數(shù)感：長(zhǎng)期困惑一線教師的問(wèn)題

肖志麗

在日常生活中，有一些概念似乎誰(shuí)都知道，但要細(xì)論起來(lái)，誰(shuí)都說(shuō)不清楚。在數(shù)學(xué)中也存在著這么一個(gè)概念，那就是“數(shù)感”。在日常教學(xué)中，老師經(jīng)常提出要通過(guò)數(shù)形結(jié)合等方式提高學(xué)生的數(shù)感；課標(biāo)也把數(shù)感作為十大核心素養(yǎng)之一，并要求教師利用數(shù)感幫助學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。但是到底什么是數(shù)感呢？一線教師眾說(shuō)紛紜，專(zhuān)家文章見(jiàn)解不一，更無(wú)統(tǒng)一界定和權(quán)威解釋。以致一線教師長(zhǎng)期對(duì)此普遍感到困惑。為此，本文從專(zhuān)家的解讀以及一線教師的疑惑這兩層面，談?wù)剶?shù)感這個(gè)長(zhǎng)期困惑一線教師的問(wèn)題。

一、專(zhuān)家的解讀

正因?yàn)橐痪€教師難以找到理解“數(shù)感”的抓手這一現(xiàn)象，所以許多專(zhuān)家也對(duì)數(shù)感的內(nèi)涵進(jìn)行了研究。雖然數(shù)感對(duì)大多數(shù)人來(lái)講是一個(gè)再熟悉不過(guò)的活動(dòng)了，但是要對(duì)其做出清晰、準(zhǔn)確的概念界定，卻不是一件容易的事情。在學(xué)術(shù)界具有代表性的是結(jié)構(gòu)說(shuō)、意識(shí)說(shuō)、感知說(shuō)、直覺(jué)說(shuō)。

其一，結(jié)構(gòu)說(shuō)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》數(shù)感主要表現(xiàn)在：關(guān)于數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。這是課標(biāo)對(duì)數(shù)感的解讀。它闡述了數(shù)感的內(nèi)容。課標(biāo)做出了這些具體的闡述，可為什么一線教師還是不能理解它的內(nèi)涵呢？其原因在于課標(biāo)提到的數(shù)的意義、數(shù)的關(guān)系、數(shù)的表達(dá)、算法、估算這些概念的關(guān)系并不是串聯(lián)或者并聯(lián)，它們并沒(méi)有按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，因此教師理解起來(lái)含糊不清，在實(shí)踐過(guò)程中漫無(wú)目的。

其二，意識(shí)說(shuō)。馬云鵬教授認(rèn)為：數(shù)感是一種主動(dòng)的、自覺(jué)地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)。意識(shí)是人腦對(duì)大腦內(nèi)外表象的覺(jué)察。即不管在什么情境中看到一個(gè)數(shù)，頭腦中便能對(duì)其大小做出恒常的反應(yīng)。

其三，感知說(shuō)。鄭毓信教授指出：數(shù)感與具體的分辨能力、計(jì)算能力、估算能力等相比，傳遞的是一種新的內(nèi)涵?！案小迸c“能力”相比含有一種“直感”的涵義，特別是指對(duì)于某種特定的事物或現(xiàn)象或?qū)傩苑矫娴拿舾行?，以及相關(guān)的鑒別能力。而能力通常并非一種自覺(jué)地過(guò)程，它是一種直接的“感知”，道不清、說(shuō)不明。即數(shù)感指對(duì)數(shù)相關(guān)屬性的感覺(jué)與知覺(jué)。感覺(jué)即客觀刺激作用于感覺(jué)器官所產(chǎn)生的對(duì)事物個(gè)別屬性的反映。知覺(jué)是客觀事物直接作用于感官而在頭腦中產(chǎn)生的對(duì)事物整體的認(rèn)識(shí)。所以數(shù)感即是對(duì)數(shù)的大小、數(shù)量及數(shù)量關(guān)系的反應(yīng)。

其四，直覺(jué)說(shuō)。首先數(shù)感是一種對(duì)數(shù)字（量）的直覺(jué)，并且是一種敏捷的感知。它可以在較短的時(shí)間里通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)的“第一印象 ”反應(yīng)為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)去表示量，幫助主題從感知的層面轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)思維。其次數(shù)感是一種具有培養(yǎng)行的知覺(jué)，它通過(guò)人對(duì)‘?dāng)?shù)概念的擴(kuò)張和延伸而反映為對(duì)數(shù)學(xué)感知不斷提升的靈敏性。數(shù)感作為直感，它具有非邏輯性，非演繹性，反應(yīng)時(shí)間短，穩(wěn)定性差等特征。

