復(fù)合材料基鏤空網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的建模與仿真

張福生，許家忠，張思博，李紅強

（1.哈爾濱理工大學(xué)機械動力工程學(xué)院，哈爾濱150080；2.哈爾濱學(xué)院信息工程學(xué)院，哈爾濱150080；3.江蘇恒神股份有限公司工程技術(shù)中心，江蘇丹陽212314）

復(fù)合材料基鏤空網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的建模與仿真

張福生1，2，許家忠1，張思博1，李紅強3

（1.哈爾濱理工大學(xué)機械動力工程學(xué)院，哈爾濱150080；2.哈爾濱學(xué)院信息工程學(xué)院，哈爾濱150080；3.江蘇恒神股份有限公司工程技術(shù)中心，江蘇丹陽212314）

為進一步挖掘復(fù)合材料構(gòu)件的輕量化和成型形態(tài)等結(jié)構(gòu)特性，提出了突破傳統(tǒng)滿鋪結(jié)構(gòu)的曲面鏤空等厚度網(wǎng)殼構(gòu)件的數(shù)學(xué)模型，并對其成型表面的形態(tài)和效果進行了實驗驗證.運用三維空間曲面映射法建立笛卡爾參數(shù)坐標系，在單位球面上建立并推導(dǎo)了網(wǎng)殼構(gòu)件曲面測地線弧及測地線交角的高斯第I基本型模型，利用MATLAB對該模型的正交編織算例進行了仿真和構(gòu)型驗證.結(jié)果表明：除仿真構(gòu)件邊緣平齊一致性不足外，該仿真構(gòu)型與預(yù)期結(jié)果構(gòu)型輪廓相符.為進一步驗證該模型用于實際生產(chǎn)制造的可行性，采用預(yù)浸纖維復(fù)合材料帶為基材，經(jīng)編織、固化生產(chǎn)出該模型的5×5網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)成品試件.該研究為復(fù)合材料殼體超輕化且低成本結(jié)構(gòu)成型提供了新思路，可為網(wǎng)殼類結(jié)構(gòu)制件的支撐筋/骨架設(shè)計提供建模新方法.

復(fù)合材料；測地線；網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)建模；MATLAB仿真

相比于金屬材料，復(fù)合材料以其比模量高、比剛度大、可設(shè)計性強和環(huán)境魯棒性好等優(yōu)質(zhì)特性，在航空、航天、汽車、艦船、機械、土建以及軍事等實際工程中得到廣泛應(yīng)用［1－3］，而復(fù)合材料結(jié)構(gòu)體（如雷達整流罩、飛機頭部等）的應(yīng)用需求通常存在結(jié)構(gòu)功能與輕量化等諸多困難.構(gòu)件結(jié)構(gòu)的輕量化可通過以下3種方法來實現(xiàn)：1）采用高比強度和高比模量的復(fù)合材料體系替代金屬材料，并通過少用材料實現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化；2）通過結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計，將復(fù)合材料的優(yōu)勢承載方向沿結(jié)構(gòu)的傳力路徑布置，剔除非傳力區(qū)材料，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化；3）采用復(fù)合材料整體成型技術(shù)，實現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的整體制備，達到結(jié)構(gòu)減重的目的.應(yīng)用上述方法，在采用輕質(zhì)復(fù)合材料基礎(chǔ)上，進一步挖掘其結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計，采用以復(fù)合材料帶為基材的網(wǎng)狀薄殼結(jié)構(gòu)，以進一步挖掘復(fù)合材料構(gòu)件成型的構(gòu)造規(guī)律和輕量化.文獻［4］提出一種利用彎折薄木條疊接鉆孔鉚固法生成木條網(wǎng)殼的輕量化方法，該方法因在木條上鉆孔而破壞了木纖維本身的彎折曲率和成型姿態(tài)，并存在較大的結(jié)構(gòu)反力，加之木條纖維受環(huán)境溫濕度等的影響較大，構(gòu)件成型建模的各個因素復(fù)雜，導(dǎo)致建模求解困難或發(fā)散.

