飽和土體中線彈性連續(xù)屏障的隔振分析

丁海濱，楊園野，徐長節(jié),2，童立紅，趙秀紹

(1.華東交通大學(xué) 江西省巖土工程基礎(chǔ)設(shè)施安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330013；2.浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058)

飽和土體中線彈性連續(xù)屏障的隔振分析

丁海濱1，楊園野1，徐長節(jié)1,2，童立紅1，趙秀紹1

(1.華東交通大學(xué) 江西省巖土工程基礎(chǔ)設(shè)施安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330013；2.浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058)

基于Biot波動理論，推導(dǎo)了飽和土中S波入射線彈性固體連續(xù)屏障時(shí)反射P1波、P2波、S波的反射系數(shù)與透射S波、P波的透射系數(shù)的解析解。進(jìn)行算例分析，得出各反射透射系數(shù)與線彈性固體連續(xù)屏障密度、泊松比及彈性模量的關(guān)系。結(jié)果表明：線彈性固體隔振結(jié)構(gòu)密度對P1波和P2波反射系數(shù)基本無影響；而隨著線彈性固體隔振結(jié)構(gòu)密度的增大，S波的反射和透射系數(shù)及P波的透射系數(shù)均逐漸減小，且漸趨穩(wěn)定；線彈性固體連續(xù)屏障泊松比和彈性模量的變化對P1波P2波反射系數(shù)及P波透射系數(shù)基本無影響，而對S波的反射系數(shù)和透射系數(shù)影響較大，S波的反射系數(shù)隨著線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比和彈性模量的增大而增高，S波的透射系數(shù)隨著泊松比的增大而減小，隨著彈性模量的增大而增大。

振動與波；S波；飽和土；隔振屏障；反射系數(shù)；透射系數(shù)

環(huán)境振動危害的防治一直是工程中不可忽視的問題，關(guān)于波的傳播，振動的隔離，已有諸多學(xué)者進(jìn)行了研究。Biot基于飽和土的雙相介質(zhì)特性，最先提出了“多孔介質(zhì)變形”理論，討論了飽和土中三種波的傳播，并給出了飽和土體各參數(shù)的物理意義及測量方法[1–2]。葉成江等通過理論推導(dǎo)結(jié)合算例分析研究了入射角度、入射頻率、及界面透水條件對S波(secondary wave)由飽和土入射彈性土?xí)r的反射和透射系數(shù)的影響[3]。周新民等采用理論推導(dǎo)結(jié)合算例分析研究了飽和土中P波(Primary wave)入射水氣界面時(shí)與入射角及頻率的關(guān)系[4]。Lin著重研究了孔隙率對平面波在飽和土體中的反射的影響[5]。高廣運(yùn)基于薄層法原理推導(dǎo)了飽和地基的三維動力基本解答，研究了軌道交通荷載作用下飽和地基波阻板主動隔振的規(guī)律[6]。

屏障隔振有排樁，填充溝墻，空溝等多種形式，研究主要分為現(xiàn)場試驗(yàn)，理論研究，數(shù)值模擬三個(gè)方面。Woods通過大量試驗(yàn)研究，提出了有關(guān)屏障隔振設(shè)計(jì)的基本準(zhǔn)則，并提出振幅衰減系數(shù)作為隔振衡量標(biāo)準(zhǔn)[7]。Takemiya提出了蜂窩形柱狀屏障，并通過現(xiàn)場試驗(yàn)驗(yàn)證了其隔振效果[8]。理論研究方面，陳元杰基于Biot理論與半解析法研究了單排樁對低頻振動的隔振效果[9]。徐平等運(yùn)用復(fù)變函數(shù)的保角映射方法和波場勢函數(shù)展開法研究了多排屏障對P波的隔離效果[10]。高廣運(yùn)等研究了層狀地基屏障隔振問題，分析了排樁樁長和不同樁土剪切模量比對排樁隔振效果的影響[11]。Aviles采用波函數(shù)展開法研究了各種波入射情況下排樁的隔振效果[12]。徐斌等根據(jù)飽和土Biot理論，分析了空溝對移動荷載引起飽和土體振動的被動隔振效果[13]。袁萬等基于Biot飽和多孔介質(zhì)理論，采用Galerkin法和Fourier變換，研究了均質(zhì)和層狀飽和土中，空溝的隔振效果[14]。數(shù)值模擬方面，朱兵見等采用有限元-無限元解法分析了溝深、溝寬及空溝到振源的距離對空溝隔振效果的影響[15]。

