高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容銜接與思維方式轉(zhuǎn)變

耿玉倩

摘要：本文以函數(shù)和反函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分、一元函數(shù)和多元函數(shù)為例，分析了高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容銜接問題，重點解釋了背后所隱含的思維方式的轉(zhuǎn)變。主要觀點有三：判斷兩個函數(shù)是否互為反函數(shù)關(guān)鍵看對應(yīng)規(guī)則是否互逆，與用什么符號來表達變量無關(guān)；導(dǎo)數(shù)反應(yīng)了原來函數(shù)的變化率，微分的實質(zhì)則是改變量的線性主部，兩者是“率”與“量”的關(guān)系；從一元函數(shù)到多元函數(shù)的轉(zhuǎn)變，蘊含著豐富的點、線、面這一數(shù)學(xué)抽象思維。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；經(jīng)濟管理數(shù)學(xué)；知識銜接

高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容在很多方面與大學(xué)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容是重合的[1]，我們高中生在緊張學(xué)習(xí)之余，翻閱一下大學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)教材，了解兩者之間的內(nèi)容差異，思考一下兩者的銜接問題，無論對于學(xué)好當(dāng)前課程，還是未來在大學(xué)繼續(xù)深造相關(guān)專業(yè)（數(shù)學(xué)、物理、信息、經(jīng)濟管理等）都是大有益處的。

本文以冀教版數(shù)學(xué)教材和經(jīng)濟管理類微積分教材為例，從三個關(guān)鍵點入手，探討兩個階段數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的差異，重點提出在這兩個階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中相關(guān)思維方式的轉(zhuǎn)變問題，這是本文的主要意圖。

一、關(guān)于反三角函數(shù)的內(nèi)容銜接：反函數(shù)的再認(rèn)識

大學(xué)階段的微積分課程的研究對象為函數(shù)，主要利用極限、導(dǎo)數(shù)等工具對一元函數(shù)和多元函數(shù)的微分和積分問題進行學(xué)習(xí)。高中階段對函數(shù)并不陌生，主要學(xué)習(xí)了函數(shù)定義、定義域和值域、單調(diào)性和對稱性、圖形和最值等知識。這些知識有些在大學(xué)階段是重復(fù)的，但是，還有中學(xué)階段沒有涉及到的，比如反三角函數(shù)、三角函數(shù)的和差化積公式、函數(shù)周期等[2]。

以反函數(shù)為例，高中講了什么是反函數(shù)，反函數(shù)與原來函數(shù)的圖形關(guān)系。但是，在大學(xué)階段的學(xué)習(xí)中還要涉及到反三角函數(shù)等知識點，這是高中階段沒有接觸到的[3]。這可能會造成部分同學(xué)的學(xué)習(xí)困難，建議先對反函數(shù)的概念深入挖掘，借助反函數(shù)的定義，對Y=X+3（函數(shù)①）、X=Y3（函數(shù)②）以及Y=X3（函數(shù)③）進行認(rèn)真研析，發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：函數(shù)①和函數(shù)②之間，互為反函數(shù)、圖像相同；函數(shù)②和函數(shù)③之間，函數(shù)相同、圖像關(guān)于Y=X對稱；函數(shù)①和函數(shù)③之間，互為反函數(shù)、關(guān)于Y=X對稱。

這也就意味著，一個函數(shù)與另外一個函數(shù)是否互為反函數(shù)，關(guān)鍵是要看對應(yīng)規(guī)則是否互逆，與用什么符號來表達自變量、因變量沒有關(guān)系！之所以存在普遍認(rèn)識上的函數(shù)與它的反函數(shù)關(guān)于Y=X對稱，根本原因在于從函數(shù)②到函數(shù)③的變化中，我們互換了自變量和因變量的符號，而函數(shù)關(guān)系并沒有改變！學(xué)習(xí)大學(xué)微積分課程時，可以先以函數(shù)y=sinx為例，在上述思維方式的指導(dǎo)下，把它與x=arcsiny、y=arcsinx的關(guān)系弄清楚了，然后再進一步學(xué)習(xí)其它反三角函數(shù)。

二、關(guān)于導(dǎo)數(shù)和微分的內(nèi)容銜接：導(dǎo)數(shù)和微分關(guān)系的深入認(rèn)識

高中數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義和簡單計算公式，導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是：因變量與自變量兩個改變量的比值，在自變量改變量趨于零的變化中的極限問題。導(dǎo)數(shù)y′實際上是平均變化率的逼近值，是瞬時變化率問題，它反映在圖像上，就是函數(shù)曲線在對應(yīng)點上的切線斜率問題。這些問題，通過對高中導(dǎo)數(shù)知識的深入思考是很容易理解的。

大學(xué)課程在以上知識點的基礎(chǔ)上，增加了微分的知識。通過分析大學(xué)微積分教材對微分的定義可以發(fā)現(xiàn)，微分dy是函數(shù)改變量Δy的線性主部，它實質(zhì)上是“量”的問題，它把是Δy的主要部分和近似表達。

在一元函數(shù)的研究中，導(dǎo)數(shù)和微分存在等價關(guān)系，它們互為充分必要條件。實際上，兩者的關(guān)系是“率”和“量”的關(guān)系，這從公式dy=y′Δx中可以清楚的看出，函數(shù)的微分（Δy的近似值）等于變化率乘以自變量改變量，盡管計算微分時要借助導(dǎo)數(shù)計算，但兩者存在本質(zhì)性的差別。如果無法理解這一點，很容易造成前后知識學(xué)習(xí)的混亂。

三、關(guān)于一元與多元函數(shù)的內(nèi)容銜接：點、線、面思維方式的形成

高中階段對函數(shù)的學(xué)習(xí)，僅限于一元函數(shù)，而大學(xué)微積分課程中出現(xiàn)了多元函數(shù)微積分的內(nèi)容。這里邊實質(zhì)上蘊含著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中點、線、面的抽像思維。點是沒有長度的，無數(shù)個不同的點連續(xù)在一起，就有了長度；一條直線是沒有面積的，但無數(shù)條直線連續(xù)地并排在一起就有了面積問題；一個平面是沒有體積的，但無數(shù)個平面連續(xù)地累積在一起，就有了體積。從一元函數(shù)到多元函數(shù)的轉(zhuǎn)變，其圖像實際上是“從線到面”的一種轉(zhuǎn)化。

結(jié)合數(shù)學(xué)定積分定義中微元法“分割、以直代曲、求和、計算極限”的思路，可以理解一元函數(shù)定積分實際上是被積函數(shù)對應(yīng)的曲邊梯形面積問題，這也是一種“從線到面”的轉(zhuǎn)變。我們沿著這種思路，二元函數(shù)的雙重積分也就是被積函數(shù)曲面對應(yīng)的曲頂柱體的體積問題，是典型的“從面到體”的轉(zhuǎn)變。

參考文獻：

[1]宋春雨.淺談經(jīng)濟管理類數(shù)學(xué)課程與高中數(shù)學(xué)課程的銜接[J].科技風(fēng)，2017（02）：208.

[2]袁利國，等.高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的銜接比較研究[J].大學(xué)教育，2016（11）：4043.

[3]童雯雯.高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的銜接[J].高等數(shù)學(xué)研究，2014（05）：3437.