本文則以雷達整流罩為原型，采用受環(huán)境因素影響小的預(yù)浸復(fù)合材料帶為構(gòu)型基材，以單位球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)為主體，在笛卡爾坐標系下的單位球為映射基點，研究將文獻［4］的多參量、高階導(dǎo)數(shù)簡化為僅有θ和φ兩個參量的簡化微分模型，提出基于測地線網(wǎng)的薄殼建模方法（測地線網(wǎng)殼模型）.在選材上，采用輕質(zhì)、高強的預(yù)浸單向連續(xù)纖維復(fù)合材料帶；在構(gòu)型上，結(jié)構(gòu)呈網(wǎng)狀多孔，形成曲面網(wǎng)架.這些網(wǎng)孔不是傳統(tǒng)的滿鋪工藝基礎(chǔ)上，再通過移除需開孔處材料獲得，而是沿構(gòu)件曲面的測地曲線連續(xù)生成測地網(wǎng)架，以避免常規(guī)的切除網(wǎng)孔部材料成孔而破壞纖維材料的連續(xù)性［5］.在工藝上，采用工業(yè)機器人纏繞/鋪放工藝取代傳統(tǒng)的手工工藝，經(jīng)加熱固化成型，也可根據(jù)功能需要進一步進行蒙皮、功能材料和傳感器埋設(shè)技術(shù)等工藝完成后續(xù)制造［6－7］，達到結(jié)構(gòu)成型－功能實現(xiàn)的自動化和輕量化等目的［8］.

1 曲面網(wǎng)殼建模的相關(guān)條件和概念

曲面網(wǎng)殼理論是以古典微分幾何、廣義相對論的基本條件和殼體理論的基本假設(shè)為基礎(chǔ)的［9］.曲面測地線（Geodesic）即短程線，“短程線”一詞來源于地球測量學(xué)，即連接球面上兩點的最短距離.據(jù)此原理，用過球心和這兩點的平面截球，在球面上所得截線成為大圓，兩點在大圓上的連線為最短距離.它是將Euclid三維空間里，兩點之間直線最短這一基本概念推廣到Riemann空間的曲面上，而測地線的微分方程是保證纖維復(fù)合材料帶軌跡最佳的關(guān)鍵；薄殼是曲面的薄壁結(jié)構(gòu)，即殼體的厚度遠小于殼體曲面的最小曲率半徑，稱為薄殼，否則稱為厚殼，按曲面生成的外形分為筒殼、球形殼、雙曲扁殼和旋轉(zhuǎn)面殼等［10］.而曲面網(wǎng)殼是由測地線交織成網(wǎng)并具有一定厚度的殼體結(jié)構(gòu).根據(jù)測地線的定義在單位球面上直接推導(dǎo)測地線弧算法.對于單位球面上的測地線，有：扭轉(zhuǎn)張量為零，且測地線上各點的李導(dǎo)數(shù)也為零的性質(zhì)［4］，如式（1）和式（2）所示.

從而可導(dǎo)出直接用計算機編程計算出各位置向量的測地線弧方程，為產(chǎn)品的自動化生產(chǎn)提供可能.

2 系統(tǒng)建模

依據(jù)高斯微分幾何［11］，以球心為坐標原點O（0，0，0），建立笛卡爾直角坐標系.

2.1 坐標參數(shù)設(shè)定及球面方程建立

設(shè)3個坐標軸分別用x，y，z表示，球面上任一點的坐標為P（x，y，z），矢量方程在x軸、y軸和z軸的方向向量分別用i，j，k表示，球半徑為R，并用θ和φ表示從z軸到位置向量P（x，y）的經(jīng)緯線跨距的曲率坐標（右手法則），如圖1和圖2所示，因該曲面是單位球面，故點P坐標用參數(shù)方程可表示為式（3），其中，半徑R＝1，x，y為未知變量.在笛卡爾坐標系中，當z＝－1時，在xoy平面上，兩個相交的橢圓方程如式（4）所示，其中，a和b分別表示橢圓的長半軸或短半軸.