以混凝土為代表的線彈性固體材料作為建筑隔振屏障材料，在工程中應(yīng)用廣泛。對于飽和土體中線彈性固體連續(xù)屏障的隔振效果，諸多學(xué)者進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值模擬研究，然而基于理論推導(dǎo)的數(shù)值解析研究尚較少見。因此研究線彈性固體連續(xù)屏障的材料參數(shù)對于隔振效果的影響，對于環(huán)境振動危害的防治具有重要意義。

1 飽和土波動方程

根據(jù)Boit波動理論，波動方程表述為[1]：

飽和土為固液兩相介質(zhì)，可設(shè)其位移勢函數(shù)由標(biāo)量勢φs，φf和旋轉(zhuǎn)勢ψs，ψf組成，其中下標(biāo)s表示土體骨架，f表示液體。故可將土骨架位移和流體相對位移與勢函數(shù)寫成

設(shè)平面波解的形式為

其中Ak，Bk——分別為P波和S波幅值；

將式（2）、式（3）代入式（1）中，對式（3）進(jìn)行解耦，由非零解的條件可得到頻散方程[4]

其中A=(λ+2μ)·M

其中ω——入射波頻率；

lp1，lp2，ls——波矢量；

λ，α，μ，M，η——土體模量；

解得三個(gè)波矢量值lp1，lp2，ls，證實(shí)飽和土中存在三種波P1，P2及S波，并得到飽和土體中流體和固體各自勢函數(shù)幅值的比值為[4]

ρ——飽和土體密度。

2 反射與透射系數(shù)求解

工程中振害多由剪切波引起，選用S波為研究對象。取頻率為ω的S波由飽和土入射線彈性固體連續(xù)屏障（如圖1所示），入射角度、反射角度及透射角度如圖中標(biāo)示，則有

（1）飽和土體中（x＜0）

入射S波勢函數(shù)

反射P波勢函數(shù)

圖1 S波由飽和土入射線彈性固體在界面上的反射與透射

反射S波勢函數(shù)

（2）線彈性固體連續(xù)屏障中（x＞0）

設(shè)線彈性固體連續(xù)屏障中位移與勢函數(shù)關(guān)系

透射P波勢函數(shù)

透射S波勢函數(shù)

（3）邊界條件

用勢函數(shù)表達(dá)飽和土體的應(yīng)力與流體壓力

線彈性固體的本構(gòu)方程

其中E，ν—線彈性固體彈性模量和泊松比；

用勢函數(shù)表達(dá)線彈性固體的應(yīng)力

將勢函數(shù)本構(gòu)方程代入邊界條件得系數(shù)矩陣

令Bis=1，解方程組（15）可得反射和透射系數(shù)Ar1，Ar2，Brs，Bts，Atp的解析解。

3 算例分析

本文通過數(shù)值算例，分析線彈性固體連續(xù)屏障密度、泊松比及彈性模量對反射與透射系數(shù)的影響。

（1）飽和土體參數(shù)的計(jì)算

采用的飽和土體參數(shù)見表1。

表1 飽和土體參數(shù)

代入式土體參數(shù)可得A、B、C、D值，將A、B、C與D值代入式（4）可解得lp1，lp2，ls值，將lp1，lp2，ls值代入式（5）可得飽和土體中固液勢函數(shù)幅值得比值m1，m2，ms。

（2）線彈性固體參數(shù)的計(jì)算

故波數(shù)的數(shù)值滿足

根據(jù)Snell折射定律有：

lissinαi=lrssinαi=lr1sinβ1=lr2sinβ2=ltssinαt=ltpsinβt換 算 可 得lisz，lis，lisx，lrs，lrsx，lr1，lr1x，lr2，lr2x，lts，ltsx，ltp，ltpx的值和表達(dá)式。將各參數(shù)代入Ar1，Ar2，Brs，Btp，Atp的解析解，即可得到Ar1，Ar2，Brs，Bts，Atp關(guān)于ω，α，ρ′，E，ν的表達(dá)式。