二、一線教師的困惑

看了專(zhuān)家的解讀，我們是更加清楚了，還是更加糊涂了？顯然，這讓我們更困惑了。

比如意識(shí)說(shuō)。如果說(shuō)數(shù)感是一種意識(shí)也是有一定道理的。因?yàn)橐庾R(shí)是人腦對(duì)大腦內(nèi)外表象的覺(jué)察。在生活中，我們會(huì)自覺(jué)對(duì)數(shù)、數(shù)量、結(jié)果做出反應(yīng)：比如看到一個(gè)32×25×125這樣的算式，人腦能自覺(jué)對(duì)32進(jìn)行拆分從而進(jìn)行簡(jiǎn)算；看到a是b的17倍，求a和b的最小公倍數(shù)，學(xué)生會(huì)自覺(jué)得出a÷b=17這個(gè)算式，并且自覺(jué)理解a和b成倍數(shù)關(guān)系，因此它們的最小公倍數(shù)則是a。但是這種自覺(jué)性又不完全是與生俱來(lái)的，很多都是需要習(xí)得的。因?yàn)樵趯W(xué)生第一次接觸32×25×125時(shí)，他們沒(méi)有關(guān)于這類(lèi)問(wèn)題的簡(jiǎn)算經(jīng)驗(yàn)，所以需要下意識(shí)去理解數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，從而學(xué)會(huì)簡(jiǎn)算的方法。所以大部分學(xué)生不能自覺(jué)得出結(jié)果，我們經(jīng)常需要借助數(shù)形結(jié)合的方式引導(dǎo)學(xué)生理解一個(gè)具體量、兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系這兩個(gè)概念的區(qū)別。這方面的理解是需要下意識(shí)去分析的。因此，數(shù)感不完全是一種意識(shí)。

比如感知說(shuō)和直覺(jué)說(shuō)的分析。數(shù)感是不是一種感知呢？感覺(jué)即客觀事物刺激作用于感覺(jué)器官所產(chǎn)生的對(duì)事物個(gè)別屬性的反映。知覺(jué)是外界刺激作用于主體而產(chǎn)生的，是通過(guò)肢體（如感官等）而不是通過(guò)大腦思維，它含有原始的、經(jīng)驗(yàn)性的成分。數(shù)感即能夠通過(guò)視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)等肢體建立感知。比如看到5個(gè)蘋(píng)果，人們會(huì)在人腦中形成數(shù)字5，并且感知數(shù)字5的大小；看到一車(chē)的蘋(píng)果會(huì)產(chǎn)生數(shù)量很多的概念。但是這種感知的建立是需要借助一定的思維過(guò)程。如關(guān)于大數(shù)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生很少直接接觸到億以上的實(shí)物，所以對(duì)億以上數(shù)缺乏感知，這時(shí)候應(yīng)該借助實(shí)物、想象等方式讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)的大?。合饶贸鲆化B1000張的紙，高10厘米；接著讓學(xué)生想象10000張、100000張……1億張紙的高度，建立1億的感知；同時(shí)出示一億根棒棒糖的圖片以及1億顆米，讓學(xué)生感知都是1億，但是大小不同。通過(guò)這兩個(gè)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)的大小，從而建立數(shù)感。因此感知說(shuō)和直覺(jué)說(shuō)都具有片面性。

如此重要的概念，為什么專(zhuān)家都沒(méi)有形成統(tǒng)一的見(jiàn)解，課標(biāo)也沒(méi)有清晰的表述？大多數(shù)人認(rèn)為主要原因是數(shù)感具有只可意會(huì)不可言傳的特點(diǎn)。但一個(gè)概念要成立，一定要對(duì)其進(jìn)行界定，實(shí)質(zhì)上就是要給數(shù)感下一個(gè)定義，而下定義則必須要符合形式邏輯的規(guī)范要求。在形式邏輯上，為了對(duì)一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延做出簡(jiǎn)要說(shuō)明，最有代表性亦最常用的定義方法是“屬加種差”，即把某一概念包含在它的屬概念中，并揭示它與同一個(gè)屬概念下其他種概念的差別。它的公式是：被定義項(xiàng)=種差+鄰近的屬。從概念的界定來(lái)分析，為什么專(zhuān)家會(huì)眾說(shuō)紛紜呢？本質(zhì)是他們?cè)诮缍ǜ拍畹臅r(shí)候并沒(méi)有符合形式邏輯的規(guī)范要求，沒(méi)有找出數(shù)感的種差以及它臨近的屬，即沒(méi)有從數(shù)感的內(nèi)涵和外延進(jìn)行分析。因此，對(duì)于數(shù)感的界定，應(yīng)該要通過(guò)分析數(shù)感的內(nèi)涵和外延，進(jìn)行綜合對(duì)比，形成一個(gè)科學(xué)的界定，以便于一線教師理解與實(shí)踐，從而從根本上解決一線教師長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)數(shù)感的困惑。