圖1 單位球面上點P的θ和φ參數(shù)表示Fig.1 Parameter representation of P，θ and φ on the unit sphere

圖1和圖2中的兩個橢圓相交于P（x，y），將點P坐標用參數(shù)θ、φ和1表示，如圖3和圖4所示，當x＝0時，y＝sinφ；當y＝0時，x＝sinθ.

圖2 點P在xoy平面上投影位置Fig.2 The projection position of point P on xoy

圖3 點P在xoy上的參數(shù)坐標Fig.3 The parameter coordinate of the point P on xoy

圖4 點P（θ，φ，1）的參數(shù)關(guān)系Fig.4 The parameter relationship of the point P（θ，φ，1）

2.2 單位球面上用θ、φ變量表示的P點坐標參數(shù)

單位球面上水平和垂直方向相較于點P的橢圓方程如圖5和圖6所示.在水平方向的橢圓中：a＝1，b＝sinφ；在垂直方向的橢圓中：a＝sinθ，b＝1.由式（4），過點P的橢圓方程為式（5）和式（6）.

有

圖5 xoy平面上的水平橢圓Fig.5 The horizontal ellipse on the plane xoy

圖6 xoy平面上的垂直橢圓Fig.6 The vertical ellipse on the plane xoy

上述每個橢圓在P（x，y）上具有相同的x，y變量，由式（3）、（5）和（6）計算如下.

1）對于變量x，

解得

2）對于變量y，

解得

3）對于變量z，

則，在單位球面上點P在笛卡爾坐標系下表示為

2.3 建立微分方程，求解曲面弧長、角度

取單位球面底部的1/4球片作為參考面，因要研究其表面的弧線，故以下稱該1/4球片為1/4網(wǎng)片S，在該1/4網(wǎng)片上建立位置矢量（｛θ，φ｝∈［－π/4，π/4］），如圖7所示.推導(dǎo)并求得相應(yīng)微分方程及夾角.

圖7 1/14網(wǎng)片圖Fig.7 1/4?sphere?patch

2.3.1 建立矢量函數(shù)和求出一階導(dǎo)數(shù)

圖8 向量在（0，0）和（－π/4，π/4）的1/4網(wǎng)片F(xiàn)ig.8 1/4 of Vector，in（0，0）and（－π/4，π/4）mesh

兩個基向量的雅可比矩陣的秩是2，并可確定該位置矢量（除兩極以外，θ＝φ＝0是奇點），如式（13）所示.

2.3.2 在單位球上導(dǎo)出高斯曲面方程

依據(jù)經(jīng)典質(zhì)點力學(xué)理論，可導(dǎo)出度量張量的高斯第一基本型，基向量的質(zhì)點矩陣見式（14）.

可得

第一基本型的微分形式，弧微分的平方為

再由式（15）和式（16），整理得到式（17），可算出成型路徑上的弧長和角度為

1）計算弧長s

式（18）的右邊含有θ和φ的合成方向，不便計算.但可以采取固定一個變量，沿著另一變量的方向計算.如沿著θ方向移動，保持φ不變，即dφ＝0.

2）計算角度ω

計算兩弧相交的弧角ω，見式（20）.

3 仿真與分析

為考察復(fù)合材料網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)模型的成型效果［12］，達到數(shù)學(xué)建模的可視化，對該建模方法分別按纖維材料帶經(jīng)緯正交5×5、10×10、20×20和30×30編織進行了仿真實驗［13］，以考察模型的成型形態(tài)、網(wǎng)孔大小及網(wǎng)孔分布情況［14－15］，各仿真圖右側(cè)的彩色條形圖例是表示從底部到邊緣的各測地線曲率分布情況.