(3)線彈性固體密度對反射及透射系數(shù)的影響

令ω=100，αi=370，E=30 GPa，ν=0.1，分析了線彈性固體連續(xù)屏障密度為1 000 kg/m3到3 000 kg/m3時(shí)反射系數(shù)與透射系數(shù)的變化情況，如圖2所示。

圖2 各波反射透射系數(shù)與線彈性固體密度關(guān)系

由圖2可以看出，線彈性固體連續(xù)屏障密度從1 000 kg/m3變化到3 000 kg/m3時(shí)，S波反射系數(shù)從0.8降到0.15，S波透射系數(shù)從1.8降到0.2，P波透射系數(shù)從0.03變化到0.01，隨著線彈性固體連續(xù)屏障的密度增加，S波的反射和透射系數(shù)及P波的透射系數(shù)均呈減小趨勢；且由圖可以看出隨著線彈性固體連續(xù)屏障的密度的增大，S波的反射和透射系數(shù)及P波的透射系數(shù)漸趨穩(wěn)定。

線彈性固體連續(xù)屏障的密度對P1波和P2波反射系數(shù)基本無影響，對S波的反射和透射系數(shù)及P波的透射系數(shù)影響較大。飽和土和隔振屏障交界面上，旋轉(zhuǎn)勢能量較大，標(biāo)量勢能量較小，故線彈性固體隔振屏障密度的變化對反射P1波和P2波的的影響很?。浑S著線彈性固體隔振屏障密度的增加，反射的能量減小，故S波的反射系數(shù)會減?。煌环N介質(zhì)中，波的振幅越大能量往往越高，故隨著線彈性固體隔振屏障密度增大，透射的能量有一定增加，但透射系數(shù)卻逐步減??；隨著線彈性固體隔振屏障密度的一直增加，入射能量的分配漸趨穩(wěn)定，故S波的反射和透射系數(shù)及P波的透射系數(shù)也漸趨穩(wěn)定。

（4）線彈性固體泊松比和彈性模量的影響

令ω=100、αi=370、ρ′=2 000 kg/m3，分析了線彈性固體連續(xù)屏障泊松比從0.1到0.3，彈性模量從10GPa到30GPa時(shí)反射系數(shù)與透射系數(shù)的變化情況，如圖3到圖7所示。

由圖3和圖4可以看出，S波入射線彈性固體時(shí)，在界面上反射P1波的反射系數(shù)隨著線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比和彈性模量的增大而降低，反射P2波的反射系數(shù)隨著線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比和彈性模量的增大而增大；當(dāng)線彈性固體連續(xù)屏障泊松比從0.1變化到0.3，P1波和P2波的反射系數(shù)變化幅值為0.001左右；線彈性固體連續(xù)屏障的彈性模量從10GPa變化到30GPa時(shí)，P1波和P2波的反射系數(shù)變化幅值為0.004左右。說明線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比和彈性模量變化，對P1波和P2波的反射影響不大。

圖3 P1波反射系數(shù)與線彈性固體參數(shù)關(guān)系

圖4 P2波反射系數(shù)與線彈性固體參數(shù)關(guān)系

由圖5可以看出，S波的反射系數(shù)隨著線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比和彈性模量的增大而增高，當(dāng)線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比從0.1變化到0.3，其變化幅值為0.02左右；線彈性固體連續(xù)屏障的彈性模量從10GPa變化到30GPa時(shí)，其變化幅值為0.09左右。說明線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比和彈性模量變化，對S波的反射系數(shù)影響較大。

圖5 S波反射系數(shù)與線彈性固體參數(shù)關(guān)系

由圖6可以得到，P波透射系數(shù)隨泊松比和彈性模量的增大而減小，當(dāng)線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比從0.1變化到0.3，其變化幅值為0.000 3左右；線彈性固體連續(xù)屏障的彈性模量從10GPa變化到30 GPa時(shí)，其變化幅值為0.000 7左右。說明線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比和彈性模量變化，對P波的透射系數(shù)影響較小。

