué)過(guò)程中進(jìn)行的自我預(yù)測(cè)和反饋，利用已有知識(shí)檢測(cè)對(duì)新知識(shí)的了解程度、缺陷程度，以便于把握課堂學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。除了應(yīng)反思學(xué)習(xí)新內(nèi)容所需的舊知識(shí)（或預(yù)備知識(shí)）外，還應(yīng)該反思預(yù)習(xí)的基本內(nèi)容要講些什么，要解決什么問(wèn)題，采取的是什么方法，重點(diǎn)關(guān)鍵在那里等等。反思時(shí)，可以采用邊閱讀、邊反思、邊書寫的方式，把內(nèi)容的要點(diǎn)、層次、聯(lián)系劃出來(lái)或打上記號(hào)，寫下自己的看法或弄不懂的地方與問(wèn)題，最后確定聽(tīng)課時(shí)要解決的主要問(wèn)題或打算，以提高聽(tīng)課的效率。

2.解題后反思

對(duì)問(wèn)題解答后的結(jié)論的正確性的檢驗(yàn)或提出疑問(wèn)；是否還有其他解法或更佳解法；能否對(duì)問(wèn)題的題設(shè)或結(jié)論進(jìn)行變式；對(duì)否把當(dāng)前的命題推廣到一般情況；進(jìn)一步考慮問(wèn)題的題設(shè)的完備性（充分性）及結(jié)論的精確性。

案例4：必修4的課本上的102頁(yè)例4，在斜三角形ABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

在此基礎(chǔ)上又設(shè)計(jì)了幾道題目，讓學(xué)生邊思考邊反思：

（1）A+B=45°，求tanA+tanB+tanAtanB的值，

（2）求（1+tan22°）（1+tan23°）的值，

（3）求（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）的值，

（4）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}，a1+an=π4，求（1+tana1）（1+tana2）…（1+tanan-1）（1+tanan）的值。

課堂上所得的知識(shí)是有限的，許多問(wèn)題的解決要通過(guò)學(xué)生對(duì)信息的聯(lián)想、創(chuàng)造，通過(guò)反思，深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，以實(shí)現(xiàn)再學(xué)習(xí)的目的。

案例5：已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1，求證：

（a+1a）2+（b+1b）2+（c+1c）2≥1003。

略證：由條件可得：（a+1a）2=（a+1+ba+ca）2以及相應(yīng)的另外另外兩個(gè)式子，展開(kāi)，利用算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)可證。

反思一：本題的解題思路是什么？本題通過(guò)變形1=a+b+c的代換，并且利用了基本不等式的性質(zhì)。

反思二：是否有其他方法可解？令A(yù)=a+1a，B=b+1b，C=c+1c，再利用：13（A2+B2+C2）≥（A+B+C3）2可證。

反思三：能推廣嗎？設(shè)ai>0，∑ni=1ai=1，求證：∑ni=1（ai+1ai）≥（n2+1）2n。

學(xué)生在反思原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)新題進(jìn)行思考，既鞏固了已學(xué)知識(shí)，又培養(yǎng)了創(chuàng)新能力。因此，解題教學(xué)的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝?wèn)題的結(jié)果，真正的目的是為了提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神。

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)將易犯錯(cuò)誤、難以理解的知識(shí)讓學(xué)生多思考、多反思，這樣學(xué)生以后就不會(huì)或很少犯相同的錯(cuò)誤，學(xué)生也會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)充滿了興趣和成就感。建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程不是被動(dòng)地吸收課本和老師的現(xiàn)成的結(jié)論，而是一個(gè)充滿興趣，親自參與的豐富、生動(dòng)的思維過(guò)程，是一個(gè)不斷反思不斷進(jìn)步的過(guò)程，是一個(gè)實(shí)踐和創(chuàng)新的過(guò)程。所以我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生興趣，養(yǎng)成學(xué)習(xí)反思習(xí)慣，幫助學(xué)生在自主探索和合作交流的過(guò)程中，構(gòu)建知識(shí)，訓(xùn)練技能，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]張紹英.培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的若干基本途徑.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2004（11）.

[2]張掖.新課程理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)反思.教育革新，2007（08）.endprint