3.1 MATLAB仿真實驗

在該模型中，取纖維復(fù)合材料帶長度R＝300 mm，寬度 5 mm，角度為｛θ，φ｝∈［－π/2，π/2］.分別采用5×5、10×10、20×20和30×30編織的算例，其網(wǎng)殼構(gòu)型三維仿真分別如圖9～12所示，圖中xoy平面的藍色網(wǎng)格帶是成型前正交編織的纖維復(fù)合材料帶，數(shù)學(xué)模型導(dǎo)入后得出網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的構(gòu)件成型形狀，其經(jīng)緯方向的復(fù)合材料帶的疊接交織的曲率由構(gòu)件底部至向上開口方向漸進變小，同緯度上（等高線）交織點的曲率是相同的，其交角隨著維度的升高漸次變小.同時可見，在等長度材料帶的情況下，隨著經(jīng)緯編織密度的增大，構(gòu)件所生成的網(wǎng)孔面積逐漸變小，結(jié)構(gòu)成型的測地表面線間耦合越緊密，耗用的材料也越多.

圖9 5×5網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的三維仿真圖Fig.9 5×5 Meshed shell structures of 3D simulation

圖10 10×10網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的三維仿真圖Fig.10 10×10 Meshed shell structures of 3D simulation

網(wǎng)殼三維等高線和二維等高線分別如圖13和圖14所示，直觀體現(xiàn)了鏤空網(wǎng)殼等緯度線上的弧長和交角均分別相同，材料帶的銳角交角沿經(jīng)度線方向由下至上（z軸正方向）逐漸變小.

圖11 20×20網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的三維仿真圖Fig.11 20×20 Meshed shell structures of 3D simulation

圖12 30×30網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的三維仿真圖Fig.12 30×30 Meshed shell structures of 3D simulation

圖13 網(wǎng)殼三維等高線圖Fig.13 Meshed shells 3D contour map

圖14 網(wǎng)殼二維等高線圖Fig.14 Meshed shells 2D contour map

仿真實驗驗證了基于單位球面的測地線網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的建模方法可實現(xiàn)網(wǎng)殼類外形構(gòu)件的建模、仿真和成型.

3.2 網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)驗證

盡管仿真實驗驗證了數(shù)學(xué)模型構(gòu)型的可實現(xiàn)性，但能否適合生產(chǎn)制造還需進行生產(chǎn)相關(guān)的驗證，通過MATLAB導(dǎo)出程序輸入鋪放機器人的程控單元.

3.2.1 工藝

采用江蘇恒神公司研發(fā)的T300級碳纖維/環(huán)氧單向預(yù)浸復(fù)合材料帶，寬度5 mm，厚度1 mm，正交編織鋪置于胎膜內(nèi)，加壓固化溫度170℃，固化時間150 min.編織截圖如圖15所示，成型后如圖16所示，與仿真網(wǎng)殼構(gòu)型結(jié)構(gòu)相符.

圖15 復(fù)合材料帶隔行正交編織預(yù)鋪Fig.15 Composite materials with interlaced orthogonal woven before paving

圖16 復(fù)合材料網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)成型圖Fig.16 Composite meshed shell structures molding figure

3.2.2 現(xiàn)象

升溫固化過程中加溫箱中有輕微炸裂的異響，分析是環(huán)氧預(yù)浸材料帶交叉節(jié)點處因高溫高壓膨脹而輕微微開裂所發(fā)出的響聲.

3.2.3 存在問題及原因

網(wǎng)殼構(gòu)型雖與預(yù)期相符，但試件邊緣內(nèi)外側(cè)出現(xiàn)最大約0.05 mm的褶皺現(xiàn)象，如圖16的矩形框所示，原因是該生產(chǎn)工藝中支撐模具的內(nèi)膜壓實度不均造成，在未來批量化生產(chǎn)時將改進工藝予以解決；對于試件邊緣平齊性不一致的問題可通過邊緣修剪和模型改進得到改善.