由圖7可以看出，S波的透射系數(shù)隨著泊松比的增大而減小，隨著彈性模量的增大而增大，當(dāng)線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比從0.1變化到0.3，其變化幅值為0.15左右；線彈性固體連續(xù)屏障的彈性模量從10GPa變化到30GPa時(shí)，其變化幅值為0.2左右。說明線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比和彈性模量變化，對S波的透射系數(shù)影響較大。

圖6 P波透射系數(shù)與線彈性固體參數(shù)關(guān)系

圖7 S波透射系數(shù)與線彈性固體參數(shù)關(guān)系

同樣的，飽和土和隔振屏障交界面上，旋轉(zhuǎn)勢能量較大，標(biāo)量勢能量較小，故線彈性固體泊松比和彈性模量的變化對反射和透射P波的的影響都很小。線彈性固體隔振屏障泊松比和彈性模量的變化引起旋轉(zhuǎn)勢和標(biāo)量勢能量的分配，引起反射系數(shù)與透射系數(shù)的變化。

4 結(jié)語

本文采用理論推導(dǎo)結(jié)合算例分析，研究了S波由飽和土入射線彈性固體連續(xù)屏障時(shí)，線彈性固體連續(xù)屏障密度，泊松比及彈性模量對反射波反射系數(shù)，透射波透射系數(shù)的影響。結(jié)果表明：

(1)線彈性固體隔振結(jié)構(gòu)密度對P1和P2波反射系數(shù)基本無影響；隨著線彈性固體隔振結(jié)構(gòu)密度的增大，S波的反射和透射系數(shù)及P波的透射系數(shù)均逐漸減小，且漸趨穩(wěn)定。

(2)線彈性固體連續(xù)屏障泊松比和彈性模量的變化對P1波和P2波的反射系數(shù)及P波透射系數(shù)基本無影響；對S波的反射系數(shù)和透射系數(shù)影響較大，S波的反射系數(shù)隨著線彈性固體連續(xù)屏障的泊松比和彈性模量的增大而增高，S波的透射系數(shù)隨著泊松比的增大而減小，隨著彈性模量的增大而增大。

(3)為達(dá)到更好的隔振效果，應(yīng)綜合考慮采用密度小，彈性模量小，泊松比高的線彈性固體連續(xù)屏障。

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Vibration IsolationAnalysis of Elastic Continuous Barrels in Saturated Soil

DING Hai-bin1,YANG Yuan-ye1,XU Chang-jie1,2,TONG Li-hong1,ZHAO Xiu-shao1
(1.Jiangxi Key Laboratory of Infrastructure Safety Control in Geotechnical Engineering,East China Jiaotong University,Nanchang 330013,China;2.Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering,Zhejiang University,Hangzhou 310058,China;)

Based on Biot wave theory,the reflection coefficients of P1wave,P2wave and S wave and the transmission coefficients of P wave and S wave generated by S wave incidence to a linearly elastic barrier in saturated soil are derived in an analytical form.A numerical example is given.The relationship among the above-mentioned coefficients and the density,Poisson’s ratio and elastic modulus of the barrier are analyzed.The results demonstrate that the density of the barrier has little influence on the reflection coefficients of P1and P2waves.However,with the increase of the density of the barrier,the reflection and transmission coefficients of S wave and the transmission coefficient of P wave are gradually reduced and tend to stable finally.Variations of the Poisson’s ratio and the elastic modulus of the barrier have little effect on the reflection coefficients of P1and P2waves and the transmission coefficient of P wave,while it has great influence on the reflection coefficient and transmission coefficient of S wave.The reflection coefficient of S wave increases with the increase of Poisson’s ratio and elastic modulus of the barrier.The transmission coefficient of S wave decreases with the increase of Poisson’s ratio of the barrier,while increases with the increase of the elastic modulus of the barrier.

vibration and wave;S waves;saturated soil;vibration isolation barrier;reflection coefficient;transmission coefficient

TU435

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.05.031

1006-1355(2017)05-0149-05

2017-03-10

江西省巖土工程基礎(chǔ)設(shè)施安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助項(xiàng)目（20161BCD40010）；國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(973計(jì)劃)(2015CB057801)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51338009，51668018）

丁海濱(1991－)，男，碩士研究生，主要從事飽和土中波傳播研究。

E-mail:616408201@qq.com