3.2.4 試件結(jié)構(gòu)特點

一體化一次成型；用材達到最少、結(jié)構(gòu)超輕、疊接處因環(huán)氧的特性而自動粘結(jié)，纖維無斷絲和破壞，試件整體耦合與穩(wěn)固性好；網(wǎng)孔的鏤空部分可根據(jù)需要設(shè)置其他功能材料或器件而制造其他功能構(gòu)件.

4 結(jié) 論

本文的建模方法，突破了傳統(tǒng)手工成型的低效和高耗能的設(shè)計和工藝，能夠便捷、高效實現(xiàn)曲面網(wǎng)殼的減重設(shè)計和制造，利于結(jié)構(gòu)－功能－設(shè)計制造的輕量化和一體化.

1）復(fù)合材料構(gòu)件的結(jié)構(gòu)可通過空間曲面映射的數(shù)學(xué)建模進一步挖掘其結(jié)構(gòu)性能，提升復(fù)合材料構(gòu)件的超輕化.

2）仿真實驗表明，采用基于測地線原理的建模方法，可直接實現(xiàn)變曲率復(fù)合材料網(wǎng)殼的結(jié)構(gòu)成型，并可考察其結(jié)構(gòu)各相位等高線的耦合關(guān)系，較其他建模方法更便捷、直觀.

3）經(jīng)試制和測量，該模型的算法可行且網(wǎng)殼構(gòu)型同一取樣點的測量值與仿真值精度誤差小于0.01 mm，在未來的研究中應(yīng)進一步優(yōu)化模型算法，并探索利用傳感器技術(shù)研究網(wǎng)殼的力學(xué)性能、優(yōu)化成形工藝、振動和破壞等特性，以更有利于自動化制造.

［1］賴長亮，劉闖，王俊彪.IsoTruss超輕復(fù)合材料結(jié)構(gòu)制造及力學(xué)性能測試［J］.復(fù)合材料學(xué)報，2014，31（2）：127－134.LAIChangliang， LIU Guang ，WANG Junbiao.Fabrication and mechanical property test of IsoTruss ultra?lightweightcomposite structures［J］.Acta Materiae Composite Sinica，2014，31（2）：127－134.

［2］韓小進，孫慧玉，閆光，等.三維五向編織復(fù)合材料漸進損傷分析的數(shù)值方法［J］.復(fù)合材料學(xué)報，2012，29（6）：219－224.HAN Xiaojin，SUN Huiyu，YAN Guang，et al.Numerical method for progressive damage analysis of 3D five?directionalbraided composite［J］.Acta Materiae Composite Sinica，2012，29（6）：219－224.

［3］盧子興，王曉英，俸翔.復(fù)合材料層合板臨界屈曲載荷分散性［J］.復(fù)合材料學(xué)報，2013，30（1）：194－200.LU Zixing，WANG Xiaoying，F(xiàn)ENG Xiang.Critical buckling load discrepancy of composite laminates［J］.Acta Materiae Composite Sinica，2013，30（1）：194－200.

［4］ROBERT J Lind.Variably?curved，meshed thin shells： geometry，mechanics，and fabrication［D］.American：Tufts University，2008.

［5］秦升學(xué)，郭笑笑，蔣少松，等.連續(xù)玻纖/PE增強復(fù)合帶彈性參數(shù)計算方法［J］.材料科學(xué)與工藝，2016，24（3）：40－44.QIN Shengxue，GUO Xiaoxiao，JIANG Shaosong，et al.The method for calculating the elastic parameters of continuous glass fiber/PE reinforced composite［J］.Materials Science and Technology，2016，24（3）：40－44.

［6］古托夫斯基T G.先進復(fù)合材料制造技術(shù)［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2004：236－248，285－286.GUTOWSKIT G.Advanced composites manufacturing technology［M］.Beijing：Chemical Industry Press，2004：236－248，285－286.

［7］MA Liangkai，SRIVASTAVA Rakesh，BARPANDA Dev，et al.Journal of reinforced plastics and composites［J］.December 2013，32（24）：1916－1927.

［8］AHMAD Rezaghasemi，MOHAMMAD Hadi Hajmo?hammad.Multi?objectiveoptimization oflaminated composite shells for minimum mass/cost and maximum buckling pressure with failure criteria under external hydrostatic pressure［J］.Structural and Multidiscipli?nary Optimization，2017，55（3）：1051－1062.

［9］YIN Jin，YANG Dongsheng，ZHANG Sheng.Laminat?ed composite plate and shell elementsbased on combi?nation method［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2013，34（1）：89－96.

［10］LIUA Bo，F(xiàn)ERREIRAB A J M，XINGA Y F，et al.Analysis of functionally graded sandwich and laminated shells using a layerwise theory and a differential quadrature finite elementmethod［J］.Composite Structures，2016，136（2）：546－553.

［11］SUDIP Dey，AMIT Karmakar.Dynamic analysis of delaminated composite conical shells under low velocity impact［J］.JournalofReinforced Plastics and Composites，2013，32（6）：380－392.

［12］PANNEERDHASS R，GNANAVELBABU A，RAJKU?MAR K.Preparation，properties and machinability study of luffa fiber?groundnut shell reinforced epoxy composite［J］.Applied Mechanics and Materials，2016，852：29－35.

［13］CUI X，LIU G L，LU C，et al.Study on CF reinforced interface properties of PES?C resin matrix composite［J］.Advanced Materials Research，2014，887－888：70－76.

［14］羅忠，朱云鵬，陳曉兵，等.復(fù)合材料層合板相似模型的幾何區(qū)間確定方法［J］.機械工程學(xué)報，2014，50（9）：58－64.LUO Zhong，ZHU Yunpeng，CHEN Xiaobing，et al.Study of the structure size interval of similar test model of the laminated composite plate［J］.Journal of Mechanical Engineering，2014，50（9）：58－64.

［15］GUO Li，CAI Xiaolan，ZHOU Lei，et al.Optimization of process parameters for in high?energy ball milling of CNTs/Al2024 composites through response surface methodology［J］.JournalofHarbin Institute of Technology，2016，23（1）：53－59.

Mathematical modeling and simulation of hollowed mesh?shell?structure based on the composites

ZHANG Fusheng1，2，XU Jiazhong1，ZHANG Sibo2，LI Hongqiang3
（1.School of Mechanical Engineering，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China；2.School of Software，Harbin University，Harbin 150080，China；3.Engineering Technology Center，Jiangsu Hengshen Co.，Ltd，Danyang 212314，China）

In order to find out the light weight，the molding form and other structural properties of composite，surface hollow shell structures is proposed based on the geodesic principle，which has broken the traditional spread structure.The three?dimensional space surface mapping and Cartesian parameter equation are used.It is established and deduced the surface geodesic net shell components arc and geodesic of Gauss′s the First Fundamental Form on the unit sphere.MATLAB is used to simulate the experimental model and validate the simulation configuration.It is showed that the simulation configuration profile is consistent with the expected results.The prep reg fiber composite material band is used to produce the 5×5 net shell structures product of the model.To further verify the feasibility and effectiveness of the model.The study provides new ideas to realize the ultra?light composite shell，high load factor and low?cost molding.The analysis model and method are provided for the design，simulation and manufacturing of the net shell structure，which is beneficial to explore，develop and enrich the integrated design of the material?structure?function and manufacturing methods and theories.

composite material；geodesic line；meshed shell structure；mathematical；modeling and simulation

TB332

A

1005－0299（2017）05－0055－07

2016－10－16.< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間：

時間：2017－09－11.

黑龍江省自然科學(xué)基金資助項目（E201301）；哈爾濱市優(yōu)秀學(xué)科帶頭人項目（2016RAXXJ013）；哈爾濱市杰出青年人才專項基金項目（RC2016JQ009005）.

張福生（1971—），男，博士研究生，高級工程師.

許家忠，E?mail：xujiazhong＠126.com.

10.11951/j.issn.1005－0299.20160351

（編輯 呂雪梅）